第二章 數(shù)學(xué)奧賽 極限和導(dǎo)數(shù)(教師版)

1、專題二 極限與導(dǎo)數(shù)的概念一、極限1極限定義：（1）若數(shù)列un滿足，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且nN時，恒有|un-A|<成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。2.幾個重要極限： （1） （2）（C是常數(shù)） （3）無窮等比數(shù)列（）的極限是0，即 3 極限的四則運算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b, f(x)g(x)=ab, 4.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(

2、x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。一極限的求法。例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）二、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1=_.二、導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個增量x時（x充分?。?，因變量y也隨之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的斜率。3幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、：（1）=0（c為常數(shù)）； （2）（a為任意常數(shù)）；（3） (4);:(5); (6);（7）； （8）4導(dǎo)數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)0,則（1）； （2）；（3）（c為常數(shù)）； （4）；（5）。題型一導(dǎo)數(shù)的運算例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y.探究一 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） （2）（3）（4）（5）（6）解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.

4、(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.(4)y.思維升華求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，則x0等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln x

5、x×2 017ln x，故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，則ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)為奇函數(shù)，且f(1)2，f(1)2.題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點1已知切點的切線方程問題例2(1)函數(shù)f(x)的圖象在點(1，2)處的切線方程為()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)已知函數(shù)yf(x)及其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點P處的切線方程是_答案(1)C(2)xy20解析(1)f(x)，則f(1)1，故該切線方程為y(2)x1，即xy30.(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線yf(x)在

6、點P處的切線的斜率kf(2)1，又過點P(2,0)，所以切線方程為xy20.命題點2未知切點的切線方程問題例3(1)與直線2xy40平行的拋物線yx2的切線方程是()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy108題變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)D(2)B解析(1)對yx2求導(dǎo)得y2x.設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，x)，則切線斜率為k2x0.由2x02得x01，故切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)點(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點為(x0，

7、y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點為(1,0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為yx1，即xy10.故選B.命題點3和切線有關(guān)的參數(shù)問題例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m等于()A1 B3 C4 D2答案D解析f(x)，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0，于是解得m2.故選D.(2)若直線y2xm是曲線yxln x的切

8、線，則實數(shù)m的值為_(2)設(shè)切點為(x0，x0ln x0)，由y(xln x)ln xx·ln x1，得切線的斜率kln x01，故切線方程為yx0ln x0(ln x01)(xx0)，整理得y(ln x01)xx0，與y2xm比較得解得x0e，故me.8題變式訓(xùn)練2：已知曲線yxln x在點(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.答案8解析由yxln x，得y1，得曲線在點(1,1)處的切線的斜率為ky|x12，所以切線方程為y12(x1)，即y2x1，此切線與曲線yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.1函數(shù)的單調(diào)性在某個

9、區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)>0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)<0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減2函數(shù)的極值一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0，那么f(x0)是極小值3函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函

10、數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值課時1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性題型一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例1求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)因為f(x)，所以f(x).當(dāng)f(x)>0，即0<x<e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)<0，即x>e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，)已知定義在區(qū)間(，)上的函數(shù)f(x)xsin xcos x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案和解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x令f(x)xcos x0，則其在區(qū)間(，)上的解集為和，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)

11、間為和.題型二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)ln xax1.(1)當(dāng)a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)當(dāng)a0時，討論f(x)的單調(diào)性解(1)當(dāng)a1時，f(x)ln xx1，此時f(x)1，f(2)11.又因為f(2)ln 221ln 22，所以切線方程為y(ln 22)x2，整理得xyln 20.(2)f(x)a.當(dāng)a0時，f(x).此時，在(0,1)上，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；在(1，)上，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)a<0時，f(x).當(dāng)1，即a時，f(x)0在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)<a

12、<0時，>1，此時在(0,1)或上，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；在上，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)<a<0時，f(x)在(0,1)或上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a時，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減討論函數(shù)f(x)(a1)ln xax21的單調(diào)性解f(x)的定義域為(0，)，f(x)2ax.當(dāng)a1時，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)<0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，令f(x)0，解得x ，則當(dāng)x(0, )時，f

13、(x)<0；當(dāng)x( ，)時，f(x)>0，故f(x)在(0, )上單調(diào)遞減，在( ，)上單調(diào)遞增題型三利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)例3設(shè)函數(shù)f(x)x3x2bxc，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)2x，且g(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)x2axb，由題意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a>0)，當(dāng)x(，0)時，f(x)>0；當(dāng)x(0，a)時，f(x)<0；當(dāng)x(a，)時，f(x)>0.所以

14、函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)(3)g(x)x2ax2，依題意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax2<0成立，即x(2，1)時，a<(x)max2，當(dāng)且僅當(dāng)x即x時等號成立所以滿足要求的a的取值范圍是(，2)引申探究：在本例3(3)中，1若g(x)在(2，1)內(nèi)為減函數(shù)，如何求解？解方法一g(x)x2ax2，且g(x)在(2，1)內(nèi)為減函數(shù)，g(x)0，即x2ax20在(2，1)內(nèi)恒成立，即解之得a3，即實數(shù)a的取值范圍為(，3方法二g(x)x2ax2，由題意可得g(x)0在(2，1)上恒成立，即ax在(2，1)上恒成立，又yx，x

15、(2，1)的值域為(3，2 ，a3，實數(shù)a的取值范圍是(，32若g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2，1)，求a的值解g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2，1)，x12，x21是g(x)0的兩個根，(2)(1)a，即a3.已知函數(shù)f(x)exln xaex(aR)(1)若f(x)在點(1，f(1)處的切線與直線yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)exln xex·aex(aln x)ex，f(1)(1a)e，由(1a)e·1，得a2.(2)由(1)知f(x)(aln x)ex，若f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，則f(x)0，在x>0時恒

16、成立即aln x0，在x>0時恒成立所以aln x，在x>0時恒成立令g(x)ln x(x>0)，則g(x)(x>0)，由g(x)>0，得x>1；由g(x)<0，得0<x<1.故g(x)在(0,1)上為單調(diào)遞減函數(shù)，在1，)上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時g(x)的最小值為g(x)1，但g(x)無最大值(且無趨近值)故f(x)不可能是單調(diào)遞減函數(shù)若f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，則f(x)0，在x>0時恒成立，即aln x0，在x>0時恒成立，所以aln x，在x>0時恒成立，由上述推理可知此時a1.故實數(shù)a的取值范圍是(，1典例(12分)

17、已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函數(shù)g(x)的圖象在點(1，g(1)處的切線平行于x軸(1)確定a與b的關(guān)系；(2)若a0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性思維點撥依據(jù)g(x)的切線條件可得g(1)0得a，b關(guān)系，代g(x)后消去b，對a進(jìn)行分類討論確定g(x)的符號規(guī)范解答解(1)依題意得g(x)ln xax2bx，則g(x)2axb.2分由函數(shù)g(x)的圖象在點(1，g(1)處的切線平行于x軸得：g(1)12ab0，b2a1.4分(2)由(1)得g(x).函數(shù)g(x)的定義域為(0，)，當(dāng)a0時，g(x).由g(x)>0，得0<x<1，由g(x)<

18、;0，得x>1，6分當(dāng)a>0時，令g(x)0，得x1或x，7分若<1，即a>，由g(x)>0，得x>1或0<x<，由g(x)<0，得<x<1；9分若>1，即0<a<，由g(x)>0，得x>或0<x<1，由g(x)<0，得1<x<，若1，即a，在(0，)上恒有g(shù)(x)0.11分綜上可得：當(dāng)a0時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a時，函數(shù)g(

19、x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>時，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增12分課時2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值題型一 用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問題命題點2求函數(shù)的極值例2已知函數(shù)f(x)ax33x21(aR且a0)，求函數(shù)f(x)的極大值與極小值解由題設(shè)知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.當(dāng)a>0時，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.當(dāng)a<0時，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，)(，0)

20、0(0，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.綜上，f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.命題點3已知極值求參數(shù)例3(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0，則ab_.(2)若函數(shù)f(x)x2x1在區(qū)間(，3)上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A(2，) B2，)C(2，) D2，)答案(1)7(2)C解析(1)由題意得f(x)3x26axb，則解得或經(jīng)檢驗當(dāng)a1，b3時，函數(shù)f(x)在x1處無法取得極值，而a2，b9滿足題意，故ab7.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，3)上無極值，則當(dāng)x(，3)時，f(x)x2ax10恒成立或當(dāng)

21、x(，3)時，f(x)x2ax10恒成立當(dāng)x(，3)時，yx的值域是2，)；當(dāng)x(，3)時，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；當(dāng)x(，3)時，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函數(shù)f(x)在(，3)上有極值點，實數(shù)a的取值范圍是(2，)思維升華(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f(x)；解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；列表檢驗f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單

22、調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值(1)函數(shù)y2x的極大值是_(2)(2015·陜西)函數(shù)yxex在其極值點處的切線方程為_答案(1)3(2)y解析(1)y2，令y0，得x1.當(dāng)x<1時，y>0；當(dāng)x>1時，y<0.當(dāng)x1時，y取極大值3.(2)設(shè)yf(x)xex，令yexxexex(1x)0，得x1.當(dāng)x1時，y0；當(dāng)x1時，y0，故x1為函數(shù)f(x)的極值點，切線斜率為0，又f(1)e1，故切點坐標(biāo)為，切線方程為y0(x1)，即y.題型二用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例4已知aR，函數(shù)f(x)ln x1.(1)當(dāng)a1時，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程

23、；(2)求f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值解(1)當(dāng)a1時，f(x)ln x1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線斜率為.又f(2)ln 2，所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(ln 2)(x2)，即x4y4ln 240.(2)因為f(x)ln x1，所以f(x).令f(x)0，得xa.若a0，則f(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)無最小值若0<a<e，當(dāng)x(0，a)時，f(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(a，e時，f(x)>0，函數(shù)f(

24、x)在區(qū)間(a，e上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xa時，函數(shù)f(x)取得最小值ln a.若ae，則當(dāng)x(0，e時，f(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞減，所以當(dāng)xe時，函數(shù)f(x)取得最小值.綜上可知，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上無最小值；當(dāng)0<a<e時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為ln a；當(dāng)ae時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為.思維升華求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為

25、最小值已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)ln xax (a>)，當(dāng)x(2,0)時，f(x)的最小值為1，則a的值等于()A. B. C. D1答案D解析由題意知，當(dāng)x(0,2)時，f(x)的最大值為1.令f(x)a0，得x，當(dāng)0<x<時，f(x)>0；當(dāng)x>時，f(x)<0.f(x)maxfln a11，解得a1.題型三函數(shù)極值和最值的綜合問題例5已知函數(shù)f(x)(a>0)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個零點為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(

26、2ab)xbc，因為ex>0，所以yf(x)的零點就是g(x)ax2(2ab)xbc的零點，且f(x)與g(x)符號相同又因為a>0，所以3<x<0時，g(x)>0，即f(x)>0，當(dāng)x<3或x>0時，g(x)<0，即f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3)，(0，)(2)由(1)知，x3是f(x)的極小值點，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3)，(0，)，所以f(0)5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間5，)上的最大值取f(

27、5)和f(0)中的最大者，而f(5)5e5>5f(0)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5.3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題典例(12分)已知函數(shù)f(x)ln xax (aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值思維點撥(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實質(zhì)上是求f(x)>0，f(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域(2)先研究f(x)在1,2上的單調(diào)性，再確定最值是端點值還是極值(3)兩小問中，由于解析式中含有參數(shù)a，要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論規(guī)范解答解(1)f(x)a (x>0)，當(dāng)a0時，f(x)a>0，即函數(shù)f

28、(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)2分當(dāng)a>0時，令f(x)a0，可得x，當(dāng)0<x<時，f(x)>0；當(dāng)x>時，f(x)<0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.4分綜上可知，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.5分(2)當(dāng)1，即a1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分當(dāng)2，即0<a時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分當(dāng)1<<2，即<a<1時，函數(shù)f(x

29、)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)又f(2)f(1)ln 2a，所以當(dāng)<a<ln 2時，最小值是f(1)a；當(dāng)ln 2a<1時，最小值為f(2)ln 22a.11分綜上可知，當(dāng)0<a<ln 2時，函數(shù)f(x)的最小值是a；當(dāng)aln 2時，函數(shù)f(x)的最小值是ln 22a.12分課時3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題題型一用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題命題點1解不等式例1設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)x>0時，有<0恒成立，則不等式x2f(x)>0的解集是()A(2,0)(2，) B(2,0)(0,2)C(，2)(2，) D(，2)(0,2)答案D

30、解析x>0時<0，(x)為減函數(shù)，又(2)0，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<2時，(x)>0，此時x2f(x)>0.又f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù)故x2f(x)>0的解集為(，2)(0,2)命題點2證明不等式例2證明：當(dāng)x0,1時，xsin xx.證明記F(x)sin xx，則F(x)cos x.當(dāng)x(0，)時，F(xiàn)(x)>0，F(xiàn)(x)在0，上是增函數(shù)；當(dāng)x(，1)時，F(xiàn)(x)<0，F(xiàn)(x)在，1上是減函數(shù)又F(0)0，F(xiàn)(1)>0，所以當(dāng)x0,1時，F(xiàn)(x)0，即sin xx.記H(x)sin xx，則當(dāng)x(0,1)時，H(x)

31、cos x1<0，所以H(x)在0,1上是減函數(shù)，則H(x)H(0)0，即sin xx.綜上，xsin xx，x0,1命題點3不等式恒成立問題例3已知函數(shù)f(x)ln x.若f(x)<x2在(1，)上恒成立，求a的取值范圍解f(x)<x2，ln x<x2，又x>0，a>xln xx3，令g(x)xln xx3，則h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，當(dāng)x(1，)時，h(x)<0，h(x)在(1，)上是減函數(shù)，h(x)<h(1)2<0，即g(x)<0.g(x)在(1，)上也是減函數(shù)，g(x)<g(1)1，當(dāng)a1時，f(x

32、)<x2在(1，)上恒成立思維升華(1)利用導(dǎo)數(shù)解不等式，一般可構(gòu)造函數(shù)，利用已知條件確定函數(shù)單調(diào)性解不等式；(2)證明不等式f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)求F(x)的值域，得到F(x)<0即可；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題設(shè)aR，已知函數(shù)f(x)ax33x2.(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的x1,3，有f(x)f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)

33、當(dāng)a1時，f(x)x33x2，則f(x)3x26x.由f(x)>0，得x<0或x>2；由f(x)<0，得0<x<2.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)(2)依題意，對x1,3，ax33x23ax26x0恒成立，等價于不等式a對x1,3恒成立令h(x)，x1,3，則h(x)<0，所以h(x)在區(qū)間1,3上是減函數(shù)，所以h(x)的最小值為h(3).所以a，即實數(shù)a的取值范圍為.題型二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題例4(2014·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(0,2)處的切線與x軸交

34、點的橫坐標(biāo)為2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k<1時，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點(1)解f(x)3x26xa，f(0)a.曲線yf(x)在點(0,2)處的切線方程為yax2.由題設(shè)得2，所以a1.(2)證明由(1)知，f(x)x33x2x2.設(shè)g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4.由題設(shè)知1k>0.當(dāng)x0時，g(x)3x26x1k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(1)k1<0，g(0)4，所以g(x)0在(，0有唯一實根當(dāng)x>0時，令h(x)x33x24，則g(x)h(x)(1k)x>h(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)

35、單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)沒有實根綜上，g(x)0在R有唯一實根，即曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點思維升華研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x的圖象與直線yb有兩個不同交點，求b的取值范圍解f(x)x(2cos x)，令f(x)0，得x0.當(dāng)x>0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上遞增當(dāng)x<0時，f(x)<0，f(x)在(，0)