幾何問題之中點題型

1、v1.0可編輯可修改幾何問題之中點題型號©炊1. 掌握三角形的內角和定理；2. 了解三角形三邊的關系,并且能進行簡單的應用；3. 學習用三角形邊、角的關系進行簡單的計算和證實；4. 學習分析問題、解決問題的水平.占知識結構一.中點有關聯(lián)想歸類：1. 等腰三角形中遇到底邊上的中點,常聯(lián)想“三線合一的性質；2. 直角三角形中遇到斜邊上的中點,常聯(lián)想“斜邊上的中線,等于斜邊的一半；3. 三角形中遇到兩邊的中點,常聯(lián)想“三角形的中位線定理；4. 兩條線段相等,為全等提供條件遇到兩平行線所截得的線段的中點時,常聯(lián)想“八字型全等三角形；12中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改5. 有中點

2、時常構造垂直平分線；6. 有中點時,常會出現(xiàn)面積的一半中線平分三角形的面積；7倍長中線.二與中點問題有關的四大輔助線:1. 出現(xiàn)三角形的中線時,可以延長簡稱“倍長中線；2. 出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點,作斜邊中線；3. 出現(xiàn)三角形邊上的中點,作中位線；4. 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點,構造“三線合一.三 .幾何證實之輔助線構造技巧:23中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改1. 假設作一條輔助線,能起到什么作用；2. 常作那些輔助線能與條件聯(lián)系更緊密,且不破壞條件.模塊一、出現(xiàn)三角形的中線,可以延長一、根底回憶1. 線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點,叫做這條線段的中點.2. 假設

3、點C是線段AB的中點,那么：1 從線段來看：AC BC -AB ；2 從點與點的相對位置來看：點 C在點A、B之間,且點A B關于點C對稱.3. 三角形的中線：連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點所得的線段叫做三角形的中線. 一個三角形有三條中線； 每條中線平分三角形的面積； 三角形的三條中線交于一點,每條中線被該點重心分成1:2的兩段; 三角形的三條中線把三角形分成六個面積相等的小三角形.33中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改二、如何延長三角形的中線1. 延長1倍的中線：如圖,線段 AD是 ABC的中線,延長線段 AD至E ,使DE AD 即延長1倍的中 線,再連接BE、CE .

4、 總的來說,就可以得到一個平行四邊形ABCD和兩對中央選轉型全等三角形ABD ECD、 ACDEBD,且每對全等三角形都關于點 D中央對稱； 詳細地說,就是可以轉移角：BADCED ,CAD BED ,ABD ECD, ACD EBD, ADBECD, ADCEDB ；可以移邊：AB EC , AC EB ；可以構造平行線：AB / EC , AC / EB ；可以構造邊長與 AB、AC、AD有關的三角形：ABE、 ACE.1 延k長倍的中線：k 0且k 1如左右下列圖,點 E為 ABC中線AD DA延長線上的點,延長 AD至F,使ED FD,連接BE、CE、BF、CF .在平行四邊形 BFC

5、E中就可以得到類似1中的 結論.注意：通常在條件或結論中測及到與BE、CE有關的邊與角時,會用這種輔助線 .利用性質解決問題44中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改例1.如圖, ABC中,AB AC , AD是中線求證： DAC DAB .【證實】：延長 AD到點E使得AD DE ,聯(lián)結CE/ AD是ABC中線 BD CD在ADB和EDC中：AD DEADB EDC ; ADB 也 EDCBD CD ABCE, DABE又 ABAC CEAC DACE DACDAB?點評：1.比擬角度大小,常用兩個方法：一是利用三角形的角度關系,將其中一個角表示為另外一個角加上第三個角；二是利同一三角

6、形中大邊對大角進行比擬大小；2. 倍長中線是常用構造輔助線方法,并再結合同一三角形中大邊對大角.例2.如圖,在 ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE AC,延長BE交 AC于F.求證：AF EF.55中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改67中國領先的中小學教育品牌【證實】：延長 ED到點H使得EDDH,聯(lián)結CH AD是ABC中線 BD CD在EDB和CDH中:DE DHEDB 也 CDHEDB CDH ；BD CD CHBE , BEDH又 BEAC CHACCADHAEFDEBHCADAEFCADAF EF例 3. ABC 中,AB 12, ACAD的范圍.【解答】

7、：延長 AD到點E使得AD30,求BC邊上的中線DE,聯(lián)結CEv1.0可編輯可修改/ AD是ABC中線 BD CD在ADB和EDC中：AD DEADB EDC ; ADB 也 EDCBD CD AB CE在 AEC中,由兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊,可得： AC AB AE AC AB 18 2AD 42 9 AD 21?點評：求線段的范圍,一般利用三角形中“兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊.模塊二、斜邊中線與中位線、出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點,作斜邊中線1.如圖,在Rt ABC 中,ACB 90；,直角 ACB所對的邊AB稱為Rt ABC的斜邊,由ACBBCA,過點C作CD交A

8、B于點D,且 DACACD.i 11DACACD , ADCD.ACB90 ,BACABC 90,78中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改又 h ACD BCD 90；, iBCD ABC,BD CD ,BD CD AD ,2.發(fā)現(xiàn)線段CD為斜邊AB上的中線,且等于斜邊的一半.相等的角.屮內3作斜邊中線,可以構造出等腰三角形,從而得到相等的邊、88中國領先的中小學教育品牌4.通常在知道直角三角形斜邊的中點的情況下,想到作斜邊中線這條輔助線.、出現(xiàn)三角形邊上的中點,作中位線 1中位線：連接三角形兩邊的中點所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過三角形一邊的中 點作平行于三角形另外一邊交于第

9、三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法,第一種可以直接用中位線的性質,第二種需要說明理由為什么 是中位線,再用中位線的性質 2中位線的性質：三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半；3中位線輔助線能起到的作用： 在線段大小關系上,三角形的中位線是三角形第三邊的一半,起著傳遞線段長度的功能 在位置上,三角形的中位線平行三角形的第三邊,起著角的位置轉移和計算角的的功能4.通常在以下兩種情況下,會作中位線輔助線：v1.0可編輯可修改 有兩個或兩個以上的中點時； 有一邊中點,并且或求證中涉及到線段的倍分關系時.熟悉以下兩個圖形：99中國領先的中小學教育品牌例4.如圖,在四邊形

10、ABCD中,AB CD,點E、F分別是BC、AD的中點,BA、CD的延長線分別交 EF的延長線G、H.求證：BGE CHE.E【證實】：證法一：如圖1：連結BD,并取BD的中點為M,連結ME、MF,卅1那么 ME 是 BCD 的中位線, ME CD , /. MEF CHE21由 MF 是 ABD 的中位線, MF AB ,/. MFE BGE,2/ AB CD , ME MF , MEF MFE ,從而BGECHE.證法二：如圖2,延長GE到K ,使EKEH,連結BK略.或者延長GE到K,使EK GE,連結CK也行.其余方法略G中, AB例5.：如圖,圖1DE交BC于點 F,假設F是E圖2E

11、 ,連結kv1.0可編輯可修改【分析】：要證的BD , CE不在同一個三角形中,而它們所在的三角形又不是同類三角形,E無法證實它們全等,由于 F是DE的中點,想到利用中點構造中央對稱圖形或中位線來移動BD或CE的位置,把它們集中到同一個三角形中或把不同類三角形轉化為同類三角形,使問 題得以解決.【證實】：方法一：如圖2,過D作DM / CE交BC于M,易證 DMF也 ECF ,再證BD DM .方法二：如圖3,過E作EG/ AB交BC的延長線于 G.易證 BDF望 GEF ,再證：EC EG.方法三：如圖4,在AC上取點H,使CH CE,連結DH.那么CF為 EDH的中位線.再證：BD CH

12、.方法四：如圖5,在AB的延長線上取點N,使BN BD,連結NE.貝U FB為DNE的 中位線.再證BN CE.方法五：如圖6,連結BE,取BE的中點K,取BC的中點M ,連結MK、KF.貝U MK、KF分別為中位線.再證 KM KF,得BD CE.方法六：如圖7,連結CD,取CD的中點H,取BC的中點1,連結HI、HF.那么HI、HF分別為中位線.再證HI HF ,得BD CE.1011中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改例6.如圖,ABC中,D是BC邊的中點,E是AD邊的中點,連結 BE并延長交 AC于點F.求證：FC 2AF .1212中國領先的中小學教育品牌【證實】：如圖1,過

13、點D做DG / BF,交AC于G/ D是BC邊的中點,DG / BF例7.如圖1-1,Rt ABC中,ABAC,在 Rt ADE 中,ADDE,連結EC,取 FGGC.同理,AFFG 2AF2FGFGGCFC即FC2AFEC中點M,連結DM和BM ,( 1)假設點D在邊AC上,點E在邊AB上且與點B不重合,如圖1-1,求證：BM DM且BM DM ; (2)將圖1-1中的 ADE繞點A逆時針 轉小于45；的角,如圖1-2,那么(1)中的結論是否仍成立如果不成立,請舉出反例；如果成 立,請給予證實.【分析】：圖1-1中由于點M為直角三角形斜邊 EC的中點,顯然要利用斜邊中線的性質求解.圖1-2中

14、盡管ADE繞點A進行了旋轉,但M為EC的中點的條件依然未變,于是仍然圖1-1圖1-2可以利用中點復原出中央對稱根本圖形,使問題得解；另一方面,由于旋轉之后直角仍然存在,于是仍可以利用斜邊中線及中位線來解決.【證實】BEC的中點,DM】EC2BM32,612322 ,4562 5142(25)90； BM DM 且 BM DM(2)成立.方法一：如圖3:延長DM至F,使MFDM,連結CF , BF,延長ED交AC于N易證：EMD也CMFDEM FCM EN/ FC2 ACB 545：5290：190； ( BAC )45：v1.0可編輯可修改 AB BC, AD DE CF BAD BCF BD

15、 BF , ABD CBF DBF ABC 90： BD BF BDF為等腰直角三角形/ MF DM BM DM 且 BM DM方法二：如圖4,取AC的中點F,取AE的中點G,連結MF , BF , MG , DG MF , MG為中位線1 , 1- MF 1 AE, MG 1 AC2 21 DG為斜邊中線 DG AE21 DG MF.同理,GM AC - BF2 MF I AG四邊形AFMG為平行四邊形 1234,14 90：23 DGM 也 MFB BM DM , GMD MBF GMD BMG MBF BMG 90： BM DM 且 BM DM1313中國領先的中小學教育品牌v1.0可編

16、輯可修改1.如圖1,在ABC 中,ABAC5,BC 6,點M為BC中點,MN AC于點N ,那么MN等于A. 65162.如圖,ABC 中,A=90：,F分別為AB、AC上的點,且4,試求EF的長.DE DF,假設BE3,CF1515中國領先的中小學教育品牌3.如圖,在 ABC中,AB>AC , E為BC邊的中點,AD為 BAC的平分線,過 E作AD的平行線,交 AB于F,交CA的延長線于G.求證：BF CG4.如下圖, D為BC中點,點A在DE上,且AB CE,求證：12.5.如圖, ABC中,D是BC邊的中點,BE AC于點E,假設 DAC 30：,求證:AB DE .6.如圖,正方

17、形 ABCD中,點E、F分別是BC、AB的中點.求證： AG ADv1.0可編輯可修改7.如圖,正方形 CGEF的邊CG與正方形ABCD的邊BC在同一直線上CG>BC ,連 結AE ,取線段AE的中點M.探究：線段 MD、MF的關系,并加以證實.練習題目答案1. C2. 【分析】：如下列圖,可以把 ED看作 EBC的一條中線.延長 ED至點G,使DG ED ,連接 CG、FG.那么 CDG BDE ;所以 CG BE 3,2 B.由于 B 1=90,所以 12= FCG=90：由于DF垂直平分EG,所以FG EF在Rt FCG中,由勾股定理得 FG 、；CG2 CF2 .32 42 5,

18、所以EF 5.AC3.【分析】：如下列圖,可以把 FE看作 FBC的一條中線；延長 FE至點H,使EH FE , 連接CH.貝V CEH也 BEF,所以 CH BF , H 1.由于 EG/ AD,所以 12 ,3 G ;又由于 23,所以1 G,所以 H G由此得CH CG.所以BF CG4.【提示】：證法一：如圖1,延長ED到F ,使DF AD,連結CF易證 ABD FCD. 二 AB CF ,1 F AB CE,. CE CF F 21 2證法二：如圖2,取AC的中點G,取AE的中點H,連結DG、GH ;利用中位線來 證實.其余方法略1717中國領先的中小學教育品牌v1.0可編輯可修改圖1ED圖25. 【提示】：川1證法一：如圖1,取CE的中點G ,連結DG,所以,DG為中位線,得 DG - BE,由2BEAC得 AGD90：,在 ADG 中,DAC30：,得DG - AD ,于2是 AD BE證法一二：如圖2,取BE的中點M ,連結DM ,類似法一-可證ADBE.其余方法略1919中國領先的中小學教育品牌6. 【