高中數(shù)學(xué)5.5利用不等式求最大(小)值5.5.1利用平均不等式求最大(小)值知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修4-5

1、利用平均不等式求最大( 小) 值自主整理1.a 、b R, 則 a2+b22ab, 當(dāng)且僅當(dāng) _ 時(shí)取“ =”.2.a 、b R+, 則, 當(dāng)且僅當(dāng) _時(shí)取“ =”.3.a 1,a 2, ,a nR+, 則, 當(dāng)且僅當(dāng) _ 時(shí)取“ =”.高手筆記1. 已知和為定值 , 則乘積有最大值 ; 已知乘積為定值 , 則和有最小值 .2. 函數(shù)取得最值必須等號(hào)成立 , 注意滿(mǎn)足“正、定、等”三個(gè)條件.3. 若平均不等式中等號(hào)取不到則考慮函數(shù)的單調(diào)性, 利用單調(diào)性求得最值.4. 注意在使用平均不等式時(shí)的變形技巧.名師解惑利用平均不等式求函數(shù)的最值應(yīng)注意什么?剖析 : 利用平均不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)應(yīng)注意

2、以下幾點(diǎn):(1) 函數(shù)式中各項(xiàng)是否都是正數(shù) . 都是正數(shù)可以用平均不等式 , 若都是負(fù)數(shù) , 也可通過(guò)提取負(fù)號(hào)將括號(hào)里的數(shù)變?yōu)檎龜?shù) , 再利用平均不等式 .(2) 函數(shù)式中含變量的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù) , 即為定值 , 并且各項(xiàng)都相等時(shí)才能取“ =”, 求出最值 . 否則需由函數(shù)的單調(diào)性求出 .(3) 在求函數(shù)的最值時(shí) , 要注意選擇適當(dāng)?shù)牟坏仁竭M(jìn)行變形, 即要考察是否滿(mǎn)足“正、定、等”這三個(gè)條件 , 有時(shí)為了滿(mǎn)足條件需要先變形、構(gòu)造, 在變形過(guò)程中 , 可采用拼湊法 , 使所拆、拼的數(shù)要相等 , 以使能夠取到等號(hào) , 在解決問(wèn)題時(shí) , 還要注意自變量的取值范圍 , 考察能否取到等號(hào) .講練

3、互動(dòng)【例 1】 (1) 已知 x<, 求函數(shù) y=4x-2+的最大值 ;(2) 已知 x>0,y>0, 且=1, 求 x+y 的最小值 .分析 : 本題可用平均不等式求最值, 但在使用平均不等式時(shí)要注意條件,(1) 中x<則 4x-5<0, 可提取負(fù)號(hào)變?yōu)檎挡?gòu)造積為定值, 求出 .(2) 中=1 是和為定值 , 但與 x+y 之間的聯(lián)系并不直接, 可采用整體代換, 或構(gòu)造、代入等方法求出.解: (1) x<, 4x -5<0.y=4x -2+=- -(4x-5)+3 -2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng) -(4x-5)=, 即 (4x-5) 2 =1 時(shí)“ =”

4、能取到 .1 / 7x<, x=1 時(shí) ,y max=1.(2) 方法一 : x>0,y>0且=1,x+y=(x+y)()=10+10+2=16.當(dāng)且僅當(dāng)且=1 時(shí)取“ =”, x=4,y=12 時(shí) ,x+y 最小為 16.方法二 : =1, (x -1)(y-9)=9( 定值 ) 且 x>1,y>9.x+y=(x -1)+(y-9)+10+10=16.當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9=3,即 x=4,y=12 時(shí) ,(x+y)min=16.方法三 : =1, x=. x>0,y>0, y>9.代入 x+y, 得 x+y=+y=y+1+=(y-9)+10+

5、10=16.當(dāng)且僅當(dāng)y-9=>0, 即 y=12,x=4 時(shí) ,x+y 取最小值16.綠色通道本題在利用平均不等式求函數(shù)的最值時(shí), 采用拼湊法構(gòu)造平均不等式, 同時(shí)注意等號(hào)成立的條件“正、定、等”. 特別(2) 題中的不同的構(gòu)造都是以“正、定、等”為前提的, 若用如下方法就不妥當(dāng):=1,.6.x+y212, 你知道為什么嗎?變式訓(xùn)練1.(1) 已知 :x>0,y>0,x+y 4, 求的最小值 ;2 / 7(2) 設(shè)實(shí)數(shù) m、 n、 x、 y 滿(mǎn)足 x2+y2 =3,m2+n2=1, 求 mx+ny 的最大值 .解: (1) x>0,y>0, +.又 x+y4 及

6、x+y, 2.+1.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2 時(shí)取“ =”. + 的最小值為 1.(2) x2+y2=3, () 2+() 2=1. 又 m2+n2=1,mx+ny=(m·+n·) (+)=, 當(dāng)且僅當(dāng) m=,n=時(shí)取“ =”.即 mx+ny 的最大值為.【例 2】已知 x>0, 求函數(shù) y=x(1-x 2) 的最大值 .分析 : 本題為乘積結(jié)構(gòu), 需要構(gòu)造“和”為定值, 若將函數(shù)變?yōu)閥=x(1-x)(1+x)=x(2-2x)(1+x), 得到 x+(2-2x)+(1+x)為定值 , 但所求出的不是最值. 這是因?yàn)?x,2-2x,1+x不能同時(shí)相等 . 為了構(gòu)造和為定值 ,

7、1-x2 不能分開(kāi) , 只有將函數(shù)兩邊平方, 把 x 的次數(shù)升高為二次, 進(jìn)一步利用平均不等式解出 .解: y=x(1-x 2),22(1-x222(1-x22·2x2(1-x22) ·y=x)=x)(1-x)=)(1-x3=×()3=.y22且 x>0, 即 x=時(shí) ,y =. 當(dāng)且僅當(dāng) 2x =1-xmax綠色通道在利用平均不等式時(shí) , 要學(xué)會(huì)構(gòu)造 , 求積的最值 , 需構(gòu)造和為定值 ; 求和的最值需構(gòu)造乘積為定值 , 還需滿(mǎn)足各項(xiàng)相等才可以 .變式訓(xùn)練3 / 72. 已知 為銳角 , 求 y=sin cos 2 的最大值 .解: y2=sin 2

8、83; cos 4=sin 2 cos 2cos 2=·2sin 2· cos 2· cos 2·()3=×()3=,y, 當(dāng)且僅當(dāng) 2sin 2=cos 2=1-sin 2, 即sin =時(shí)取“ =”.即 ymax=.【例 3】當(dāng) 0<x<a 時(shí), 不等式4恒成立 ,求 a 的最大值 .分析 : 不等式恒成立, 即函數(shù)y=的最小值 4, 觀察x+(a-x)=a(定值 ) 可利用平均不等式 .解: , 當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x 時(shí)取“ =”.又 0<x<a,0<x(a - x) 2=,當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x 時(shí)取“ =”.(

9、 當(dāng)且僅當(dāng)x=a-x 時(shí)取“ =”). 4. a22.0<a. amax=.綠色通道對(duì)于不等式f(x) a恒成立f(x) maxa,f(x) a恒成立f(x)mina,將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值, 在連續(xù)使用平均不等式時(shí), 一定要注意“ =”是否能同時(shí)取到 .變式訓(xùn)練3. 對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x、 y, 不等式 x+y-a(x+) 0恒成立 , 求 a 的取值范圍 .4 / 7解: x>0,y>0,不等式x+y-a(x+) 0恒成立 ,即 a恒成立 . x+x+(x+2y)=2x+2y,.a.【例 4】如下圖 , 為處理含有雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 m 的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉

10、淀箱，污水從 A 孔流入，經(jīng)沉淀后從 B 孔流出 . 設(shè)箱體的長(zhǎng)度為 a m，高度為 b m，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與 a、b 的乘積 ab 成反比，現(xiàn)有制箱材料 60 m2，問(wèn)當(dāng) a、 b 各為多少時(shí)，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小？（A、 B 孔的面積忽略不計(jì)）.分析 : 題中的“雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”可按“雜質(zhì)的含量”理解，設(shè)為y, 由題意y 與 ab 成反比，又設(shè)比例系數(shù)為k，則 y=.又 由 于 受 箱 體 材 料 多 少 的 限 制 ， a 、 b之 間 應(yīng) 有 一 定 的 關(guān) 系 式 ， 即2×(2b)+2ab+2a=60，因此該題的數(shù)學(xué)模型是：已知ab+a+2

11、b=30,a>0,b>0 ，求y=最小時(shí) a、 b 的值 .解法一 : 設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y, 由題意 y=(k>0), 其中 k 為比例系數(shù) .又據(jù)題意知2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0) ，b=( 由 a>0,b>0, 可得 a<30).y=令 t=a+2, 則 a=t-2.從而34-(t+) 34-2=18,5 / 7y=.當(dāng)且僅當(dāng)t=, 即 t=8, 也即 a=6 時(shí)取“ =”.由 a=6, 得 b=3.綜上所述，當(dāng)a=6 m， b=3 m 時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二 : 設(shè)流出的水中

12、雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，依題意 y=，其中 k 為比例系數(shù) (k>0),要求 y 的最小值 , 必須求出 ab 的最大值 .由題設(shè) 4b+2ab+2a=60, 即 ab+2b+a=30(a>0,b>0), a+2b2( 當(dāng)且僅當(dāng) a=2b 時(shí)取“ =”),ab+230, 可解得0<ab18.由 a=2b, 及 ab+a+2b=30, 可得 a=6,b=3. a=6,b=3 時(shí) ,ab 取最大值 , 從而 y 值最小 .即 a=6 m,b=3 m 時(shí) , 經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.綠色通道利用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題, 首先要仔細(xì)閱讀題目, 弄清要解決的實(shí)際問(wèn)題 ,

13、 確定是求什么量的最值 ; 其次 , 分析題目中給出的條件 , 建立 y 的函數(shù)表達(dá)式 y=f(x)(x一般為題目中最后所要求的量 );最后 , 利用不等式的有關(guān)知識(shí)解題. 求解過(guò)程中要注意實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量x的范圍制約 .由于受算術(shù)平均與幾何平均定理求最值的約束條件的限制, 在求最值時(shí)常常需要對(duì)解析式進(jìn)行合理的變形( 如解法一 ). 對(duì)于一些分式結(jié)構(gòu)的函數(shù), 當(dāng)分子中變量的次數(shù)不小于分母中變量的次數(shù)時(shí) , 通常采用分離變量( 或常數(shù) ) 的方法拼湊出類(lèi)似函數(shù) y=x+的結(jié)構(gòu) , 然后用平均不等式 ( 符合條件 ) 或單調(diào)性求最值 . 這種變形的技巧經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化訓(xùn)練, 是較容易掌握的 .變式訓(xùn)練

14、4. 一船由甲地逆水勻速行駛到乙地, 甲、乙兩地相距s( 千米 ), 水速為常量 p( 千米 / 時(shí) ), 船在靜水中的最大速度為q( 千米 / 時(shí) ),且 p<q. 已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用 ( 元 ) 與船在靜水中速度v( 千米 / 時(shí) ) 的平方成正比 , 比例系數(shù)為 k.(1) 把全程燃料費(fèi)用y( 元 ) 表示為靜水中的速度 v( 千米 / 時(shí)) 的函數(shù) , 并指出其定義域 ;(2) 為了使全程燃料費(fèi)用最小 , 船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少 ?分析 : 由題意 , 全程燃料費(fèi)由每小時(shí)的費(fèi)用及航程時(shí)間來(lái)決定 , 所以應(yīng)先找出每小時(shí)的燃料費(fèi)用及全程航行時(shí)間 . 而第 (2) 問(wèn)是求最值問(wèn)題

15、 , 是否需用平均不等式 , 要注意適用的條件 , 尤其是第 (1) 問(wèn)的定義域 , 水速應(yīng)小于船的最小速度 , 所以定義域應(yīng)是 (p,q . 因此 , 本題若平均不等式的“ =”能滿(mǎn)足即可求得結(jié)果, 但也存在不能使“ =”成立的情況, 因而 , 也需用函數(shù)的單調(diào)性求解 .解 : (1) 由于船每小時(shí)航行的燃料費(fèi)用是kv 2, 全程航行時(shí)間為, 于是全程燃料費(fèi)用y=kv 2·,6 / 7故所求函數(shù)是y=ks·(p<v q), 定義域是(p,q .(2)y=ks ·=ks v-p+2p ks+2p=4ksp.其中取“ =”的充要條件是v-p=, 即 v=2p.當(dāng) v=2p(p,q , 即 2pq時(shí),y min =f(2p)=4ksp. 當(dāng)2p(p,q , 即2p>q 時(shí) , 任 取v1 、 v2(p,q , 且v1<v2, 則y1-y 2=k