重力勢能和機械能守恒定律的典型例題

1、“重力勢能和機械能守恒定律”的典型例題【例 1】如圖所示，桌面距地面 0.8m，一物體質(zhì)量為 2kg，放在距桌面 0.4m 的支架上（1）以地面為零勢能位置，計算物體具有的勢能，并計算物體由支架下落到桌面過程中，勢能減少多少？（ 2）以桌面為零勢能位置時，計算物體具有的勢能，并計算物體由支架下落到桌面過程中勢能減少多少？【分析】 根據(jù)物體相對零勢能位置的高度，直接應(yīng)用公式計算即得【解】 （1）以地面為零勢能位置，物體的高度 h1=1.2m，因而物體的重力勢能：Ep1=mgh1=2×98×12J=23 52J物體落至桌面時重力勢能：Ep2=mgh2=2×98

2、5;08J=15 68J物體重力勢能的減少量：Ep=Ep1-Ep2=2352J-1568J=7 84J1而物體的重力勢能：物體落至桌面時，重力勢能的減少量【說明】 通過上面的計算，可以看出，物體的重力勢能的大小是相對的，其數(shù)值與零勢能位置的選擇有 而重力勢能的變化是絕對的， 它與零勢能位置的選擇無關(guān)，其變化值是與重力對物體做功的多少有關(guān) 當物體從支架落到桌面時重力做功：【 例 2】質(zhì)量為 2kg 的物體自高為 100m 處以 5ms 的速度豎直落下， 不計空氣阻力，下落 2s，物體動能增加多少？重力勢能減少多少？以地面為重力勢能零位置，此時物體的機械能為多少？（ g 取 10m s2）【分析】

3、 物體下落時，只受重力作用，其加速度a=g，由運動學公式算出2s 末的速度和 2s 內(nèi)下落高度，即可由定義式算出動能和勢能【解】 物體下落至 2s 末時的速度為：2s 內(nèi)物體增加的動能：2s 內(nèi)下落的高度為：2重力勢能的減少量：此時物體離地面的高度為：h=Hh=（ 10030） m=70m以地面為零勢能位置時，物體的機械能為：【說明】 拋出后，由于物體只受重力作用，整個運動過程中只有重力做功，物體的機械能守恒剛拋出時，物體的機械能為：在下落過程中，重力勢能的減少量恰等于動能的增加量，即Ek = Ep【 例 3】質(zhì)量為 1.0kg 的物體，自空中落下， 以 8.0ms2 的加速度經(jīng) A 點到達

4、B點， A、B 相距 0.75m若物體在 B 點時的動能為 8.0J，那么通過 AB 的過程中物體動能的增加量為多少？物體克服阻力做多少功？（取g=10ms2）【分析】 由于下落的加速度a g，在下落時一定受到阻力， 根據(jù)牛頓第二定律，可算出阻力，于是即可得克服阻力的功已知物體在 B 點的動能，可算出在 B 點的速度，結(jié)合運動學公式算出 A 點的速度后，即可算出動能的增量【解】 設(shè)下落中物體受到的阻力為f，由mgf=ma3得 f=mg-ma=1.0(10-8)N=2N物體克服阻力做功：物體從 A 落到 B 的過程中，動能的增加量為： Ep=EkB EkA =8.0J 2.0J=6.0J【說明】

5、 物體從 A 落到 B 的過程中，勢能減少：Ep=mgs=1×10× 0.75J=7.5J它大于物體動能的增加， 可見其機械能不守恒 這是由于存在阻力的緣故 勢能的減少與動能增加量之差恰等于物體克服阻力做的功，即Ep Ek=Wf這也就是從 A 到 B 的過程中所減少的機械能【 例 4】如圖所示，光滑圓管形軌道AB 部分平直， BC 部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為 R 的半圓，圓管截面半徑 rR，有一質(zhì)量 m，半徑比以水平初速 v0 射入圓管，（ 1）若要小球能從 C 端出來，初速小球從 C 端出來的瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速條件？r 略小的光滑小球v 0 多大？（

6、2）在 v0 各應(yīng)滿足什么4【分析】 小球在管內(nèi)運動過程中，只有重力做功，機械能守恒，要求小球能從C 端射出，小球運動到 C 點的速度 vc 0根據(jù)機械能守恒定律即可算出初速 v0小球從 C 端射出時可能有三種典型情況：剛好對管壁無壓力；對下管壁有壓力；對上管壁有壓力同理由機械能守恒可確定需滿足的條件【解】 （1）小球從 A 端射入后，如果剛好能到達管頂，則vc=0，由機械能守恒因此，要求小球能從C 端出來，必須使 vc0，所以入射速度應(yīng)滿足條件（ 2）小球從 C 端出來的瞬間，可以有三種典型情況：剛好對管壁無壓力，此時需滿足條件聯(lián)立得入射速度對下管壁有壓力，此時相應(yīng)的入射速度為5對上管壁有壓

7、力，相應(yīng)的入射速度為【 例 5】如圖所示，勁度系數(shù) k1 的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為m1、m2 的物塊 1、2 栓接，勁度系數(shù)為 k2 的輕質(zhì)彈簧上端與物塊 2 栓接，下端壓在桌面（不栓接），整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài) 現(xiàn)施力將物塊 1 緩慢豎直上提， 直到下面那個彈簧的下端剛脫離桌面 在此過程中， 物塊 2 的重力勢能增加了 _，物塊 1 的重力勢能增加了 _【分析】 設(shè)原來兩彈簧壓縮量分別為x1 和 x2，由物體的力平衡知當施力將物塊 1 緩慢上提至下面彈簧剛脫離桌面時，表示下面的彈簧已恢復(fù)原長，物塊 2 升高的高度 h2=x2，所以在此過程中，物塊 2 的重力勢能增加此時，上面的彈簧受到拉伸，

8、設(shè)其伸長量為x'1，由物塊 2 的力平衡條件知，則物塊 1 在這過程中升高的高度為6所以，物塊 1 的重力勢能增加【 例 6】關(guān)于機械能是否守恒的敘述，正確的是 A作勻速直線運動的物體的機械能一定守恒B作勻變速運動的物體機械能可能守恒C外力對物體做功為零時，機械能一定守恒D只有重力對物體做功，物體機械能一定守恒【分析】機械能守恒的條件是除重力對物體做功外，沒有其它外力對物體做功，或其它外力對物體做功的代數(shù)和等于零當物體作勻速直線運動時， 除重力對物體做功外， 可能還有其他外力做功 如降落傘在空中勻速下降時，既有重力做功，又有阻力做功，機械能不守恒物體作勻變速運動時， 可能只有重力對物體

9、做功， 如自由落體運動， 此時物體的機械能守恒因物體所受的外力，指的是包括重力在內(nèi)的所有外力， 當外力對物體做功為零時，可能是處于有介質(zhì)阻力的狀態(tài)，如勻速下降的降落傘，所以機械能不一定守恒【答】 B，D7【 例 7】某人以 v0=4ms 的初速度，拋出一個質(zhì)量為m 的小球，測得小球落地時的速度大小為 8m s，則小球剛拋出時離開地面的高度為多少？取 g=10ms2空氣阻力不計【分析】 小球從拋出到落地過程中，不受阻力，只有重力做功，由小球的機械能守恒即可算出離地高度【解答】 設(shè)小球拋出時的高度為h，落地速度為vt，取拋出和落地為始、末兩狀態(tài)，以地面為零勢能位置，由機械能守恒定律得：出結(jié)果，盡管

10、答案相同，但是不正確的這里的小球不一定作直線運動，必須根據(jù)機械能守恒求解【 例 8】如圖所示，以速度 v0=12ms 沿光滑地面滑行的小球， 上升到頂部水平的跳板上后由跳板飛出， 當跳板高度 h 多大時，小球飛行的距離 s 最大？這個距離是多少？（ g=10ms2）【分析】 小球上滑到跳板頂端的過程中，只有重力做功，機械能守恒從跳板頂飛出，小球作平拋運動【解】 設(shè)小球從跳板頂飛出的速度為v，由機械能守恒（取底部為勢能的參考平面）8得小球從頂端飛出后作平拋運動，其水平位移為為了找出使水平位移s 最大的條件，對上式作變換得可見，當滿足條件小球飛出后的水平距離最大，其值為【 例 9】圖中圓弧軌道 A

11、B 是在豎直平面內(nèi)的1/4 圓周，在 B 點，軌道的切線是水平的一質(zhì)點自 A 點從靜止開始下滑，不計滑塊與軌道間的摩擦和空氣阻力，則在質(zhì)點剛要到達 B 點時的加速度大小和剛滑過 B 點時的加速度大小分別為 ( )A 0，g B g， g C 2g， g D 2g，2g【分析】 質(zhì)點從 A 到 B 的下滑過程中，只有重力做功，機械能守恒取過B點的水平面為零勢能面，設(shè)軌道半徑為R，則有9質(zhì)點從 A 到 B 是作變速圓周運動，當它剛到達B 點瞬間的加速度為聯(lián)立（ 1），（ 2）兩式得質(zhì)點剛滑過 B 點，僅受重力作用，其加速度大小為【答】 C【說明】必須注意，物體的加速度跟所受外力是一個瞬時關(guān)系，一旦

12、外力變化，加速度隨即變化圖中質(zhì)點剛到達 B 點時，受到軌道向上的彈力和豎直向下的重力作用，產(chǎn)生的加速度指向過 B 點豎直向上的方向，即指向圓心剛滑過 B 點，軌道支持力為零，僅受重力作用，產(chǎn)生的加速度豎直向下物體的速度則由于慣性，力圖保持不變，圖中質(zhì)點在剛到達B!iedtxx(stylebkzd', 1107P04.htm')【 例 10】如圖 1 所示， ABC 和 AD 是兩上高度相等的光滑斜面， ABC 由傾角不同的兩部分組成，且 AB+BC=AD ，兩個相同的小球 a、 b 從 A 點分別沿兩側(cè)斜面由靜止滑下，不計轉(zhuǎn)折處的能量損失，則滑到底部的先后次序是 A a 球先到

13、Bb 球先到C兩球同時到達D無法判斷【分析】 小球沿兩斜面下滑過程中，都只有小球的重力做功，機械能守恒，因此， a、 b 兩球滑到底端的速度大小一定相等，即vC=vD10在 AD 斜面上取 AB =AB（圖 2），由于 AB 部分比 AB 部分陡些，小球滑到 B 點的速度必大于滑到 B點的速度，即vBvB 因此，兩球在 AB 與 AB 段、 BC 與 BD 段上的平均速度的大小必然是由于對應(yīng)的斜面長度AB=AB ， BC=B D所以通過它們的時間長短必然是tAB t AB ，tBC tB D也就是說，沿 ABC 斜面的小球先滑到底部【答】 A【說明】 本題還可以畫出v-t 圖作出更簡捷的判斷如

14、圖3 所示，為沿 ABC 和AD 下滑小球 a、b 的 v-t 圖由于 AB+BC=AD ，則圖線下方與 t 軸間的面積應(yīng)相等，也就是圖中劃有斜線的兩部分面積相等，顯然，兩球運動時間必然是tatb圖 311【 例 11】如圖 1，一個質(zhì)量為 m 的小球拴在全長 L 的細線上做成一個單擺，把小球從平衡位置 O 拉至 A ，使細線與豎直方向成 角，然后輕輕釋放若在懸點 O的正下方有一顆釘子 P，試討論，釘子在何處時，（ 1）可使小球繞釘來回擺動；（ 2）可使小球繞釘做圓周運動【分析】 小球擺動過程中，只有小球的重力做功當不考慮細線碰釘時的能量損失時，無論小球繞釘來回擺動，或繞釘做圓周運動，小球的機

15、械能都守恒【解】 （1）小球繞釘來回擺動時，只能擺到跟開始位置A 等高的地方，因此，釘子 P 的位置范圍只能在過 A 點的水平線與豎直線 OO的交點上方（圖 2），即釘子離懸點 O的距離 h 應(yīng)滿足條件 0hLcos（ 2）設(shè)釘子在位置 P時剛好使小球能繞釘做圓周運動， 圓半徑 R=PO，設(shè)小球在最高點 C 的速度為 vc，并規(guī)定最低處 O 為重力勢能的零位置 （圖 3），由 A 、 C 兩位置時的機械能守恒 EA=EC，即又因為剛好能越過 C 點做圓運動，此時繩中的張力為零，由重力提供向心力，即12所以釘子 P離懸點 O的距離如果釘子位置從P處繼續(xù)下移，則小球?qū)⒁愿蟮乃俣仍竭^圓周的最高點，

16、此時可由繩子的張力補充在最高點時所需的向心力， 仍能繞釘子做圓周運動 所以，能繞釘做圓運動時釘子離懸點的距離 h應(yīng)滿足條件【說明】 由本題的解答可知，位置P 是小球能繞釘來回擺動的最紙位置；位置P是小球能繞釘做圓周運動的最高位置如釘子在 PP之間，則懸線碰釘后，先繞釘做圓運動，然后將在某一位置上轉(zhuǎn)化為斜拋運動【 例 12】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細管的半徑大得多） 在圓管中有兩個直徑比細管內(nèi)徑略小的小球 （可視為質(zhì)點） A球的質(zhì)量為 m1，B 球的質(zhì)量為 m2它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為 v0 設(shè) A 球運動到最低點時， B 球恰好運動到最高

17、點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么 m1，m2，R 與 v0 應(yīng)滿足的關(guān)系式是 _【分析】 A 球運動到最低點時，由外壁對它產(chǎn)生的彈力NA 和 A 球重力 m1g 的合力作為向心力，即13A 球?qū)ν獗诋a(chǎn)生的壓力NA 大小等于 NA ，方向沿半徑背離圓心（圖1）要求對圓管的合力為零， B 球在最高點時也必須對外壁（不可能是內(nèi)壁）產(chǎn)生一個等量的壓力 NB 因此， B 球在最高點有向外壁擠壓的作用，由外壁對它產(chǎn)生的彈力 NB 和球重 m2g 的合力作為向心力（圖 2）設(shè) B 球在最高點的速度為vB，據(jù)向心力公式和機械能守恒有根據(jù)題意NA =NB，即要求【 例 13】如圖所示，半徑為r，質(zhì)量不

18、計的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定有一個質(zhì)量為m 的小球 A ，在 O 點的正下方離 O 點 r 2 處固定一個質(zhì)量也為 m 的小球 B放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動，問：14（ 1）當 A 球轉(zhuǎn)到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？（ 2） A 球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多少？（ 3）在轉(zhuǎn)動過程中半徑 OA 向左偏離豎直方向的最大角度是多少？【分析】 兩小球勢能之和的減少，可選取任意參考平面（零勢能位置）進行計算由于圓盤轉(zhuǎn)動過程中， 只有兩個小球重力做功， 根據(jù)機械能守恒即可列式算出 A 球的線速度和半徑 OA 最大偏角【解】 （1）以通過 O 的水

19、平面為零勢能位置，開始時和A 球轉(zhuǎn)到最低點時兩球重力勢能之和分別為 兩球重力勢能之和減少（ 2）由于圓盤轉(zhuǎn)動過程中，只有兩球重力做功、機械能守恒，因此，兩球重力勢能之和的減少一定等于兩球動能的增加設(shè) A 球轉(zhuǎn)到最低點時， A 、B 兩球的速度分別為 vA、 vB ，則因 A 、B 兩球固定在同一個圓盤上，轉(zhuǎn)動過程中的角速度（設(shè)為）相同由得 vA =2vB15代入公式，得（ 3）設(shè)半徑 OA 向左偏離豎直線的最大角度為 如圖，該位置的機械能和開始時機械能分別為由機械能守恒定律E1=E3，即即 2cos=1+sin兩邊平方得4（1sin2） =1+sin2+2sin， 5sin2 +2sin 3=

20、0，【例 14】一個質(zhì)量為 m 的木塊，從半徑為 R、質(zhì)量為 M 的 1/4 光滑圓槽頂端由靜止滑下，在槽被固定和可沿著光滑平面自由滑動兩情況下， 如圖，木塊從槽口滑出時的速度大小之比為 16【分析】 槽固定時，木塊下滑過程中只能有重力做功，木塊的機械能守恒，木塊在最高處的勢能全部轉(zhuǎn)化為滑出槽口時的動能由得木塊滑出槽口的速度槽可動時，當木塊開始下滑到脫離槽口的過程中， 對木塊和槽所組成的系統(tǒng)， 水平方向不受外力， 水平方向的動量守恒 設(shè)木塊滑出槽口時的速度為 v2，槽的速度為 u，則mv2+Mu=0又木塊下滑時只有重力做功， 機械能守恒，木塊在最高處的勢能轉(zhuǎn)化為木塊滑出槽口時的動能和圓槽的動能

21、，即聯(lián)立兩式得木塊滑出槽口的速度因此，兩情況下滑出槽口的速度之比17【答】 D【 例 15】如圖，長為 L 的光滑平臺固定在地面上， 平臺中央有兩小物體A 和 B，彼此接觸靠在一起， A 的上表面有一半徑為R（ RL ）、頂端距臺面高h 的圓槽，槽頂有一小物體 C， A 、B、C 三者質(zhì)量均為 m，現(xiàn)使物體 C 由靜止沿圓槽下滑，且運動過程中它始終與圓槽接觸，求1A 和 B 剛分離時， B 的速度；2A 和 B 分離后， C 能達到距平臺的最大高度【分析】 物體 C 下滑時， C 對 A 作用力的水平分力向右，推動A 、B 一起向右加速運動當 C 滑至圓槽底部時， C 對 A 作用力的水平分力

22、為零， A 、B 兩者向右的加速過程結(jié)束，速度達到最大以后， C 將沿圓槽上滑， C 對 A 作用力的水平分力向左， A 將開始做減速運動，而 B 則沿平臺勻速向右因此， C 滑至圓槽底部的時刻就是 A 、B 即將分離的時刻把 A 、B、C 三個物體組成的系統(tǒng)作為研究對象， C 下滑過程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力，動量守恒同時，整個系統(tǒng)無重力和彈力以外的力作功，機械能守恒聯(lián)合應(yīng)用這兩條守恒定律，即可得解【解】 規(guī)定以水平向右為正方向，由C 剛開始滑下和 C 滑至圓槽底部兩時刻的動量守恒，0=mvA +mvBmvC （1）又由于整個系統(tǒng)無重力和彈力以外的力作功， 機械能守恒，當取槽底為零勢能位置

23、時，18且 vA =vB由（ 1）、（ 3）兩式，得 vC=2vB，代入（ 2）式，即得2C 沿圓槽上滑，至某一最高點時， A 、C 兩者無相對運動，設(shè)此時共同速度為v，其方向為水平向左，仍以 A+B+C 為研究對象，由 C 剛開始滑下至 C、 A 兩者相對靜止兩時刻動量守恒（此時 B 以速度 vB 沿平臺勻速右滑），則0=mvB2mv （4）又由整個系統(tǒng)的機械能守恒，當取平臺為零勢能位置時，則【說明】 確定 A 、B 兩物體何時分離，是解答前半題的關(guān)鍵，此外在應(yīng)用動量守恒定律時，可始終以A+B+C 為研究對象，其初動量恒為零，列式較為簡單【 例 16】在光滑的水平面上有運動的物體A ，其質(zhì)量

24、為 mA，動能為 Eka,另有靜止的物體 B，其質(zhì)量為 mB在物體 B 的一個側(cè)面固定一個勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧如圖所示若物體 A 沖向彈簧并推動物體 B，且相互作用過程中沒有能損耗，問19（ 1） mA、 mB 之間的關(guān)系滿足什么條件，物體 A 傳給 B 的動能最大？最大值是多少？（ 2）如果相互作用后，物體 A 、B 的速率相等，那么 mA mB =?（ 3）如果相互作用后，物體 A 、B 的動能相等，那么 mA mB =？（ 4）相互作用過程中，彈簧的最大壓縮量為多少？【分析】取物體 A 和 B（包括彈簧）組成的系統(tǒng)為研究對象，物體 A 、B 相互作用的過程中，所受到的合外力為零，因

25、此，系統(tǒng)的動量守恒，且題目給定相互作用過程中沒有能量損耗， 這就意味著系統(tǒng)的機械能守恒 在運用動量守恒和機械能守恒建立方程時，要注意選擇合適的兩個時刻 （1）（ 3）問涉及相互作用結(jié)束時物體的動能、速率，要選擇相互作用始、末兩狀態(tài)建立方程而（ 4）問中要求解彈簧的最大壓縮量， 當然此時刻并非是彈簧作用的結(jié)束， 但可以選此時刻和初始時刻，來建立方程求解相關(guān)問題【解】設(shè)物體 A 、B 相互作用前， A 的速度是 v0，作用后 A 、B 的速度分別為 vA和 vB據(jù)動量守恒定律有據(jù)機械能守恒定律有聯(lián)立（ 1）、（ 2）兩式解得（ 1）物體 A 傳給 B 的動能，即相互作用后B 的動能為由此可知，當

26、mA=mB 時， EKB 取最大值，且最大值為EKA ，20若 vA=vB時，有解得， mA=mB，物體的質(zhì)量不可能有負值，此解無意義若 vA=vB時，有解得 mB=3mA，即 mA mB =13vA 和 vB 后整理得兩解都合題意（ 4）當彈簧壓縮量最大時， 物體 A 、B 間沒有相對運動， 即 A 和 B 的速度相等，若其速度為 v據(jù)動量守恒和機械能守恒有聯(lián)立（ 3）、（ 4）兩式解得21【說明 】（ 1）數(shù)學是解決物理問題的工具，通常物理問題中求最大值的一類習題，實質(zhì)上就是數(shù)學上求函數(shù)極值的問題為此，第（ 1）問中，首先要寫出動能 EKB 的函數(shù)表達式，繼而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定其極值（ 2

27、）用數(shù)學方法求出的解具有更普遍的意義，這些解是否符合題意，且明確的物理意義，還必須加以分析，本題（ 2）問中，有一個解出現(xiàn)了“負質(zhì)量”，這在物理中是不存在的，必須舍去但在（ 3）問中，通過解方程也得到兩個解，而這兩個解則都合題意，則應(yīng)保留（ 3）在解第（ 4）問時，建立動量守恒和機械能守恒的方程時，選擇了相互作用的初始時刻和相互作用過程中間的一個時刻， 而不是相互作用末時刻 這正是運用了動量守恒和機械能守恒是對全過程而言的性質(zhì)!iedtxx(stylebkzd', 1107P09.htm') 例 17小球 A 、B 分別固定在長度均為L 的輕線、輕桿的下端，桿的上端分別固定于

28、O 點，且均能繞 O 點無摩擦地轉(zhuǎn)動。要求小球能繞過最高點，求小球在最低點的最小速度 v1、v2 各為多大？分析 線或桿對小球的彈力， 在小球繞 O 點做圓周運動的過程中， 始終與瞬時速度相垂直，所以彈力不做功，只有重力作功，小球的機械能守恒，要注意到線與桿對球約束的差異，線可受拉力不能受壓力，所以 A 球達最高點線的拉力的最小值為零，線不可能給球以支持力，球速不能小于；桿可受拉力也可受壓力，所以 B 球達最高點桿可以給球以支持力，球速允許等于零。解 要求 A 球作圓周運動達到最高點， 并具有最小的速度， 則要求線處于要松而又未松的臨界狀態(tài)， 即拉球的彈力等于零的狀態(tài)。 A 球在最高點受的重力提供向心