二、光纖傳輸基本理論

1、 我們知道光有波粒二重性，就是說即可以將其看成光波，也可以將其看成是由光子組成的粒子流。 因此，在描述光的傳輸特性時相應的也有兩種理論，即波動理論波動理論和射線理論（幾何光學射線理論（幾何光學方法）方法）。前者描述起來比較復雜，需要麥克斯韋方程求解，但它可以精確的描述光的傳播特性；后者描述起來比較簡單直觀，易于理解。二、光纖傳輸基本理論（1）幾何光學射線法幾何光學射線法 當光線芯徑遠大于光波波長當光線芯徑遠大于光波波長 時，可近似認為時，可近似認為 ,從而將光波近似看成由一根光線所構成。因此，可以用幾何從而將光波近似看成由一根光線所構成。因此，可以用幾何光學的方法來分析光學的方法來分析光線的入

2、射、傳播光線的入射、傳播(軌跡軌跡)，以及時延，以及時延(色散色散)和光強分布和光強分布等特性。等特性。優(yōu)點：簡單直觀，在分析芯徑較粗的多模光纖時可以得到較優(yōu)點：簡單直觀，在分析芯徑較粗的多模光纖時可以得到較精確的結果；精確的結果；缺點：不能解釋諸如模式分布、包層模、模式耦合，以及光缺點：不能解釋諸如模式分布、包層模、模式耦合，以及光場分布等現象。而且當工作波長于芯徑可比較場分布等現象。而且當工作波長于芯徑可比較(單模光纖單模光纖)，誤，誤差較大。差較大。 000（2）波動理論法波動理論法這是一種嚴格的分析方法，嚴格性在于：這是一種嚴格的分析方法，嚴格性在于：a.) 從光波的本質特性電磁波出發(fā)

3、，通過求解電從光波的本質特性電磁波出發(fā)，通過求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程，導出電磁場的場分布，具磁波所遵從的麥克斯韋方程，導出電磁場的場分布，具有理論上的嚴謹性。有理論上的嚴謹性。b.) 未作任何前提近似，因此適用于各種折射率分未作任何前提近似，因此適用于各種折射率分布的單模光纖和多模光纖。布的單模光纖和多模光纖。幾何光學方法波動理論法適用條件 d d研究對象光線模式基本方程射線方程波導場方程研究方法折射/反射定理邊值問題主要特點約束光線模式分析思路分析思路 光纖傳輸基本理論的分析，主要是為光纖技術的應用奠定基礎。分析手段上，首先，利用光線理論來分析光在光纖中的傳播特性，并對光纖中的模式及其

4、基本性質進行初步討論；然后，用波動理論來進一步深入分析光纖中的導波場的特性，依據光纖波導的邊界條件求解波導場方程，導出本征值方程，并根據導模的截止和遠離截止條件對光纖中的模式特性進行詳細討論?；纠碚撋婕皟热?光纖模式的激勵(或光的入射) 光纖中的模式分布(或光纖傳播軌跡) 模式的傳播速度(或光線的時延) 模式沿光纖橫截面場分布； 光信號的傳輸損耗； 光信號的畸變； 模式的偏振特性； 模式的耦合；麥克斯韋方程與亥姆霍茲方程 光纖是一種介質光波導，這種波導有如下特點：a).無傳導電流；b).無自由電荷；c).線性各向同性；則其中傳播的電磁波遵從下列麥克斯韋方程：00/BDtBEtDH同時各量滿足

5、物質方程：HBED 光纖中電磁場傳播的另一個重要特性是：兩種介質交界處(光纖纖壁)處電磁場滿足邊界條件，即與的切向分量以及與的法向分量均連續(xù)，其數學表達式為EHDBttttttttDDBBHHEE21212121電磁場的規(guī)律是電場和磁場的交替變化，可以發(fā)現麥克斯韋方程中，一方面，既有電場的量，也有磁場的量；另一方面，既有空間坐標，又有時間坐標，兩者相互影響。求解的基本思路，利用分離變量法進行電、磁矢量分離和時、空坐標的分離。分離變量分離變量 電矢量與磁矢量分離:波動方程，是只與電場強度E(x,y,z,t)有關的方程式及只與磁場強度H(x,y,z,t)有關的方程式； 時、空坐標分離:亥姆霍茲方程

6、，是關于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式； 空間坐標縱、橫分離：波導場方程，是關于E(x,y)和H(x,y)的方程式； 邊界條件：在兩種介質交界面上電磁場矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。 電矢量與磁矢量分離：波動方程對麥克斯韋方程第2式取旋度，并利用矢量關系，可得00/BDtBEtDHHBEDEDDDEEEE112可得到只與電場強度有關的方程式E12222tEEE同樣的過程對麥克斯韋方程的1式進行處理，可以得到只與磁場強度有關的方程式(2-1)式與(2-2)式稱為矢量波動方程，這是一個普遍適用的精確方程。但在光纖中，折射率(或介電常數)的變化非常緩慢(1的距離上折射率

7、變化小于)，因此可近似認為。矢量波動方程化簡為下述標量波動方程H22222tHHH4104032222222tHHtEE光纖中的一般問題均可用標量波動方程解決。 時、空坐標分離：亥姆霍茲方程如果在光纖中傳播的是單色波，即電磁波具有確定的振蕩頻率f，角頻=2，則可時、空坐標分離，令式中，可代表和的任一分量。tiezyxtzyx,EH再將上式代入標量波動方程(2-3)式，可得420,22zyxzyx這就是亥姆霍茲方程，該方程對任何電磁波的傳播都適用。加上邊界條件后，即可求出任意波導結構中光波場的場分布。 空間坐標縱、橫分離：波導場方程亥姆霍茲方程有一個重要的特征：拉普拉斯算符作用在函數上的結果等于

8、該函數與一常數的乘積。這一類方程在數學上稱為本征方程，常數稱為本征值。因此，波動理論的實質是對于給定的邊界條件下求本征方程的解本征解及其對應的本征值，數學上稱為本征值問題。222k 光纖波導中，電磁波在縱向(軸向)以“行波”的形式存在，在橫向以“駐波”的形式存在。其特征是：場分布沿軸向的變化只體現在相位上，場強度不隨軸向傳播距離而變化(假設光纖中無模式耦合，也不存在損耗與增益)。若數學處理上，規(guī)定光纖軸向為z方向，則場分布與z坐標的關系可用指數形式表示為，可進一步對亥姆霍茲方程進行空間坐標縱、橫分離，令zjezieyxzyx, 上式代入亥姆霍茲方程(2-4)式，得 式中，是橫向拉普拉斯算符，與

9、分別是橫向與縱向傳播常數。 (2-5)式中的可以分別代表和的橫向場分布，即有 上式就是光纖波導中光傳播時遵從的波導場方程。這是波動理論方法的最基本方程。顯然，它也是一個典型的本征方程。當給定波導的邊界條件時,求解波導場方程可得本征解及相應的本征值。通常將本征解定義為“模式”.520,2222222yxyxyxyxzt2tyx,EH620,22yxHyxEyxHyxEt 模式和基本特征a)每一個模式對應于沿光波導軸向傳播的一種電磁波;b)每一個模式對應于某一本征值并滿足全部邊界條件;c)模式具有確定的相速群速和橫場分布.d)模式是波導結構的固有電磁共振屬性的表征。模式是波導結構的固有電磁共振屬性

10、的表征。給定的波導中能夠存在的模式及其性質是已確定了的,外界激勵源只能激勵起光波導中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質。模式場分量與縱橫關系式模式場分量與縱橫關系式模式的場矢量和具有六個場分量: 和 (或 和 )。只有當這六個場分量全部求出方可認為模式的場分布唯一確定。 但實際上這并不必要。因為場的橫向分量可由縱向分量 和 來表示.（通過將麥克斯韋方程在相應坐標系中按分量形式展開比較后就可以得到模式各分量間的關系）zyxE,zyxH,zyxEEE,zyxHHH,zrEEE,zrHHH,zEzH模式命名模式命名 根據場的縱向分量Ez和Hz的存在與否,可將模式命名為:(1)橫電磁模(TEM):

11、EzHz0;(2)橫電模(TE): Ez0,Hz0;(3)橫磁模(TM): Ez0,Hz0;(4)混雜模(HE或EH):Ez0,Hz0。 光纖中存在的模式多數為HE(EH)模,有時也出TE(TM)模。 模式分析的基本參數a)場分布場分布就是指六個場分量和它們是波導場方程滿足條件條件的本征解；、b)縱向傳播常數縱向傳播常數即與本征解對應的本征值，其意義是導模的相位在z軸單位長度上的變化量，也就是是K在z軸上的投影。導模的值是分立的，每一個值代表著一個導模(有時幾個導模具有相同的值，稱之為“簡并”)。zyxEEE,zyxHHH, C)橫向傳播常數橫向傳播常數即波矢K的橫向分量這里，j取1和2分別對

12、應于纖芯和包層。纖芯中，為實數；在包層中，為虛數。為方便起見，定義三個實參數U，W和b01kn102kn22 , 12202jknjj222110222220222220222221020Un kWin kn kWbVn kn k 上式中，b在0和1之間取值，稱為場的歸一化常數； U和W是場的橫向傳播常數； U反映了導模在芯區(qū)中的駐波場的橫向振蕩頻率； W值則反映了導模在包層中的消逝場的衰減速度，其值越大衰減越快。 還可以看到U，W和V滿足如下關系222WUV 歸一化頻率模式分析時的一個重要參量：光纖的歸一化頻率 V包含了光纖的結構及光波的工作波長，它是一個直接與光的頻率成正比的無量綱的量。光

13、纖的很多特性與之都有關。它定量表示了光纖支持橫模的能力。221022210anknnaVV越大，允許存在的導模數就越多。所謂導?！敖刂埂保侵赋Ｍ?，其他導模都可能在某一V值下不允許存在，這時導模轉化為輻射模。而使某一導模截止的頻率值，稱為導模的“截止條件”。當導模的本征值時，導模場緊緊束縛于纖芯中傳輸，稱之為導模“遠離截止”。每一個導模都對應于一合適的V值使其遠離截止，稱之為導模的“遠離截止條件”。直觀的理解：光纖包層中出現輻射模，則導波“截止”，不出現輻射模，則導?！斑h離截止”。01kn 程函方程與射線方程從亥姆霍茲還可以導出幾何光學理論的基本方程程函方程和射線方程,它描述光線在任意光纖

14、波導中傳播的光線軌跡。需要說明的是，光學發(fā)展史上，幾何光學基本概念的形成，包括直線傳播，以及反射、折射等，都遠遠早于光學的波動理論。程函數方程也完全可以從費馬原理得到，而不必借助麥克斯韋的電磁波理論。為說明方法的統一性和理論的自洽性，可以從波動理論推導出幾何光學的基本方程。需要注意的是，幾何光學理論物理概念清晰，易于理解，但僅僅是波動理論的零波長近似，其結果僅適用于多模光纖，不適合單模光纖。 幾何光學中，光線定義為等相面的法線。一般情況下，麥克斯韋的試探解可以寫成振幅與相位的形式上式中和都是位置的函數，而則稱為光程函數，把這個表達形式代入麥克斯韋方程后，可以得到 rjkrHHrjkrEE000

15、0expexp00000000000000020lnHkjHkjEHkjHEkjHEHkjEnH rE0 rH0 r根據光線理論的幾何光學近似條件，這里我們感興趣的是電磁波的波長趨于零或頻率趨于無窮的情況，即。在這種短波長極限下，我們可以把上式右邊的項忽略，從而得到把上述方程組的(2)式代入(1)式，并利用矢量恒等式，可以得到又因為電場振幅矢量不能處處為零，因而必有這就是程函方程，它描述了光程函數的變化，是幾何光學中的基本方程。00, 0 k00000000020EHHEEnH0020EnE0E22n 上述程函數方程，當已知折射率分布，就可以得到光程函數，并進而可由下式確定等相位面于是就確定了

16、光線軌跡，因為光線定義為等相位面的法線方向。 用幾何光學研究光的傳播問題，最直觀的還是對光線這一概念的操作，希望能夠直接確定光線軌跡的數學表達式。 constr 考察右圖所示的光線軌跡圖。其軌跡用光線上各點到參考點的矢徑r表示，則光線的軌跡上任意一點的方向為這一點的切線方向，其單位矢量為另一方面，垂直于等相位面，所以與平行,所以又有聯立上兩式，同時由程函方程得，則再將上式兩邊對S求導，對右式交換求導順序，再利用程函方程，可得這就是折射率分布為n的媒質中光線傳播的路徑方程(射線方程)。rdrzxyr+dr路徑dsdrndsdrnndsdrndsd射線方程射線方程)()(rndSrdndSd物理意

17、義： 將光線軌跡(由r r描述)和空間折射率分布(n)聯系起來; 由光線方程可以直接求出光線軌跡表達式; dr r/dS是光線切向斜率, 對于均勻波導，n為常數,光線以直 線形式傳播;對于漸變波導,n是r r的函數,則dr r/dS為一變量, 這表明光線將發(fā)生彎曲。而且可以證明,光線總是向折射率 高的區(qū)域彎曲。光線分類光線分類 子午光線： 限制在子午平面內傳播的光線 與光軸相交 傾斜光線： 軌跡曲線不限制在一個平面內 不過光軸z子午平面子午平面pQazz1n2np1n2nQ2a子午光線的傳播路徑及其在橫截面的投影它的傳播路徑是平面折線，在光纖截面內的投影是長度為2a的線段，也就是光纖纖芯的某一條直徑。階躍折射率光纖子午光線仍然定義為傳播過程中過光纖纖芯的光線。從上圖可以看到，在梯度光纖中，此類光線是光纖纖芯縱剖面內的平面曲線，這在橫截面內的投影是長度的線段，是光線外焦散面的半徑。tpr2tpr梯度折射率光纖apQ1n2nicrpQT偏斜光線的傳播路徑及其在橫截面內