高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1.1正弦定理(一)學(xué)案新人教A版必修5

1、11.1正弦定理 ( 一) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 通過對(duì)任意三角形邊長和角度的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法 .2. 能運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題知識(shí)點(diǎn)一正弦定理1正弦定理的表示文字 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比都相等，該比值為三角形語言 外接圓的直徑ab符號(hào)在 ABC中，角 A， B， C所對(duì)的邊分別為a， b，c，則 sin A sin B 語言csin C 2R2. 正弦定理的常見變形(1)a2RsinA， b 2RsinB， c 2RsinC，其中 R為 ABC外接圓的半徑(2)sina ，sinb， sinc (R為外接圓的半徑 ) A

2、2RB2RC2RABC(3)三角形的邊長之比等于對(duì)應(yīng)角的正弦比，即a b c sin A sin B sin C.ab cabc(4) sin A sin B sin C sin A sin B sin C .(5) asin B bsin A， asin C csin A， bsin C csin B. 3正弦定理的證明(1) 在 Rt ABC中，設(shè) C為直角，如圖，由三角函數(shù)的定義：absinA c， sinB c，abcc csin A sin B sin 90 °sin C ，abc sin A sin B sin C (2) 在銳角三角形 ABC中，設(shè) AB邊上的高為 CD

3、，如圖，CD asin_ B bsin_ A，a b sin A sin B ，a c同理，作 AC邊上的高 BE，可得 sin A sin C ，1 / 8b c sin A sin B sin C .a(3) 在鈍角三角形 ABC中， C為鈍角，如圖，過 B作 BD AC于 D，則BD asin( C) asin_ C，BD csin_ A，故有 asinC csin_ A，a c sin A sin C ，ababc同理， sin Asin B， sin A sin B sin C .思考下列有關(guān)正弦定理的敘述：正弦定理只適用于銳角三角形；正弦定理不適用于直角三角形；在某一確定的三角形中

4、，各邊與它所對(duì)角的正弦的比是一定值；在ABC中， sinA sinB sinC BCAC AB. 其中正確的個(gè)數(shù)有()A1 B2 C3 D4答案B解析正弦定理適用于任意三角形，故均不正確；由正弦定理可知，三角形一旦確定，則各邊與其所對(duì)角的正弦的比值也就確定了，所以正確；由正弦定理可知正確故選B.知識(shí)點(diǎn)二解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A， B， C和它們的對(duì)邊a， b， c 叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形思考正弦定理能解決哪些問題？答案 利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和第三個(gè)角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的

5、對(duì)角，從而求出其他的邊和角題型一對(duì)正弦定理的理解例 1在 ABC中，若角A， B， C 對(duì)應(yīng)的三邊分別是a， b， c，則下列關(guān)于正弦定理的敘述或變形中錯(cuò)誤的是()A ab c sinA sinB sinCB ab? sin 2 A sin 2 B2 / 8abcC. sin A sin B sin CD正弦值較大的角所對(duì)的邊也較大答案B解析在ABC中，由正弦定理得abc (k>0) ，則sin， sinsin Asin Bsin Cka kA b kB， cksinC，故 a b c sinA sinB sinC，故 A 正確當(dāng) A30°， B 60°時(shí)， sin

6、2 A sin 2 B，此時(shí) a b，故 B 錯(cuò)誤根據(jù)比例式的性質(zhì)易得 C正確大邊對(duì)大角，故D 正確abc反思與感悟(1) 定理的內(nèi)容：sin A sin B sin C 2R，在運(yùn)用正弦定理進(jìn)行判斷時(shí)，要靈活使用定理的各種變形a c(2) 如果 b d，那么abcdb d ( b，d 0)( 合比定理 ) ；ab cdb d( b，d 0)(分比定理 ) ；abcdab cd( a>b， c>d)( 合分比定理 ) ；a1a2ana1 a2an a1a2 an可以推廣為：如果b1b2 bn，那么 b1b2 bn b1b2 bn.跟蹤訓(xùn)練1 在中，下列關(guān)系一定成立的是()ABCA

7、> sinAB sinAa babC a<bsinA D a bsinA答案D解析在 ABC中， B (0 ， ) ， sinB(0 ，1，1 sin B 1，abbsin A由正弦定理 sin A sin B 得 a sin B bsinA.題型二用正弦定理解三角形例 2(1)在 ABC中，已知 c 10，A 45°， C 30°，解這個(gè)三角形(2) 在 ABC中，已知 c 6， A45°， a2，解這個(gè)三角形解 (1) A 45°， C 30°， B 180° ( A C) 105°，3 / 8由ac得 cs

8、in A 10×sin 45 ° 10 .sin Asin Casin Csin 30 °2 sin 75° sin(30° 45° ) sin 30°cos 45° cos 30 ° sin 45 °2 64，csin Bcsin （AC）10×sin 75 °2 6 bsin C20×sin Csin 30°4 5 25 6. B 105°， a 102， b 52 56.a c(2) sin A sin C ， sin csin A6

9、15;sin 45 °3，Ca22 C (0 °， 180° ) ， C 60°或 C 120°.csin B6sin 75 °當(dāng) C60°時(shí)， B 75°， b sin Csin 60 ° 31；csin B6sin 15 °當(dāng) C120°時(shí)， B 15°， b sin C sin 120 ° 3 1. b 3 1，B 75°， C 60°或 b 3 1，B 15°，C 120° .反思與感悟(1) 已知兩角與任意一邊解三角

10、形的方法首先由三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出三角形的另一角，再由正弦定理可計(jì)算出三角形的另兩邊(2) 已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法首先用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值，若這個(gè)角不是直角，當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷，此時(shí)就有兩組解，再分別求解即可；然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊跟蹤訓(xùn)練2(1) 在 ABC中，已知a 8， B60°， C 75°，則 b 等于 ()A42B43C46D4(2) 在 ABC中，若 a 2， b2， A 30°，則 C

11、_答案(1)C(2)105 °或 15°a b解析 (1) 易知 A 45°，由 sin A sin B 得4 / 88·3asin B2b sin A24 6.2a b(2) 由正弦定理 sin A sin B ，BbsinA2sin 30 °2得 sina2 2 . B (0 °， 180° ) ， B 45°或 135°， C 180° 45° 30° 105°或 C 180° 135° 30° 15° .題型三判斷三角

12、形的形狀例 3在 ABC中，已知 a2tanBb2tanA，試判斷三角形的形狀a2sin Bb2sin A解 由已知得 cos B cos A，由正弦定理得 sin2Asin B sin2Bsin A .cos Bcos A sinA、 sin B 0， sin Acos A sinBcos B.即 sin 2 A sin 2 B. 2A2B或 2A 2B.AB 2 或 AB. ABC為等腰三角形或直角三角形反思與感悟 (1) 判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系(2)asin A注意在邊角互化過程中，正弦定理的變形使用，如b sin

13、 B 等跟蹤訓(xùn)練 3在 ABC中， bsin B csinC且 sin2Asin2B sin2C，試判斷三角形的形狀解由 bsinB csin C，得 b2 c2， b c， ABC為等腰三角形，由 sin 2A sin 2B sin 2C得 a2b2 c2， ABC為直角三角形， ABC為等腰直角三角形5 / 81在 ABC中， AB c，AC b，BC a，下列等式中總能成立的是()A sinsinBB sinsinAaA bbC cCsinsinBD sinsinAabCbcaC c答案Dabc解析由正弦定理 sin A sin Bsin C ，得 asin C csin A.2在 AB

14、C 中，三個(gè)內(nèi)角A， B， C 的對(duì)邊分別為a， b， c ，已知a2， b3， B60°，那么A 等于 ()A 135° B 90° C 45° D 30°答案C2×3abAasin B22解析由 sin A sin B 得 sinb3 2 ， A 45°或 135° .又 a<b， A<B， A 45° .3在銳角三角形ABC中，角A，B 所對(duì)的邊分別為a， b，若 2asinB3b，則 A 等于()A. 12B. 6 C.4 D. 3答案D解析在 ABC中，利用正弦定理得2sinAsin

15、B3sinB，3又 sinB 0， sinA 2 .又 A為銳角， A 3 .4在 ABC中，內(nèi)角A，B， C所對(duì)的邊分別為是 ()a， b， c，若 sin A cos B cos C，則 ABCabcA等邊三角形B直角三角形，且有一個(gè)角是30°C等腰直角三角形6 / 8D等腰三角形，且有一個(gè)角是30°答案C解析由題 acos B bsinA，又由正弦定理asinB bsinA， sin B cos B，又 B(0 °， 180° ) ， B 45° .同理 C 45° . 故 ABC為等腰直角三角形2b5在 ABC中， A 3 ， a 3c，則 c _答案1acCcsin A131解析由 sin A sin C 得 sina3× 22，sinb sin B6又 0C 3 ，所以 C 6 ， B ( A C) 6 . 所以 c sin C sin1.66在 ABC中，若 b 5， B 4 ， tanA 2，則 sinA _， a _答案252 105解析由 tanA 2，得 sinA 2cosA，2225由 sin A cos A 1，得 sinA5 ，ab