0125同心圓筒粘度測定法中剪切速率的直接數(shù)字評價(jià)

1、同心圓筒粘度測定法中剪切速率的直接數(shù)字評價(jià)W. C. M ACSPORRAN, Schools of Chemical Engineering,University of Bradford, Richmond Road, Bradford, BD7 1DPWest Yorkshire, En gla nd大綱運(yùn)用插入型綜合公式給出直接數(shù)字方法計(jì)算同軸圓筒粘度計(jì)的剪切速率，在四個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)要點(diǎn)運(yùn)用分段立方插入多項(xiàng)式的剪切速率是近似的。不等間隔插入點(diǎn)是內(nèi)筒或外筒的剪切應(yīng)力。緒論同軸圓筒粘度測定法里實(shí)驗(yàn)觀察由一對相應(yīng)參數(shù)角速度Q和扭矩T組成。對諸如Haake Rotovisko、Brabender R

2、heotro和 Contraves Rheoma這樣的常速粘度計(jì)可以測出 T(Q)。同時(shí)對諸如這樣的常應(yīng)力粘度計(jì)可以測出Q(T)。在任一情況下剪切速率Y =fG)必須通過積分關(guān)系而求值。丄6*(1)這里加To =此用 l?Tf分別是內(nèi)筒和外筒的剪切應(yīng)力Tanner和 Williams1,2提出數(shù)字迭代方法解方程(1),該法利用AVINT 3,4的基于 重疊拋物線積分規(guī)則，即運(yùn)用不等間隔橫坐標(biāo)的值和結(jié)合積分與濾波函數(shù)來求函數(shù) 積分，方法給出了的f (t )近似值，初期是熟知的牛頓流體值，使用 AVINT計(jì)算其 積分，然后與其測量值比較，改進(jìn)了近似值，程序持續(xù)迭代直至達(dá)到滿意收斂。這里給出了等式(

3、1)的直接數(shù)字方法解。數(shù)字方法對給出的一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Q n( T n,k),1 < n< N,需要依據(jù)積分方程數(shù)字解確定相對 應(yīng)的f( T n)值。= 口 17. H7 : /'- (-(4)這里W(T ) = (1/2 T )是一個(gè)權(quán)重函數(shù)，可以插入型數(shù)字積分公式由近似等式得到。插值點(diǎn)t n是不等間隔的，可以取 t in或者t on。Davis和Rabinowitz. 4討論了插入型數(shù)字積分公式假定插值點(diǎn)T n是內(nèi)筒T in的剪切應(yīng)力，那通常來說相對應(yīng)外筒T on的剪切應(yīng)力不與任何插入點(diǎn)相一致，數(shù)字近似等式 由數(shù)字帶貢獻(xiàn)總和組成，每個(gè)數(shù)字帶中 f( T ) 近似于立方多項(xiàng)

4、式P3(X)，在四個(gè)連續(xù)數(shù)據(jù)點(diǎn)插入。為計(jì)算方便這四個(gè)點(diǎn)標(biāo)為x(1-4)， 并且數(shù)字帶積分下限和上限分別被標(biāo)為Xp和Xq，不同參數(shù)之間關(guān)系見圖1。y *li %圖 1.數(shù)字積分,(a) T on W T k 1 (j +1W kW n). (b) T j-1 < T on < T j對尬冬邛lwkS)數(shù)字帶貢獻(xiàn)通過下面公式給出e，匕1(5)同時(shí)對T j-1< T on < T j; (k = j)由下式給出S-需要在數(shù)據(jù)的末端對該公式進(jìn)行些許修改，對n=1和2插入點(diǎn)取t 1、t 2和T 3，同時(shí)對 n = N取 T n-3、T n-2、T n-1 和 T n?？傆?jì)全部數(shù)字

5、帶貢獻(xiàn)時(shí)，獲得對等式(4)復(fù)合數(shù)字近似公式。盒 一 4F I */ 笊十 1Un = X 工岬竹三工jl _ r r _ e.j _ j這里(8)運(yùn)用不定系數(shù)法對每個(gè)獨(dú)立帶(j < k< n)求解得到積分權(quán)重 W(k)( ?=1,4)。LL11 1珂敬菇J叭I=,屹Jicx/Af：i才xts 討IJ(9)這里(10)Mr =也可通過合適的拉格朗日插值函數(shù)的高斯積分獲得。(r=14)是權(quán)重函數(shù)w(x)的矩。對積分!ln(Tn, k) (1 w 托 w N)的每一部分進(jìn)行積分權(quán)重評估時(shí)，那么相對應(yīng)系列剪切速率fn三f( T n)通過求解得到。fftlfn(11)結(jié)果討論計(jì)算程式完成上面

6、的由Fortran 77編寫的程序，在170-172億次中央處理機(jī)執(zhí)行，20數(shù)據(jù)點(diǎn)集運(yùn)行時(shí)間小于1s。表1含有Krieger和Maron5的gr-s橡膠數(shù)據(jù)，插值是t i，結(jié)果與用Tanne和Williams.1,2迭代方法得到的相比較很好，只有一個(gè)例外點(diǎn)可能性在1%內(nèi)。這樣和其它共同對照比較，直接法和迭代法擁有相同精確性，而且更容易執(zhí)行和需要計(jì)算時(shí)間更短，使用直接法處理數(shù)據(jù)集曾經(jīng)是唯一的。然而迭代法典型地需要4050迭代收斂，并且每次迭代包含全部數(shù)據(jù)集。兩個(gè)方法都有缺點(diǎn)就是分解數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn) 的準(zhǔn)確性差。表I62.2%固體GR-S乳膠（30°）. Krieger和 Maron5數(shù)據(jù)

7、，粘度計(jì)（a）R= 2.357 cm, R)= 2.508 cm ( k = 0.940)QT iN-.'b:TW(rad/s)(Pa)(l/s)(l/s)(l/s)3.670X 10-23.807X 10-1 6.285 X 10-1 7.283 X 107.211 X 1011.310X 10-15.706X 1002.243 X 10 02.611 X 1002.528 X 1006.020X 10-19.536X 1001.031 X 10 11.143 X 1011.140 X 1011.940X 1001.5241X 1013.322 X 1013.560 X 1013.5

8、81 X 103.120X 1001.9031X1015.343 X 1015.761 X 1015.717 X 104.660X 1002.2831X1018.000 X 1018.533 X 1018.566 X 106.410X 1002. 6651X1021.098 X 1021.167 X 1021.163 X 108.330X 1003.0451X1021.426 X 1021.509 X 1022.511 X 1011.045 X 103.4251X1021.789 X 1021.875 X 1021.881 X 101.2511X 103.8071X1022.142 X 102

9、2.226 X 1022.204 X 102.170X 1015.3271X1023.716 X 1023.854 X 1023.872 X 103.220X 1016. 8481X105.514 X 1025.689 X 1025.631 X 102a牛頓型n =2門/（1 一2）bTanner 和Williamsc直接方法表II1% CMC (Hercules 70-S) (26). Middleman8相反數(shù)據(jù) RM-15 BSystem,/R 1.50 cm,Ro= 1.90 cm K = 0.789)Q(rad/s)T i(Pa)i(1/s)T 0(Pa)Y0(1/s)2.628 X

10、 10 04.100 X 10011.469 X 102.555 X 1008.460 X 1003.529 X 10 05.200 X 10011.973 X 103.241 X 10011.189 X 104.639 X 10 06.500 X 1002.584 X 1014.051 X 1001.385 X 1016.189 X 1008.100 X 10013.601 X 105.049 X 10011.918 X 108.168 X 1001.010 X 1014.340 X 1016.295 X 1002.515 X 10111.183 X 1011.360 X 1017.042

11、X 108.476 X 10013.702 X 1011.592 X 1011.700 X 1018.705 X 1011.060 X 1014.806 X 1012.094 X 1012.070 X 1021.277 X 1011.290 X 1016.259 X 1012.796 X 1012.570 X 1021.568 X 1011.583 X 1018.310 X 103.686 X 1013.090 X 1012.261 X 1021.926 X 1011.096 X 102表II包含Middleman8 1% CMC數(shù)據(jù)結(jié)果，該數(shù)據(jù)集被處理兩次，在 t i上插值給出i，同時(shí)在T。

12、上插值給出o。繪出雙重結(jié)果集得到.()的光滑曲線。對適宜寬縫隙，如這 里使用，可以有從一個(gè)實(shí)驗(yàn)測量中產(chǎn)生兩倍信息的優(yōu)點(diǎn)。對窄的縫隙Ti和To,太近了不能得到有價(jià)值的結(jié)果。對很寬的縫隙，在To上插值包含了高端數(shù)據(jù)點(diǎn)的大的不確定推 斷。圖顯示了用Haake KV2得到的1.5% CM實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果，運(yùn)用不同縫隙寬度即1 mm (MVI)、5.8 mm (MVIII)和10.9 mm。后者使用SVI bob的M撫采集數(shù)據(jù)，使用在Ti上 插值，正如可看到的，從這樣廣泛變化的縫隙范圍內(nèi)得到唯一的剪切應(yīng)力-速率關(guān)系，三個(gè)數(shù)據(jù)集，每個(gè)對應(yīng)縫隙寬度，被分別處理。可是因?yàn)?f( T )是唯一的一對一的關(guān)系， 應(yīng)有

13、可能運(yùn)用不同測量系統(tǒng)或不同粘度計(jì)的復(fù)合數(shù)據(jù)集計(jì)算它。卅k 1CJid*SHEAF? RATE 7 Vs10圖 2 1.5%CMC (Celofas B) , R°=2.10cm,O MVI (Ri=2.004cm, k =0.954), =-MVIII (R i =1.52cm, k =0.724), X= SVI (R i =1.01cm, k =0.481)這里描述的數(shù)值數(shù)據(jù)處理方法因?yàn)槲⑻幚砥鞯氖褂靡呀?jīng)變得日益越來越重要了，下 面推薦的過程使用例如等穩(wěn)定剪切態(tài)控制應(yīng)力流變儀，如對微處理器進(jìn)行編程，來完成橫坐標(biāo)的測量，方程（4）積分極限求解總是連續(xù)數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算的數(shù)據(jù)量可以大大地減

14、 少了。為了這樣做，T in的每個(gè)新值通過.in =(Ro/RJ2.in應(yīng)與前一個(gè)值相關(guān)，這樣使方程(4)近似認(rèn)為一個(gè)單一數(shù)據(jù)帶滿足 Xp= T on= T in-1和Xq= T in o參考文獻(xiàn)1. R. I. Tanner and G. Williams, Trans. Soc. RheoL, 14, 19-38 (1970).2. G. Williams and R. I. Tanner, Bull. Brit. Soc. RheoL, 13, 122-132 (1970).3. P. J. Davis and P. Rabinowitz. Numerical Integration, Blaisdell, 1967.4. P. J. Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration