高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一學(xué)案無(wú)答案新人教A版(共15頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§2.4平面向量的數(shù)量積24.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義.3.會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，如圖思考1如何計(jì)算這個(gè)力所做的功？答案W|F|s|cos.思考2力做功的大小與哪些量有關(guān)？答案與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)梳理?xiàng)l件非零向量a與b，a與b的夾角為結(jié)論數(shù)量|a|b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積

2、(或內(nèi)積)記法向量a與b的數(shù)量積記作a·b，即a·b|a|b|cos規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？答案如圖所示，a，b，過(guò)B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則OB1|b|cos.|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos叫做向量a在b方向上的投影思考2向量b在向量a方向上的投影與向量a在向量b方向上的投影相同嗎？答案由投影的定義知，二者不一定相同梳理(1)條件：向量a與b的夾角為.(2)投影向量b在a方向上的投影|b|cos向量a在b方向上的投影|a

3、|cos(3)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)思考1向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別？答案向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積是數(shù)量思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，其數(shù)量積的符號(hào)由什么來(lái)決定？答案由兩個(gè)非零向量的夾角決定當(dāng)0°90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù)當(dāng)90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零當(dāng)90°180°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù)梳理設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為，(1)aba·b0.(

4、2)當(dāng)ab時(shí)，a·b(3)a·a|a|2或|a|.(4)cos.(5)|a·b|a|b|.1向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是向量(×)2向量a在向量b上的投影一定是正數(shù)(×)3在等邊ABC中，向量與向量夾角為60°.(×)提示向量與向量夾角為120°.類型一求兩向量的數(shù)量積例1已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求：(1)·；(2)·；(3)·.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(1)與的夾角為60°.·|cos60°1×1&

5、#215;.(2)與的夾角為120°，·|cos120°1×1×.(3)與的夾角為60°，·|cos60°1×1×.反思與感悟求平面向量數(shù)量積的兩個(gè)方法(1)定義法：若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b|a|b|cos.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過(guò)平移使兩向量符合以上條件(2)幾何意義法：若已知一向量的模及另一向量在該向量方向上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求a·b.跟蹤訓(xùn)練1已知|a|4，|b|7，且向量

6、a與b的夾角為120°，求(2a3b)·(3a2b)考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(2a3b)·(3a2b)6a24a·b9b·a6b26|a|25a·b6|b|26×425×4×7·cos120°6×72268.類型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模解a·b|a|b|cos5×5×.|ab|5.|ab|5.引申探究若

7、本例中條件不變，求|2ab|，|a2b|.解a·b|a|b|cos5×5×，|2ab|5.|a2b|5.反思與感悟求解向量模的問(wèn)題就是要靈活應(yīng)用a2|a|2，即|a|，勿忘記開(kāi)方跟蹤訓(xùn)練2已知|a|1，|b|3，且|ab|2，求|ab|.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模解方法一|ab|2(ab)2a22a·bb2192a·b4，a·b3.|ab|2(ab)2a22a·bb2192×316，|ab|4.方法二|ab|2(ab)2a22a·bb2，|ab|2(ab)2a22a·bb2

8、，|ab|2|ab|22a22b22×12×920.又|ab|2，|ab|216，|ab|4.類型三求向量的夾角例3(1)設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量a2mn與b2n3m的夾角考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角解|n|m|1且m與n夾角是60°，m·n|m|n|cos60°1×1×.|a|2mn|，|b|2n3m|，a·b(2mn)·(2n3m)m·n6m22n26×12×1.設(shè)a與b的夾角為，則cos.又0，故a與b的夾角為.(2

9、)已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，求a與ab的夾角及a與ab的夾角考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角解如圖所示，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，使|，四邊形OACB為菱形，OC平分AOB，這時(shí)ab，ab.由于|a|b|ab|，即|，AOC60°，即a與ab的夾角為60°.AOC60°，AOB120°，又|，OAB30°，即a與ab的夾角為30°.反思與感悟(1)求向量的夾角，主要是利用公式cos求出夾角的余弦值，從而求得夾角可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值

10、，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關(guān)系，然后代入求解(2)求向量的夾角，還可結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解(3)求向量的夾角時(shí)，注意向量夾角的范圍是0，跟蹤訓(xùn)練3已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，求a與b的夾角考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角解(a2b)·(ab)|a|22|b|2a·b2.|a|b|2，a·b2，設(shè)a與b的夾角為，cos，又0，.1已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，則a·b等于()A1B2C3D4考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面

11、向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案A解析a·b1×2×cos1，故選A.2在等腰直角三角形ABC中，若C90°，AC，則·的值等于()A2B2C2D2考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案B解析·|cosABC2××cos45°2.3已知|a|8，|b|4，a，b120°，則向量b在a方向上的投影為()A4B4C2D2考點(diǎn)平面向量的投影題點(diǎn)求向量的投影答案D解析向量b在a方向上的投影為|b|cosa，b4×cos120°2.4已知菱形ABCD的邊

12、長(zhǎng)為a，ABC60°，則·等于()Aa2Ba2C.a2D.a2考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120°.·()··2a·a·cos60°a2a2.5已知向量a，b的夾角為60°，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)c·d；(2)|c2d|.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模解(1)c·d(2ab)·(a2b)2a22b23a·b2

13、5;42×13×2×1×9.(2)|c2d|2(4a3b)216a29b224a·b16×49×124×2×1×97，|c2d|.1兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a0，b0,0°<90°時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a0，b0,90°<180°時(shí))，還可以為0(當(dāng)a0或b0或90°時(shí))2兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的，在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)，絕不可

14、混淆3求投影有兩種方法(1)b在a方向上的投影為|b|cos(為a，b的夾角)，a在b方向上的投影為|a|cos.(2)b在a方向上的投影為，a在b方向上的投影為.4兩非零向量a，b，aba·b0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a|.一、選擇題1(2017·遼寧大連二十中高一月考)設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|b|c|，abc，則a與b的夾角為()A150°B120°C60°D30°考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的夾角答案B解析由|a|b|c|且abc，得|ab|b|，平方得|a|2|b|22a·b|b|22a&#

15、183;b|a|22|a|·|b|·cos|a|2cos120°.2已知|a|3，|b|4，且a與b的夾角150°，則a·b等于()A6B6C6D6考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案C3已知a，b方向相同，且|a|2，|b|4，則|2a3b|等于()A16B256C8D64考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案A解析|2a3b|24a29b212a·b1614496256，|2a3b|16.4已知|a|6，|b|3，a·b12，則向量a在向量b方向上的投影是()A4B4C2

16、D2考點(diǎn)平面向量的投影題點(diǎn)求向量的投影答案A解析根據(jù)投影的定義，設(shè)a，b的夾角為，可得向量a在b方向上的投影是|a|cos4，故選A.5已知平面上三點(diǎn)A，B，C，滿足|3，|4，|5，則···的值等于()A7B7C25D25考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析由條件知ABC90°，所以原式04×5cos(180°C)5×3cos(180°A)20cosC15cosA20×15×16925.6設(shè)向量a，b滿足|ab|，|ab|，則a·b等于()A

17、1B2C3D5考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案A解析|ab|2(ab)2a22a·bb210，|ab|2(ab)2a22a·bb26，由得4a·b4，a·b1.7在ABC中，AB6，O為ABC的外心，則·等于()A.B6C12D18考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案D解析如圖，過(guò)點(diǎn)O作ODAB于D，可知ADAB3，則·()···3×6018，故選D.二、填空題8(2017·全國(guó))已知向量a，b的夾角為60&#

18、176;，|a|2，|b|1，則|a2b|_.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案2解析方法一|a2b|2.方法二(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a2b|.又AOB60°，所以|a2b|2.9設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1e2)·(3e12e2)_.考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義答案10(2017·四川綿陽(yáng)南山中學(xué)高一月考)已知在ABC中，ABAC4，·8，則ABC的形狀是_考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量

19、積在三角形中的應(yīng)用答案等邊三角形解析·|cosBAC，即84×4cosBAC，于是cosBAC，因?yàn)?°<BAC<180°，所以BAC60°.又ABAC，故ABC是等邊三角形11在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點(diǎn)，若·1，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案解析如圖，由題意可知，.因?yàn)?#183;1，所以()·1，即2·21.因?yàn)閨1，BAD60°，所以式可化為1|21.解得|0(舍去)或|，所以AB的長(zhǎng)為.12已知|a|4，|

20、b|3，(2a3b)·(2ab)61.則向量a在向量ab方向上的投影為_(kāi)考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求向量的模答案解析(2a3b)·(2ab)4a23b24a·b4×163×94a·b61，解得a·b6，|ab|2a2b22a·b1691213，|ab|，設(shè)a與ab的夾角為，a·(ab)a2a·b10，cos，則a在ab方向上的投影為|a|cos4×.三、解答題13如圖，在ABCD中，a，b，.(1)用a，b表示；(2)若|a|1，|b|4，DAB60°，分別求|和·的值考點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義題點(diǎn)平面向量數(shù)量積的概念與幾何意義解(1)ab.(2)因?yàn)閨a|1，|b|4，DAB60°，所以|22|b|2a·b|a|2×