解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)匯總精編版

1、解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)1.平行與垂直若直線 l 1 和 l2 有斜截式方程l 1： y k1x b1 ， l2： yk2x b2，則：(1) 直線 l 1 l 2 的充要條件是：k1 k2 且 b1 b2(2) 直線 l 1 l 2 的充要條件是： k1·k2 12三種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式 |P1P2|2y22x1 x2 y1.特別地，原點(diǎn) (0,0) 與任意一點(diǎn) P(x， y)的距離 |OP | x2 y2.(2)|Ax0 By0C|點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn) P0 (x0， y0)到直線 l： Ax By C 0 的距離 dA2

2、B2(3) 兩條平行線的距離|C1 C2|兩條平行線Ax By C10 與 AxBy C2 0 間的距離 d A2 B23、圓的方程的兩種形式 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x a)2 (yb)2 r2 ，方程表示圓心為(a， b)，半徑為r 的圓 圓的一般方程對(duì)于方程x2 y2 Dx Ey F 0(1)當(dāng) D 2 E2 4F0時(shí)，表示圓心為 D， E ，半徑為 1D2 E2 4F的圓；222(2)當(dāng) D 2 E2 4F0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)D， E；22(3)當(dāng) D 2 E2 4F0時(shí)，它不表示任何圖形4、直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交判斷直線與圓的位置關(guān)系常見(jiàn)的有：幾何法：利用圓

3、心到直線的距離d 和圓半徑 r 的大小關(guān)系 d r? 相交； d r ? 相切； dr ? 相離 直線與圓相交22l222直線與圓相交時(shí)，若l 為弦長(zhǎng)， d 為弦心距， r 為半徑，則有r d 2，即 l 2rd，求弦長(zhǎng)或已知弦長(zhǎng)求解問(wèn)題，一般用此公式5、兩圓位置關(guān)系的判斷兩圓 (x a1)2 (y b1)2 r21 (r 0)， (x a2)2 (y b2)2 r22 (r2 0)的圓心距為d，則1 d r 1 r 2? 兩圓外離； 2 d r1 r2? 兩圓外切；3 |r1 r2| d r1 r2(r1 r2)? 兩圓相交 _； 4 d |r 1r 2|(r1 r2 )? 兩圓內(nèi)切；15

4、0d |r 1 r 2|(r1 r2)? 兩圓內(nèi)含6. 橢圓一、橢圓的定義和方程1 橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F 1、F 2 的距離的和等于常數(shù)2a (大于 |F1 F2 |=2c)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦點(diǎn).定義中特別要注意條件 2a 2c，否則軌跡不是橢圓； 當(dāng) 2a 2c 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段； 當(dāng) 2a 2c 時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在。2 橢圓的方程x2y2(1) 焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： a2 b2 1(a b 0)y2x2(2) 焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：a2 b2 1( ab 0) 二、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍性質(zhì)

5、對(duì)稱性頂點(diǎn)軸性質(zhì)焦距離心率a， b， c的關(guān)系(a2 b2 c2)x2y2y2x2a2 b2 1(a b 0)a2 b2 1(a b 0) a xab x b b yba y a對(duì)稱軸： x 軸， y 軸對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)A1( a,0)， A2(a,0)A1(0， a)，A2(0， a)B1(0 ， b)， B2(0， b)B1( b,0)， B2(b,0)長(zhǎng)軸 A1A2 的長(zhǎng)為 2a短軸 B1B2 的長(zhǎng)為 2b|F 1F2| 2ce c(0,1)ac2 a2 b227.雙曲選一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 、F 2 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)( 小于 |F 1F 2|且不等于零 )的

6、點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線兩個(gè)定點(diǎn)F 1、 F2 叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離|F1F 2|叫做雙曲線的焦距.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2y2x2a2 b2 1(a 0， b 0)a2 b2 1(a0， b 0)圖形范圍x a 或 x a _ y a 或 y a性對(duì)稱性對(duì)稱軸： x 軸、 y 軸對(duì)稱軸： x 軸， y 軸質(zhì)對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1 ( a,0) ，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)： A1(0 ， a)， A2(0， a)漸近線bay ± xy ± xab性離心率e c，e (1， )其中 ca2 b2質(zhì)a線段 A1A2 叫做

7、雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a；線段 B1B2 叫做雙曲線的虛軸，它實(shí)虛軸的長(zhǎng) |B1B2| 2b； a 叫做雙曲線的實(shí)半軸，b 叫做雙曲線的虛半軸a、 b、cc2 a2 b2 (c a0， c b0)關(guān)系38拋物線（ 1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) F 和一條定直線l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn) F 不在定直線 l 上 )。定點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l 叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程 y 22 pxp0 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x 軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ p,0 ），它的準(zhǔn)線方程是xpF；22（ 2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不

8、同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y 22 px ， x22 py ， x 22 py .這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表： 一次項(xiàng)的字母定軸（對(duì)稱軸），一次項(xiàng)的符號(hào)定方向（開(kāi)口方向）標(biāo)準(zhǔn)方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)l yyyFlx圖形o FxFoxlo焦點(diǎn)坐標(biāo)( p ,0)(p ,0)(0,p )(0,p )2222準(zhǔn)線方程pxpypypx2222范圍x 0x0y0y0對(duì)稱性x 軸x 軸y 軸y 軸頂點(diǎn)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e1e1e1說(shuō)明：（1）通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心，沒(méi)有漸近線；（ 3）注意強(qiáng)調(diào) p 的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。2.焦點(diǎn)弦 (以拋物線 y2 2