高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 列知識點(diǎn)梳理及數(shù)列通項(xiàng)公式的求法總結(jié)素材 新人教版

1、第二章 數(shù) 列 §2.1數(shù)列的概念與簡單的表示法 一、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：數(shù)列的概念按一定順序排列的一列數(shù)，如1，1，2，3，5，an，可簡記為an。注意：數(shù)列可以看作是定義在N*或其子集1，2，3，n上的函數(shù)，與以前常見函數(shù)的不同主要在于：(1)定義域是離散的因而其圖象也是離散的單點(diǎn)集；(2)有序。知識點(diǎn)二：數(shù)列的表示(1)列舉法：如-2，-5，-8，(2)圖象法：由點(diǎn)組成的圖象；是離散的點(diǎn)集。(3)解析式法：類似于函數(shù)的解析法，數(shù)列的解析法就是給出了數(shù)列的通項(xiàng)公 式an=f(n)，nN*。(4)遞推：利用數(shù)列的第n項(xiàng)與它前面若干項(xiàng)的關(guān)系及初始值確定。如an=an-1+an-2(

2、n3)，且a1=1，a2=1. 注意： 并不是每個數(shù)列都能寫出它的數(shù)列通項(xiàng)公式；數(shù)列的通項(xiàng)如果存在，也不 一定唯一。 數(shù)列的列舉法與集合的列舉法不一樣，主要就是有序與無序的差別。 利用遞推關(guān)系表示數(shù)列時，需要有相應(yīng)個數(shù)的初始值。 知識點(diǎn)三：數(shù)列的分類（1）按項(xiàng)數(shù)：有限數(shù)列和無限數(shù)列；（2）按單調(diào)性：常數(shù)列、擺動數(shù)列、單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)。遞增數(shù)列:對于任何,均有.遞減數(shù)列:對于任何,均有.擺動數(shù)列:例如: 常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,.知識點(diǎn)四：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式 任意數(shù)列的前n項(xiàng)和， 于是， 所以有：注意：由前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)時，要分三步進(jìn)行： （1）求；（2）求出當(dāng)n

3、2時的；（3）如果令n2時得出的中的n=1時有成立，則最后的通項(xiàng)公式可以統(tǒng)一寫成一個形式，否則就只能寫成分段的形式。 §2.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、知識要點(diǎn)梳理 知識點(diǎn)一 等差數(shù)列的概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.（2）等差中項(xiàng)：如果成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng).即：是與的等差中項(xiàng)，成等差數(shù)列.知識點(diǎn)二 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式：，為首項(xiàng)，為公差.知識點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：=（常數(shù)項(xiàng)為0的二次式）知識點(diǎn)四 等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1）若，那么特殊地，若，則.（2）；(,是常數(shù))；(,

4、是常數(shù)，)(3)若等差數(shù)列,則 仍成等差（4）等差數(shù)列中，求使前n項(xiàng)和最大(小)的項(xiàng)數(shù)的方法：遞減數(shù)列，求最大，令，求正數(shù)項(xiàng)；遞增數(shù)列，求最小，令，求負(fù)數(shù)項(xiàng).當(dāng)然，解決此類型題目還可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)，但解一次不等式的方法還是最快的方法.知識點(diǎn)五 等差數(shù)列的判定方法定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列；中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列. §2.3等比數(shù)列及前n項(xiàng)和一、知識要點(diǎn)梳理1 、等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示注意:（1）q是指從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，順序不要錯。（2）

5、由定義可知，等比數(shù)列的任意 一項(xiàng)都不為0，因而公比q也不為0. （3）公比q可為正數(shù)、負(fù)數(shù)，特別當(dāng)q=1時，為常數(shù)列a1,a1,； q=1時，數(shù)列為a1,a1,a1,a1,. 2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 ： 3、等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即G 2= a b 4、等比數(shù)列的判定方法（1）、an=an1·q（n2），q是不為零的常數(shù)，an10an是等比數(shù)列.（2）、an2=an1·an1（n2, an1,an,an10）an是等比數(shù)列.（3）、an=c·qn（c，q均是不為零的常數(shù)）an是等比數(shù)列.（4）、若

6、某數(shù)列前n項(xiàng)和公式為Sn=an1(a0,±1)，則an成等比數(shù)列.5、等比數(shù)列的性質(zhì) :設(shè)an為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q.（1）an=a1·qnm（m、nN*）. （2）、當(dāng)mn=pq（m、n、q、pN*）時，有am·an=ap·aq. 特殊地，若，則（3） 等比數(shù)列 ： 仍成等比數(shù)列 （q1或k為奇數(shù)）6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 §2.4 數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和一數(shù)列通項(xiàng)公式的求法（一）、觀察法數(shù)列從定義角度看，是按一定順序排列的一列數(shù)，因而它不是雜亂無章的，它是有規(guī)律可循的。所以，我們可以根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察每一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，從而寫

7、出數(shù)列的同項(xiàng)公式。例：根據(jù)數(shù)列前四項(xiàng)，寫出它的一個通項(xiàng)公式(1) (2)7，77，777，7777，···(3) ，··· (4)，···解：(1) (2) (3) ( 4) 關(guān)鍵：把握第n項(xiàng)與的關(guān)系，把每一項(xiàng)用項(xiàng)數(shù)表示。（二）、公式法（也稱待定系數(shù)法）若數(shù)列為特殊數(shù)列如是等差數(shù)列或等比數(shù)列，只需求出與d或與q，可直接寫出通項(xiàng)公式。例：已知等差數(shù)列中，求通項(xiàng)公式已知等比數(shù)列中，求通項(xiàng)公式解：設(shè)，從而可解。 可設(shè) q=1(舍去)關(guān)鍵：設(shè)出通項(xiàng)公式，解方程即得（三）、構(gòu)造法原數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，但對已知的

8、等式進(jìn)行適當(dāng)變形，可得新數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式。例1、數(shù)列中，求點(diǎn)撥，可用倒數(shù)變換，將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。解：取倒數(shù)得：，令，則，例2、已知數(shù)列，求點(diǎn)撥：用配湊法，配湊常數(shù)“”，使構(gòu)成等比數(shù)列，從而，從而求出。解：，則令，為等比數(shù)列，從而關(guān)鍵：通過變換地推關(guān)系，將非等差或等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式的方法是由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法。常用轉(zhuǎn)化過程有：配湊、消項(xiàng)變換、倒數(shù)變換、取對數(shù)變換、換元變換等。練習(xí)：1.已知數(shù)列中，求 2. 已知數(shù)列中，求。（四）、疊加法例：已知求，求解：當(dāng)時，可得n-1個等式。共有n-1個等式，將其相加，得，關(guān)鍵：對形

9、如的遞推公式求通項(xiàng)公式，只要可求和，便可利用累加的方法。練習(xí)：已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（五）、疊乘法例：已知，求解：，得，當(dāng)時，可得n-1個等式：，左邊相乘，右邊相乘關(guān)鍵：對于形如的遞推公式，只要可求積，便可利用累乘的方法。練習(xí)：已知數(shù)列中，求（六）、含與類型例1數(shù)列的前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式。分析：由已知條件，可知與的關(guān)系，可借助于，可將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推公式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：，即， ；又n=1時適合上式，則關(guān)鍵：若和在一個等式中，一般可利用與關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于或的遞推公式，再進(jìn)一步確定或。練習(xí)：已知數(shù)列中，且，求二、數(shù)列的求和方法（一）、 公式法： 利用下列常用求和公式求和是數(shù)

10、列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n項(xiàng)和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 1 例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當(dāng) ，即n8時，（二）、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：。解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積。 得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前

11、n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯位） 得 練習(xí)：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 （三）、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得 +得 （反序相加） 例6 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 （反序） 又因?yàn)?+得 （反序相加） 89 S44.5練習(xí)：已知lg(xy)=a，求S，其中解: 將和式S中各項(xiàng)反序排

12、列，得 將此和式與原和式兩邊對應(yīng)相加，得 2S=+ · · · + (n+1)項(xiàng) =n(n+1)lg(xy) lg(xy)=a S=n(n+1)a（四）、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時， （分組求和）當(dāng)時，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組） （分組求和） 練習(xí)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和。解： (五)、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列

13、求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5） 例9 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) （裂項(xiàng)） （裂項(xiàng)求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） 例11 求證：解：設(shè) 原等式成立 練習(xí)：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。 解： (六)、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1

14、6;+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 （合并求和）5例14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 10(七)、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個重要的方法.例15 求之和.解：由于（找通項(xiàng)及特征） （分組求和）例16 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、