恒成立問(wèn)題常見(jiàn)類型及解法實(shí)用教案

1、5、不等式恒成立問(wèn)題 高考命題中，不等式恒成立問(wèn)題往往結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)同題考查，單獨(dú)考查的較少，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的題目難度大、分值高，要引起我們(w men)的足夠重視。6、不等式與其他知識(shí)的結(jié)合細(xì)解命題(mng t)特點(diǎn)第1頁(yè)/共37頁(yè)第一頁(yè)，共38頁(yè)。轉(zhuǎn)化思想解答不等式恒成立問(wèn)題 求解不等式恒成立問(wèn)題的常用方法： (1) (1)分離參數(shù)法：通過(guò)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題求解. . (2) (2)函數(shù)思想：轉(zhuǎn)化為求含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題求解. . (3) (3)數(shù)形結(jié)合思想：轉(zhuǎn)化為兩熟悉函數(shù)圖象(t xin)(t xin)間的上下關(guān)系求解. .第2頁(yè)/共37頁(yè)第二頁(yè)，共38頁(yè)。 解

2、答過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題： (1) (1)分離參數(shù)時(shí)應(yīng)注意系數(shù)符號(hào)對(duì)不等號(hào)的影響. . (2) (2)應(yīng)用函數(shù)方法求解時(shí)，所使用的函數(shù)一般為二次函數(shù). . (3) (3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解時(shí)，應(yīng)注意圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處函數(shù)值的大小(dxio)(dxio)關(guān)系. .第3頁(yè)/共37頁(yè)第三頁(yè)，共38頁(yè)。 在高三復(fù)習(xí)中經(jīng)常遇到不等式恒成立問(wèn)題。這類問(wèn)題求解的基本(jbn)思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問(wèn)題向基本(jbn)類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求解。解題過(guò)程本身滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，另外不等式恒成立問(wèn)題大多要利用到一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。第

3、4頁(yè)/共37頁(yè)第四頁(yè)，共38頁(yè)。 恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中大致恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中大致(dzh)(dzh)可分為以下幾種可分為以下幾種類型：類型：（1 1）一次函數(shù)型；）一次函數(shù)型；（2 2）二次函數(shù)型；）二次函數(shù)型；（3 3）變量分離型；）變量分離型；（4 4）利用函數(shù)的性質(zhì)求解；）利用函數(shù)的性質(zhì)求解；（5 5）直接根據(jù)函數(shù)的圖象求解；）直接根據(jù)函數(shù)的圖象求解；（6 6）反證法求解。）反證法求解。下面分別舉例示之。下面分別舉例示之。第5頁(yè)/共37頁(yè)第五頁(yè)，共38頁(yè)。一、一次函數(shù)型一、一次函數(shù)型第6頁(yè)/共37頁(yè)第六頁(yè)，共38頁(yè)。典例導(dǎo)悟第7頁(yè)/共37頁(yè)第七頁(yè)，共38頁(yè)。二、二次函數(shù)二、二次函數(shù)

4、(hnsh)型型第8頁(yè)/共37頁(yè)第八頁(yè)，共38頁(yè)。典例導(dǎo)悟第9頁(yè)/共37頁(yè)第九頁(yè)，共38頁(yè)。第10頁(yè)/共37頁(yè)第十頁(yè)，共38頁(yè)。三、變量三、變量(binling)分離型分離型【理論闡釋】 若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量(binling)(binling)，其中一個(gè)變量(binling)(binling)的范圍已知，另一個(gè)變量(binling)(binling)的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量(binling)(binling)分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。第11頁(yè)/共37頁(yè)第十一頁(yè)，共38頁(yè)。典例導(dǎo)悟第12頁(yè)/共37頁(yè)第十二頁(yè)，共38頁(yè)。第13

5、頁(yè)/共37頁(yè)第十三頁(yè)，共38頁(yè)?！纠碚撽U釋】 若函數(shù)f(x)f(x)是奇( (偶) )函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x,f(-x)= x,f(-x)= f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函數(shù)y=f(x)y=f(x)的周期為T(mén) T，則對(duì)一切定義域中的x,x,有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立；若函數(shù)圖象平移(pn y)(pn y)前后互相重合，則函數(shù)解析式相等。四、利用函數(shù)四、利用函數(shù)(hnsh)的性質(zhì)解決恒成立問(wèn)題的性質(zhì)解決恒成立問(wèn)題第14頁(yè)/共37頁(yè)第十四頁(yè)，共38頁(yè)。典例導(dǎo)悟第15頁(yè)/共37頁(yè)第十五頁(yè)，共38頁(yè)。第16頁(yè)/共37頁(yè)第十六頁(yè)，

6、共38頁(yè)。五、五、 把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化(zhunhu)(zhunhu)為函數(shù)圖象為函數(shù)圖象問(wèn)題問(wèn)題【理論闡釋】 若把不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫(huà)出不等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象(t xin)(t xin)，這樣就把一個(gè)很難解決的不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)圖象(t xin)(t xin)解決的問(wèn)題，然后從圖象(t xin)(t xin)中尋找條件，就能解決問(wèn)題。第17頁(yè)/共37頁(yè)第十七頁(yè)，共38頁(yè)。典例導(dǎo)悟第18頁(yè)/共37頁(yè)第十八頁(yè)，共38頁(yè)。第19頁(yè)/共37頁(yè)第十九頁(yè)，共38頁(yè)。第20頁(yè)/共37頁(yè)第二十頁(yè)，共38頁(yè)。六、采用逆向思維六、采用逆向思維(swi)，考慮

7、使用反證法，考慮使用反證法【理論闡釋】 恒成立問(wèn)題有時(shí)候從正面很難入手，這時(shí)如果考慮問(wèn)題的反面(fnmin)(fnmin)，有時(shí)會(huì)有“柳暗花明又一村”的效果，所謂“正難則反”就是這個(gè)道理。第21頁(yè)/共37頁(yè)第二十一頁(yè)，共38頁(yè)。典例導(dǎo)悟第22頁(yè)/共37頁(yè)第二十二頁(yè)，共38頁(yè)。第23頁(yè)/共37頁(yè)第二十三頁(yè)，共38頁(yè)?！镜淅吭O(shè)函數(shù) 對(duì)任意xx1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0恒成立，則實(shí)數(shù)m m的取值范圍是_._.【解題指導(dǎo)】轉(zhuǎn)化為具體不等式后，再通分(tng fn)(tng fn)轉(zhuǎn)化為整式不等式，最后分類討論. .【規(guī)范解答】 x x1,+),1,+),f

8、(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0,0, 即mxmx2m2x2-(1+m2)2m2x2-(1+m2)0.0. 1f xx,x11mxm(x) 0,mxx1m2mx0,mxx 1f xxx，第24頁(yè)/共37頁(yè)第二十四頁(yè)，共38頁(yè)。由由f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立(chngl)(chngl)知，知，mxmx2m2x2-(1+m2)2m2x2-(1+m2)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立(chngl),(chngl),m0.m0.當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，只要時(shí)，只要2m2x2-(1+m2)2m2x2-(1+m2)0 0

9、恒成立恒成立(chngl)(chngl)即可即可, ,即即xx1,+),1,+), 2221mx,2m221m1,2m第25頁(yè)/共37頁(yè)第二十五頁(yè)，共38頁(yè)。m2m21,m1,m-1.-1.當(dāng)當(dāng)m m0 0時(shí)，只要時(shí)，只要(zhyo)2m2x2-(1+m2)(zhyo)2m2x2-(1+m2)0 0恒成立即可恒成立即可, ,即即 x x1,+),1,+), 不恒成立不恒成立. .綜上，實(shí)數(shù)綜上，實(shí)數(shù)m m的取值范圍為的取值范圍為(-,-1).(-,-1).答案：答案：(-,-1)(-,-1)2221mx.2m2221mx2m第26頁(yè)/共37頁(yè)第二十六頁(yè)，共38頁(yè)。7 7（20102010山東(

10、shn dn)(shn dn)高考）若對(duì)任意x x0, 0, 恒成立，則a a的取值范圍是_【解題提示】將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題. .【解析】因?yàn)閤 x0 0 ，所以 （當(dāng)且僅當(dāng)x=1x=1時(shí)取等號(hào)），所以有 即 的最大值為 故aa答案: : ) )2xax3x11x2x2x111 1x3x1235x3x，2xx3x115，1.51,5第27頁(yè)/共37頁(yè)第二十七頁(yè)，共38頁(yè)。 【方法技巧】不等式恒成立問(wèn)題的解題【方法技巧】不等式恒成立問(wèn)題的解題(ji t)(ji t)方法方法1.1.不等式的恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決不等式恒成立不等式的恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決不等式

11、恒成立問(wèn)題，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解：?jiǎn)栴}，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解：cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)max;cf(x)max;cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)min.cf(x)min.2.2.高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問(wèn)題，通常采用導(dǎo)數(shù)法解決高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問(wèn)題，通常采用導(dǎo)數(shù)法解決. .第28頁(yè)/共37頁(yè)第二十八頁(yè)，共38頁(yè)。【例3 3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,f(x)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足1 1x x4 4的一切x x值都有f(x)f(x)0,0,求實(shí)數(shù)a a的取值范圍. .【解題指南】解答本題可以有兩條途徑

12、：(1)(1)分a a0,a0,a0,a=00,a=0三種情況, ,求出f(x)f(x)在(1,4)(1,4)上的最小值f(x)min,f(x)min,再令f(x)minf(x)min0,0,從而求出a a的取值范圍；(2)(2)將參數(shù)a a分離(fnl)(fnl)得 然后求 的最大值即可. .222a,xx 222g xxx 第29頁(yè)/共37頁(yè)第二十九頁(yè)，共38頁(yè)?！疽?guī)范【規(guī)范(gufn)(gufn)解答】方法一：當(dāng)解答】方法一：當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí), ,由由f(x)f(x)0,x(1,4)0,x(1,4)得：得： 或或 或或 或或 或或 211f xa(x)2,aa11af(1)a22011

13、4a11f( )20aa 14a,f 416a820 a1a01a 141a2 1a4,3a811a1a 1,a,22或 或即 第30頁(yè)/共37頁(yè)第三十頁(yè)，共38頁(yè)。當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí), , 解得解得aa; ;當(dāng)當(dāng)a=0a=0時(shí)時(shí),f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合題意不合題意. .綜上可得綜上可得, ,實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是方法二：由方法二：由f(x)f(x)0,0,即即ax2-2x+2ax2-2x+20,x(1,4),0,x(1,4),得得在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立(chngl).(c

14、hngl).令令g(x)max=g(2)= ,g(x)max=g(2)= ,所以要使所以要使f(x)f(x)0 0在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立(chngl),(chngl),只要只要a a 即可即可. . f 1a220,f 416a820 1a.2222axx 2222111 11g x2(),( ,1),xxx22 x4 1212第31頁(yè)/共37頁(yè)第三十一頁(yè)，共38頁(yè)?！痉此肌痉此几形颉扛形颉?.1.一元二次不等式問(wèn)題及一元二次方程解的確一元二次不等式問(wèn)題及一元二次方程解的確定與應(yīng)用問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題求解，定與應(yīng)用問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題求

15、解，但要注意討論但要注意討論. .2.2.關(guān)于不等式的恒成立問(wèn)題關(guān)于不等式的恒成立問(wèn)題, ,能用分離參數(shù)法，盡量能用分離參數(shù)法，盡量(jnling)(jnling)用用. .因?yàn)樵摲梢员荛_(kāi)頻繁地對(duì)參數(shù)的討論因?yàn)樵摲梢员荛_(kāi)頻繁地對(duì)參數(shù)的討論. .第32頁(yè)/共37頁(yè)第三十二頁(yè)，共38頁(yè)。4.(20104.(2010新課標(biāo)全國(guó)卷) )設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.f(x)=ex-1-x-ax2.(1)(1)若a=0a=0，求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)(2)若當(dāng)x0 x0時(shí)f(x)0f(x)0，求a a的取值范圍【解題提示(tsh)(tsh)】在第(1)(1)問(wèn)中先把a(bǔ)=0a=0代

16、入，然后通過(guò)求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)求得單調(diào)區(qū)間，解決第(2)(2)問(wèn)的關(guān)鍵是從當(dāng)x0 x0時(shí)f(x)0f(x)0入手，結(jié)合函數(shù)的解析式聯(lián)合求解，通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)找到分界點(diǎn)進(jìn)行討論. .第33頁(yè)/共37頁(yè)第三十三頁(yè)，共38頁(yè)?！窘馕觥窘馕?ji x)(ji x)】(1)a=0(1)a=0時(shí)，時(shí)，f(x)=ex-1-xf(x)=ex-1-x，f(x)=ex-1.f(x)=ex-1.當(dāng)當(dāng)xx(-,0)(-,0)時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0 0；當(dāng)；當(dāng)x(0,+)x(0,+)時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0.0.故故f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)單調(diào)減少，在單調(diào)減少，在(0,+)(0,+)單調(diào)增加單調(diào)增

17、加. .(2)f(x)=ex-1-2ax(2)f(x)=ex-1-2ax，由，由(1)(1)知知ex1+xex1+x，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0 x=0時(shí)等時(shí)等號(hào)成立號(hào)成立. .故故f(x)x-2ax=(1-2a)x,f(x)x-2ax=(1-2a)x,從而當(dāng)從而當(dāng)1-2a01-2a0，即，即a a 時(shí)，時(shí)，f(x)0(x0)f(x)0(x0)，而而f(0)=0f(0)=0，于是當(dāng)，于是當(dāng)x0 x0時(shí)，時(shí)，f(x)0.f(x)0.由由exex1+x(x0)1+x(x0)可得可得e-xe-x1-x(x0).1-x(x0).12第34頁(yè)/共37頁(yè)第三十四頁(yè)，共38頁(yè)。從而當(dāng)從而當(dāng)a a 時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故當(dāng)故當(dāng)x(0,ln2a)x(0,ln2a)時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0 0，而，而f(0)=0f(0)=0，于是于是(ysh)(ysh)當(dāng)當(dāng)x(0,ln2a)x(0,ln2a)時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)0.0.綜合得綜合得a a的取值范圍為的取值