關(guān)于極限及若干種計(jì)算方法

1、.關(guān)于極限的若干種計(jì)算方法本文將極限的幾種計(jì)算方法介紹如下：一 代入求值法：這種方法只適用于在點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)求極限。例1、計(jì)算解：,例2、計(jì)算： 二 倒數(shù)法：這種方法是利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系來處理的。例3、解：因?yàn)榉肿臃帜傅臉O限均不存在，故不能運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可先將分子分母分別除以，然后取極限。于是例4、求解：因?yàn)榉帜笜O限為零，分子極限不為零，故先考慮的極限。因?yàn)?所以 （無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。）例5、計(jì)算解：由于極限的運(yùn)算法則不適用于無限和的情形，故本題宜先求和，再求極限。因?yàn)?所以 利用倒數(shù)法可得如下結(jié)論：三 化積約分法：有些函數(shù)在處無定義，這時(shí)不能用代入求值法求極限，但當(dāng)時(shí)

2、,的極限存在與否與在點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以常將先作適當(dāng)變形，如分解因式約去極限為零的分母等，轉(zhuǎn)化為在處有定義的新函數(shù)，再用代入求值法。例6、計(jì)算解：因?yàn)樵谔師o定義，先將分式通分，化成最簡(jiǎn)分式后再求極限。例7、四 因式有理化法：這種方法實(shí)質(zhì)上同化積約分法一樣，如果的表達(dá)式是一個(gè)無理式，而求極限的四則運(yùn)算又不能適用，可先將分子或分母有理化，再求極限。例8、計(jì)算解：在處無定義，故先將分子、分母同乘以它們有理化因式，再取極限。例9、計(jì)算解：當(dāng)時(shí)，每項(xiàng)的極限均不存在，所以不能用差的極限運(yùn)算法則，為此先設(shè)法有理化。所以，五 公式法：運(yùn)用兩個(gè)重要極限：例10、計(jì)算例11、求例12、計(jì)算六 變量代換法：這是

3、在計(jì)算較復(fù)雜的函數(shù)極限時(shí)常用的技巧，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，可使復(fù)雜的極限問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的極限問題。例13、求例14、求七 夾擠法：此法利用極限準(zhǔn)則即夾擠定理。例15、計(jì)算例16、 八 單調(diào)有界法：用單調(diào)有界原理判斷極限存在，再求其極限。例17求數(shù)列解：顯然，此數(shù)列是單調(diào)上升的，下面證明數(shù)列有上界。例18、設(shè)，數(shù)列滿足條件：，計(jì)算。解：顯然對(duì)任何，都有,故有下界，由于所以是單調(diào)遞減的，故的極限存在。設(shè)，得注：例17與例18這一類數(shù)列，應(yīng)在數(shù)列極限存在的前提下才能使用此種方法。九 用洛必塔法則求極限：當(dāng)極限為待定型時(shí)，可用洛必塔法則求之。例19求例20、求解：其它還有均為待定型。這五種類型都可轉(zhuǎn)化為例21求解：例22、求解： 例23、求 例24、求解： 例25、求本方法可解：（1）求 （2）十 積分法：有些極限用定積分定義計(jì)算較為簡(jiǎn)便。例26、求例27、求例28、求例29、求例30、求解：原式= 十一 利用等價(jià)無窮小求極限：例31、利用等價(jià)無窮小數(shù)極限求解：例如當(dāng)十二 利用級(jí)數(shù)