高數(shù)試卷2(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用)及答案精編版

1、高數(shù)測試題二(導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用 )1.求極限：limxx cosx;(2)求lim (1cot2x);(3)求2x.(1)3xx2lim (arctan x)x 04 sinx0x2.設(shè) f '' ( x) 在 xf (ah)f (ah)2 f ( a)a 點附近連續(xù)，則 limh2_ .h013.討論 .函數(shù) f ( x)(1) x 在 (0, )的單調(diào)性 .x設(shè)x sin xcosx，下列命題中正確的是_.4.f ( x)( A ) f (0)是極大值，f ()是極小值(B) f (0)是極小值，f (是極大值)22(C) f (0)是極大值，f ()也是極大值( D ) f (

2、0)是極小值，f (也是極小值2)25.設(shè) f ( x)x 3, x0 ，求： (1)f (0);(2)確定 f ( x) 的單調(diào)增減區(qū)間 .x arctanx , x0已知函數(shù)yx3，求6.( x1)2(1)函數(shù)的增減區(qū)間及極值 ；函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及 拐點；(2)7. 函數(shù) yx3_ .2lnx3的水平漸近線方程為(A) y2(B)y1(C) y3(D) y08.設(shè) (1,3)是曲線 yax 3bx 21 的拐點，求 a, b.設(shè)x1x2，問 ex1和 ex2何者更大，為什么？9.02x12x2210.設(shè) x0，常數(shù) ae，證明：(ax)aa a x .1f ( x)dxf (0).11.

3、設(shè)函數(shù) f ( x)在 0,1上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 3 23證明 : 在 (0,1)內(nèi)存在一點，使得 f ' () 0.設(shè)在0,1上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且f (0)試證：至少存在一點12. f (x)(0,1)0.(0,1), 使f '()2 f ()f '()13.設(shè) yf ( x)是方程 y' '2 y' 4 y0的一個解，若 f ( x0 )0，且 f ' ( x0 ) 0，試判定 x0是否是 f ( x)的極值點？如果 x0為 f (x)的極值點，是極大值點 ，還是極小值點？114.求 q，使方程 x 33xq0有兩個互異

4、實根，并指出根的值 .15. 在拋物線 y x 2 ( 第一象限部分 ) 上求一點，使過該點的 切線與直線y 0, x 8 相交所圍成的三角形的 面積為最大 .答案01.(1) 解xx cosxxx cos x 01cosxx sin xlim4 sin 3xlim4x 3lim12x2x0x0x00x cosx1lim x cosx111 .lim 2 sin x0x024x12x 02412248(2) 解1cot2x)lim (1cos2x)limsin 2xx 2 cos2xlim (2x2sin2xx2sin2xx 0xx0x0lim(sin xx cos x)(sin xx cos

5、 x)sin xx cos xsin xx cos x4limlim3x 0xx0xx0x001cos xcos xxsin x111lim3x223.2 x06(3)解屬于 1型，可轉(zhuǎn)化成 elnf ( x) 形式求解 .2ln(arctan x )2lim1112x ln(xlim( x2xarctan x)xarctan x 1 x22 )故 lim (limeeexe .arctan x)xx解因為f ''( x)存在，則f ' ( x)存在，利用洛必達法則 有2.0f ( ah)f ( ah)2 f (a) 0limf ' (ah)f '( a

6、 h)limh22hh0h0limf ' '( ah)f ' '(a h)f ' ' (a).故應(yīng)填 f ' '( a).2h 01x11解：f( x)1ln(1)3.xx1 x令 g( x)ln(11)11 ，g ( x)1x1(111x) 20xx1xx)2x(1所以函數(shù) g( x)在( 0,)上單減，由于 limln(11 )10xx1x故對任意 x( 0,), g( x)ln 1110x1x從而 f( x)0( x0),函數(shù) f (x)在 (0, )上單增。 故應(yīng)選 (A )24.解： f ' ( x)sin x

7、x cos xsin xx cos x，顯然 f ' ( 0)0， f ' ()0，2又 f " ( x)cos xx sin x，且 f " (0) 10， f " ()20，所以 f (0)是極小值，2f ( )是極大值 .故應(yīng)選 ( B)2解(1)f( 0)limf ( x)f (0)limx 30,5.xxx 0x0f(0)limf ( x)xf ( 0)limx arctan x0,x 0x0x由 f(0)f(0)，所以 f(0)0.( 2)當x0時, f ( x)3x2；當x0時, f ( x)arctan xx0,01x 2所以 f

8、( x) 的單調(diào)增區(qū)間為 ( 0,)，減區(qū)間為 (,0).解所給函數(shù)的定義域為(,1)(1,)6.yx 2 ( x3)令y，得駐點x及x3( x1) 300y6x令y，得x0列表( x1) 40由此可知， 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(,1)和，單調(diào)減少區(qū)間為(1,3);極小值為y27(1)(3)4函數(shù)圖形在區(qū)間(內(nèi)是凸的，在區(qū)間， ，內(nèi)是凹的，拐點為(0,0)(2),0)(0,1)(1)7.解因為 lim ylim (2 ln xx33)3,xx所以 y3 為 y2 lnxx33的水平漸近線 .故應(yīng)選 (C).8.解y'3ax 22bx， y' '6ax2b，若 (1,3) 為曲

9、線的拐點，則必滿足y |x1 3， y' ' |x 10，即ab13a16a2b，解得b.039.解設(shè) yexx(0,2)yx2 ex2 xe xex ( x 2)0x2x 4x3故 y為(0,2)內(nèi)單減函數(shù) .所以當 0x1x2e x1ex22時， 22 .x1x210.證 因為 yln x是單調(diào)增加函數(shù)，所以欲證明 (ax) aa a x ，只須證 a ln( ax)( ax) ln a .設(shè) f ( x)( ax) ln aa ln( ax)，則 f ( x)在0,)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，又有f(x)ln aaax3因為， a，故，所以函數(shù)f ( x)在 0,內(nèi)單調(diào)增加.ln a

10、 1ax1f ( x) 0)而f (0)，所以f ( x)0(0x，0)即a ln( a x) (ax) ln a，也即(ax)aaax.證明因f ( x)在0,1上連續(xù)，故由積分中值 定理知， 一點2,1) (0,1)11.(13f (0)f ().使3 2 f (x)dx3則f ( x)在 0,上應(yīng)用羅爾定理得，至 少存在一點，使得f '( )0.(0,1)證明構(gòu)造函數(shù)F ( x) f ( x)(1x)2，則F ( x)在0,1上滿足羅爾定理條件12.至少存在一點，使F ()0即f '() 2 f ()f ' ()(0,1)13.解由于 yf ( x)為 y'

11、; '2 y'4y0的解，從而f ( x) 2 f ( x) 4 f ( x)0特別的，當 f ( x0 )0時，上述方程可以化為f ( x0 ) 4 f (x0 )0f (x0 )4 f ( x0 ) 0由極值得第二充分條件可以得知， x0為的極值點，且為極大值點 . 即 f ( x)在x0點取得極大值 .解設(shè)f ( x)x33xq0其定義域為(,)且limf (x)14.xlimf (x).f (x)3x230得駐點x1xx或時，即f (x)單增時，f (x) 0即f ( x)單減1 x 1f ( x) 01 x 1f (1)q2f (1)q2f (1)f (1)故q或2時，方程有兩個實根;2 q當時，方程為x33x 2 0根為x1，2.q 21 x2當q時，方程為x33x 2 0根為x1，2.21 x2解設(shè)切點為( x0 , x02，則切線方程為y22x0 ( xx0 ),15.) x00x0即y2x0 xx02 , 切線與 x 軸交