電磁場(chǎng)與電磁波(第三版)課后答案第3章

1、第三章習(xí)題解答3.1真空中半徑為 a的一個(gè)球面， 球的兩極點(diǎn)處分別設(shè)置點(diǎn)電荷q 和q ，試計(jì)算球赤道平面上電通密度的通量(如題 3.1圖所示 )。解由點(diǎn)電荷 q 和q 共同產(chǎn)生的電通密度為赤道平面Dq R3Rq43RRaqer r ez ( z a)er r ez( z a)42( z23 2r2(z23 2 ra)a)則球赤道平面上電通密度的通量D d SD ezz0 d SSSqqa(a)a3 2 2 r d r4(r22)3 2(r22題 3.1圖0aa )qaa1(1)q0.293q(r 2a2 )1 2023.21911 年盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中使用的是半徑為ra 的球體原子模型， 其球體內(nèi)

2、均勻分布有總電荷量為Ze 的電子云，在球心有一正電荷Ze （ Z 是原子序數(shù)， e 是質(zhì)子電荷量） ，通過實(shí)驗(yàn)得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為D0erZe1r，試證明之。4r 2ra3解位于球心的正電荷Ze 球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為D1erZe4r 2原子內(nèi)電子云的電荷體密度為Ze3Ze4r 334r 3aab電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為4r 3 3Ze r0aD2 ererc4r243ra故原子內(nèi)總的電通量密度為Ze1r題 3. 3 圖 (a)D D1D2er 4r 2ra33.3電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為0 C m3 ,兩圓柱面半徑分別為a 和 b ，軸線相距為 c (

3、cba) ，如題3.3 圖 (a) 所示。求空間各部分的電場(chǎng)。解由于兩圓柱面間的電荷不是軸對(duì)稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為a 的小圓柱面內(nèi)看作同時(shí)具有體密度分別為0 的兩種電荷分布， 這樣在半徑為 b 的整個(gè)圓柱體內(nèi)具有體密度為0 的均勻電荷分布，而在半徑為a 的整個(gè)圓柱體內(nèi)則具有體密度為0 的均勻電荷分布，如題3.3圖 (b) 所示。空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加。在 rb 區(qū)域中，由高斯定律E dSqP，可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)S0E1b200b2 rE1er 2a200a2r產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為er 2 0r2 0r 20r2 0 r 2bbbaa00

4、a0ccc題 3. 3 圖 (b)b2ra2r點(diǎn) P 處總的電場(chǎng)為EE1E120( r 2r2)在 rb 且 ra 區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)P 產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為r 2rer 2a2a2 rE 2er 20 r2 0E20r2 0r 2點(diǎn) P 處總的電場(chǎng)為EE 2E20(ra2r2 )2 0r在 ra 的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)P 產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為r 200rer 2r200rE3er 20r2 0E30r2 0點(diǎn) P 處總的電場(chǎng)為EE 3E 320(rr )20c003.4半徑為 a的球中充滿密度(r ) 的體電荷，已知電位移分布為r 3Ar 2(ra)D

5、ra5Aa 4(ra)其中 A 為常數(shù)，試求電荷密度(r ) 。r 21d解：由D，有( r )D(r2Dr)r 2 d r故在 ra 區(qū)域1d2322(r )0r 2d r r (rAr)0 (5r4 Ar )在 ra 區(qū)域1d2 (a5Aa4 )(r )0 r 2 d r rr 203.5 一個(gè)半徑為 a 薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q 為的體電荷，球殼上又另充有電荷量Q 。已知球內(nèi)部的電場(chǎng)為Eer (ra) 4，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算：（1） 球內(nèi)的電荷分布； （2）球殼外表面的電荷面密度。解 （ 1） 由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為0E0 12d

6、 (r 2 E)0 1 d ( r 2 r 4)6 0 r 3rdrr 2dra4a4ar 3（ 2）球體內(nèi)的總電量Q 為Qd64 r 2dr4a200 a40球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷Q ，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷Q ，所以球殼外表面上的總電荷為2 Q ，故球殼外表面上的電荷面密度為2Q204a23.6兩個(gè)無限長(zhǎng)的同軸圓柱半徑分別為ra 和 rb (ba) ，圓柱表面分別帶有密度為1 和2 的面電荷。（ 1）計(jì)算各處的電位移D0 ；（ 2）欲使 rb 區(qū)域內(nèi) D00 ，則1 和2 應(yīng)具有什么關(guān)系？解 （ 1）由高斯定理D0 d Sq ，當(dāng) ra 時(shí)，有D010S當(dāng) arb 時(shí)，

7、有2rD022a 1，則D02era 1ra 1 b 2當(dāng) br時(shí)，有2rD032a 12b 2 ，則D03err（ 2）令 D03era1b 20 ，則得到1bar23.7計(jì) 算在 電 場(chǎng)強(qiáng) 度 E ex yey x 的 電 場(chǎng)中 把 帶 電 量為2 C的點(diǎn)電荷從點(diǎn)P(2,1,1) 移到點(diǎn) P (8,2,1)時(shí)電場(chǎng)所做的功： （ 1）沿曲線x2y2 ；（ 2）沿連接該兩點(diǎn)12的直線。解 （1）WF d l q E dl q Ex d x Ey d yCCC2qy d xx d yq y d(2 y2 ) 2 y2 d yC126 y2 d y28 10 6 (J)q14q1（ 2）連接點(diǎn) P

8、1(2,1,1)到點(diǎn) P2 (8,2,1)直線方程為x2x8即x6 y40y1y2故2Wqy d xxd yqy d(6y4)(6 y 4)d yC12q(12y4)d y 14q2810 6 (J)13.8長(zhǎng)度為 L 的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為l 0 。（ 1）計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位；（ 2）利用直接積分法計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電場(chǎng)E，并用E核對(duì)。解 （ 1）建立如題3.8 圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分面上任意點(diǎn)P 的電位為zL 2l 0dz(r ,0)4r 2z 2L 2L 20l 0r 2z 2 )L2l 04ln( zL 2P0orr 2(L 2

9、)2L2l 0ln4r 2(L 2)2L20l 0ln2(L2L2L 2r2)題3.8圖20r（ 2）根據(jù)對(duì)稱性，可得兩個(gè)對(duì)稱線電荷元l 0 dz在點(diǎn) P 的電場(chǎng)為dE er dErerl 0dzcoser 2l 0 rdz20r 2z 20 ( r 2z 2 ) 3 2故長(zhǎng)為 L 的線電荷在點(diǎn)P 的電場(chǎng)為L(zhǎng) 2l 0r dzl 0zL 2EdE erer 2()0 20 (r 2z 2 ) 3 20 rr 2z 20erl 0L240rr 2(L2)由 E求E，有El 0L 2r 2(L 2)22lnr0er 2l 0r1er 4l 0L0L 2r 2(L 2)2r 2(L 2)2r0 rr

10、 2(L 2)2lrP3.9已知無限長(zhǎng)均勻線電荷的電場(chǎng) Eer，試用定義式(r )E d l 求其l20 rr電位函數(shù)。其中rP 為電位參考點(diǎn)。rPrPrPr解( r )EdlrdlllrnllP nr 20 r2r2rr00由于是無限長(zhǎng)的線電荷，不能將rP 選為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。3.10一點(diǎn)電荷q 位于 (a,0,0)，另一點(diǎn)電荷2q 位于 (a,0,0)，求空間的零電位面。解 兩個(gè)點(diǎn)電荷q 和2q 在空間產(chǎn)生的電位( x, y, z)4令( x, y, z)0 ，則有即4( x故得由此可見，零電位面是一個(gè)以點(diǎn)1q2q(x a)2y2z2( x a)2y20z2120( xa)2y2z2( x a)

11、2y2z2a)2y2z2 ( x a)2y2z2(x5 a)2y2z2( 4 a)233(5 a,0,0)為球心、4 a 為半徑的球面。333.11 證明習(xí)題 3.2 的電位表達(dá)式為(r )Ze1r 234(2ra)0r2ra解 位于球心的正電荷 Ze 在原子外產(chǎn)生的電通量密度為ZeD1er 4 r 2電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為4ra33ZeD2er4 r 2er 4 r 2所以原子外的電場(chǎng)為零。故原子內(nèi)電位為1 raZera1 rZe 1 r 23( r )D d r( r 2ra3 )d r()0 r40 r40 r 2ra2ra3.12 電場(chǎng)中有一半徑為a 的圓柱體，已知柱內(nèi)外的

12、電位函數(shù)分別為( r )0ra( r )A(ra2ra)cosr（ 1）求圓柱內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度；（ 2）這個(gè)圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解（1）由E，可得到ra 時(shí)，E0ra 時(shí)，Er A(ra2)cos e A(ra2err)cosrr22er A(1a2 )cose A(1a2 )sinrr（ 2）該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為0n E ra0erE ra2 0 A cos3.13驗(yàn)證下列標(biāo)量函數(shù)在它們各自的坐標(biāo)系中滿足20（ 1）sin()sin()ehz其中222 ；hklkxly（ 2） r ncos( n)Asin(n)圓柱

13、坐標(biāo)；（ 3） rn cos(n)圓柱坐標(biāo)；（ 4） r cos球坐標(biāo)；（ 5） r 2 cos球坐標(biāo)。2222解 （ 1）在直角坐標(biāo)系中x2y2z222而2x2 sin( kx)sin(ly )e hz k 2 sin(kx)sin( ly) e hzx22y2y2 sin( kx)sin(ly )e hz l 2 sin(kx)sin( ly )e hz222z2 sin( kx)sin( ly )e hz h2 sin(kx)sin( ly)e hzz2( k2l 2h2 )sin( kx)sin( ly )e hz故021222(r)（ ）在圓柱坐標(biāo)系中rrr 22z2r而1(r)1r

14、 rr ncos( n)Asin(n)n2 r n 2 cos(n )A sin(n)rrrr2r1n2r n2cos(n)Asin(n)r 2222n cos(nz2z2 r)Asin(n)02故0（ 3）1(r)1r rr n cos(n ) n2r n 2 cos(n )r rrrr12n2r n2cos(n)r 2222故2而故z22 r n cos(n )0z20（ 4）在球坐標(biāo)系中1(r 2112)(sin)rr 2rrr 2 sin2 sin221r(r 2)1rr 2(r cos)2 cosr 2rr 2rr1(sin)1sin(r cos)r 2 sinr2 sin1(r s

15、in 2)2 cosr 2 sinr12122 (r cos)0r2sin22r2sin220（ 5）1(r2)1r2( r2cos)2cosr2rr2r2rrr1(sin)r1sin(r 2 cos )r 2 sin2 sinr2 1(r2 sin2)24 cossinr1212(r 2 cos)0r 2 sin22r 2 sin22故203.14已知 y0 的空間中沒有電荷，下列幾個(gè)函數(shù)中哪些是可能的電位的解?（ 1） e y cosh x ；（ 2） e y cosx ；（ 3） e2y cosx sin x（ 4） sinxsiny sin z。222解 （1）2 (e y cosh

16、x)y2 (e y coshx)2 (e y cosh x)2e y cosh x0xz所以函數(shù) e ycosh x 不是 y0 空間中的電位的解；222（ 2）x2 (e y cosx)y2(e y cosx)z2 (e y cosx)e y cosx e y cosx0所以函數(shù) e ycosx 是 y0空間中可能的電位的解；22y22y22 y（ 3）x2(ecosxsin x)y2 (ecosxsin x)z2 (ecosxsin x)4e 2 y cos xsin x2e 2 y cos x sin x 0所以函數(shù) e2y cosx sin x 不是 y0空間中的電位的解；222（ 4

17、）2 ( si nx s iyn siz n) 2(xs i n y si nz s i2n )x ( sy i n zs i n si n )xyz3sin x sin y sin z0所以函數(shù) sin x sin y sin z 不是 y0 空間中的電位的解。3.15 中心位于原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為P P0 (exxey y ez z) 。（1）計(jì)算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（ 2）證明總的束縛電荷為零。解 （1）PP3P0P ( xL ) n P x L 2ex P x L 2L P022P ( xL ) n P x L 2ex P x L 2L P022同理

18、P ( yL )P ( yL )P ( zL )P (zL )L P02222232L（ 2）qPP dSP d S 3P0L 6L2 P003.16一半徑為R0 的介質(zhì)球，介電常數(shù)為r0，其內(nèi)均勻分布自由電荷，證明中心點(diǎn)的電位為2 r1()R022 r3 0解由D d Sq ，可得到Sr R0 時(shí)，4 r 2D14 r 33D1r即D1r，E13r03 r0rR0 時(shí)，4 r2D24 R033R3E2D1R03即D20，23r230r0故中心點(diǎn)的電位為R0R03(0)E1 d rE2 d rrd rR02 drR02R022 r1()R020R00 3 r 0R03 0r6 r 03 02 r3 03.17一個(gè)半徑為 R 的介質(zhì)球， 介電常數(shù)為，球內(nèi)的極化強(qiáng)度Per Kr ，其中 K 為一常數(shù)。（ 1） 計(jì)算束縛電荷體密度和面密度；（2） 計(jì)算自由電荷密度； （3）計(jì)算球內(nèi)、外的電場(chǎng)和電位分布。解（ 1） 介質(zhì)球內(nèi)的