高中數(shù)學第二章平面向量2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一學案無答案新人教A版(共15頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上§2.4平面向量的數(shù)量積24.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(一)學習目標1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產生位移s所做的功.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義和運算律，理解其幾何意義.3.會用兩個向量的數(shù)量積求兩個向量的夾角以及判斷兩個向量是否垂直知識點一平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義一個物體在力F的作用下產生位移s，如圖思考1如何計算這個力所做的功？答案W|F|s|cos.思考2力做功的大小與哪些量有關？答案與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關梳理條件非零向量a與b，a與b的夾角為結論數(shù)量|a|b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積

2、(或內積)記法向量a與b的數(shù)量積記作a·b，即a·b|a|b|cos規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0知識點二平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案如圖所示，a，b，過B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則OB1|b|cos.|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos叫做向量a在b方向上的投影思考2向量b在向量a方向上的投影與向量a在向量b方向上的投影相同嗎？答案由投影的定義知，二者不一定相同梳理(1)條件：向量a與b的夾角為.(2)投影向量b在a方向上的投影|b|cos向量a在b方向上的投影|a

3、|cos(3)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積知識點三平面向量數(shù)量積的性質思考1向量的數(shù)量積運算結果和向量的線性運算的結果有什么區(qū)別？答案向量的線性運算結果是向量，而向量的數(shù)量積是數(shù)量思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負數(shù)和零，其數(shù)量積的符號由什么來決定？答案由兩個非零向量的夾角決定當0°90°時，非零向量的數(shù)量積為正數(shù)當90°時，非零向量的數(shù)量積為零當90°180°時，非零向量的數(shù)量積為負數(shù)梳理設向量a與b都是非零向量，它們的夾角為，(1)aba·b0.(

4、2)當ab時，a·b(3)a·a|a|2或|a|.(4)cos.(5)|a·b|a|b|.1向量數(shù)量積的運算結果是向量(×)2向量a在向量b上的投影一定是正數(shù)(×)3在等邊ABC中，向量與向量夾角為60°.(×)提示向量與向量夾角為120°.類型一求兩向量的數(shù)量積例1已知正三角形ABC的邊長為1，求：(1)·；(2)·；(3)·.考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(1)與的夾角為60°.·|cos60°1×1&

5、#215;.(2)與的夾角為120°，·|cos120°1×1×.(3)與的夾角為60°，·|cos60°1×1×.反思與感悟求平面向量數(shù)量積的兩個方法(1)定義法：若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b|a|b|cos.運用此法計算數(shù)量積的關鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件(2)幾何意義法：若已知一向量的模及另一向量在該向量方向上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求a·b.跟蹤訓練1已知|a|4，|b|7，且向量

6、a與b的夾角為120°，求(2a3b)·(3a2b)考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(2a3b)·(3a2b)6a24a·b9b·a6b26|a|25a·b6|b|26×425×4×7·cos120°6×72268.類型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|.考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的模解a·b|a|b|cos5×5×.|ab|5.|ab|5.引申探究若

7、本例中條件不變，求|2ab|，|a2b|.解a·b|a|b|cos5×5×，|2ab|5.|a2b|5.反思與感悟求解向量模的問題就是要靈活應用a2|a|2，即|a|，勿忘記開方跟蹤訓練2已知|a|1，|b|3，且|ab|2，求|ab|.考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的模解方法一|ab|2(ab)2a22a·bb2192a·b4，a·b3.|ab|2(ab)2a22a·bb2192×316，|ab|4.方法二|ab|2(ab)2a22a·bb2，|ab|2(ab)2a22a·bb2

8、，|ab|2|ab|22a22b22×12×920.又|ab|2，|ab|216，|ab|4.類型三求向量的夾角例3(1)設n和m是兩個單位向量，其夾角是60°，求向量a2mn與b2n3m的夾角考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的夾角解|n|m|1且m與n夾角是60°，m·n|m|n|cos60°1×1×.|a|2mn|，|b|2n3m|，a·b(2mn)·(2n3m)m·n6m22n26×12×1.設a與b的夾角為，則cos.又0，故a與b的夾角為.(2

9、)已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，求a與ab的夾角及a與ab的夾角考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的夾角解如圖所示，在平面內取一點O，作a，b，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，使|，四邊形OACB為菱形，OC平分AOB，這時ab，ab.由于|a|b|ab|，即|，AOC60°，即a與ab的夾角為60°.AOC60°，AOB120°，又|，OAB30°，即a與ab的夾角為30°.反思與感悟(1)求向量的夾角，主要是利用公式cos求出夾角的余弦值，從而求得夾角可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值

10、，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關系，然后代入求解(2)求向量的夾角，還可結合向量線性運算、模的幾何意義，利用數(shù)形結合的方法求解(3)求向量的夾角時，注意向量夾角的范圍是0，跟蹤訓練3已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，求a與b的夾角考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的夾角解(a2b)·(ab)|a|22|b|2a·b2.|a|b|2，a·b2，設a與b的夾角為，cos，又0，.1已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，則a·b等于()A1B2C3D4考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面

11、向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案A解析a·b1×2×cos1，故選A.2在等腰直角三角形ABC中，若C90°，AC，則·的值等于()A2B2C2D2考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案B解析·|cosABC2××cos45°2.3已知|a|8，|b|4，a，b120°，則向量b在a方向上的投影為()A4B4C2D2考點平面向量的投影題點求向量的投影答案D解析向量b在a方向上的投影為|b|cosa，b4×cos120°2.4已知菱形ABCD的邊

12、長為a，ABC60°，則·等于()Aa2Ba2C.a2D.a2考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120°.·()··2a·a·cos60°a2a2.5已知向量a，b的夾角為60°，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)c·d；(2)|c2d|.考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的模解(1)c·d(2ab)·(a2b)2a22b23a·b2

13、5;42×13×2×1×9.(2)|c2d|2(4a3b)216a29b224a·b16×49×124×2×1×97，|c2d|.1兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正(當a0，b0,0°<90°時)，也可以為負(當a0，b0,90°<180°時)，還可以為0(當a0或b0或90°時)2兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種運算，與實數(shù)乘實數(shù)、實數(shù)乘向量的乘法運算是有區(qū)別的，在書寫時一定要把它們嚴格區(qū)分開來，絕不可

14、混淆3求投影有兩種方法(1)b在a方向上的投影為|b|cos(為a，b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cos.(2)b在a方向上的投影為，a在b方向上的投影為.4兩非零向量a，b，aba·b0，求向量模時要靈活運用公式|a|.一、選擇題1(2017·遼寧大連二十中高一月考)設非零向量a，b，c滿足|a|b|c|，abc，則a與b的夾角為()A150°B120°C60°D30°考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的夾角答案B解析由|a|b|c|且abc，得|ab|b|，平方得|a|2|b|22a·b|b|22a&#

15、183;b|a|22|a|·|b|·cos|a|2cos120°.2已知|a|3，|b|4，且a與b的夾角150°，則a·b等于()A6B6C6D6考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案C3已知a，b方向相同，且|a|2，|b|4，則|2a3b|等于()A16B256C8D64考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的模答案A解析|2a3b|24a29b212a·b1614496256，|2a3b|16.4已知|a|6，|b|3，a·b12，則向量a在向量b方向上的投影是()A4B4C2

16、D2考點平面向量的投影題點求向量的投影答案A解析根據(jù)投影的定義，設a，b的夾角為，可得向量a在b方向上的投影是|a|cos4，故選A.5已知平面上三點A，B，C，滿足|3，|4，|5，則···的值等于()A7B7C25D25考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析由條件知ABC90°，所以原式04×5cos(180°C)5×3cos(180°A)20cosC15cosA20×15×16925.6設向量a，b滿足|ab|，|ab|，則a·b等于()A

17、1B2C3D5考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案A解析|ab|2(ab)2a22a·bb210，|ab|2(ab)2a22a·bb26，由得4a·b4，a·b1.7在ABC中，AB6，O為ABC的外心，則·等于()A.B6C12D18考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析如圖，過點O作ODAB于D，可知ADAB3，則·()···3×6018，故選D.二、填空題8(2017·全國)已知向量a，b的夾角為60&#

18、176;，|a|2，|b|1，則|a2b|_.考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的模答案2解析方法一|a2b|2.方法二(數(shù)形結合法)由|a|2b|2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60°，所以|a2b|2.9設e1，e2是兩個單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1e2)·(3e12e2)_.考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案10(2017·四川綿陽南山中學高一月考)已知在ABC中，ABAC4，·8，則ABC的形狀是_考點平面向量數(shù)量積的應用題點數(shù)量

19、積在三角形中的應用答案等邊三角形解析·|cosBAC，即84×4cosBAC，于是cosBAC，因為0°<BAC<180°，所以BAC60°.又ABAC，故ABC是等邊三角形11在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點，若·1，則AB的長為_考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的模答案解析如圖，由題意可知，.因為·1，所以()·1，即2·21.因為|1，BAD60°，所以式可化為1|21.解得|0(舍去)或|，所以AB的長為.12已知|a|4，|

20、b|3，(2a3b)·(2ab)61.則向量a在向量ab方向上的投影為_考點平面向量數(shù)量積的應用題點利用數(shù)量積求向量的模答案解析(2a3b)·(2ab)4a23b24a·b4×163×94a·b61，解得a·b6，|ab|2a2b22a·b1691213，|ab|，設a與ab的夾角為，a·(ab)a2a·b10，cos，則a在ab方向上的投影為|a|cos4×.三、解答題13如圖，在ABCD中，a，b，.(1)用a，b表示；(2)若|a|1，|b|4，DAB60°，分別求|和·的值考點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(1)ab.(2)因為|a|1，|b|4，DAB60°，所以|22|b|2a·b|a|2×