中考熱點(diǎn),二次函數(shù)區(qū)間范圍的最值問題

1、中考熱點(diǎn)，二次函數(shù)區(qū)間范圍的最值問題二次函數(shù)最值問題的重要性毋庸置疑，其貫穿了整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)必須攻克的極為重要的問題之一。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是二次函數(shù)最值問題的典型代表，其問題類型通常包括不含參數(shù)和含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值逆向性問題以及可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的問題，在此類問題的解決過程中，涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想與方法。中考中多涉及到含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，很多學(xué)生不習(xí)慣數(shù)形結(jié)合及分類討論思想的運(yùn)用，導(dǎo)致解題失誤或錯(cuò)誤。類型 1 求解自變量在不同區(qū)間里二次函數(shù)最值1 （ 20

2、19 ?大興區(qū)一模）已知二次函數(shù)y x2 2x+3，當(dāng)自變量x滿足 1 x2 時(shí)，函數(shù)y 的最大值是【解析】 先根據(jù)二次函數(shù)的已知條件，得出二次函數(shù)的圖象開口向上，再根據(jù)變量 x在 2 x 1 的范圍內(nèi)變化，再分別進(jìn)行討論，即可得出函數(shù)y 的最大值二次函數(shù)y x2 2x+3 （x 1） 2+2 ，該拋物線的對(duì)稱軸為x 1 ，且 a 1 > 0，當(dāng)x 1 時(shí)，函數(shù)有最小值2，當(dāng) x1 時(shí)，二次函數(shù)有最大值為：（1 1 ） 2+2 6，故答案為62 （ 2019 ?新華區(qū)校級(jí)自主招生）已知函數(shù)y x2 2x+3 在閉區(qū)間0， m上有最大值 3，最小值2，則m 的取值范圍是（）A m 1B 0

3、 m 2C 1 m 2D m 2【解析】 ：二次函數(shù)y x2 2x+3 （x 1 ） 2+2 ，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x 1， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ， 2） ， 與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0，3 ） .其大致圖象如圖所示：由對(duì)稱性可知，當(dāng)y 3 時(shí)，x 0 或 x 2，二次函數(shù)y x2 2x+3 在閉區(qū)間0， m上有最大值3，最小值2， 1 m 2故選：C3 （ 2019 ?鄭州模擬）二次函數(shù)y x2 4x+a在 2 x 3 的范圍內(nèi)有最小值3 ，則a【解析】 ： y x2 4x + a（x 2） 2+ a 4，當(dāng) x 2 時(shí)，函數(shù)有最小值a 4，二次函數(shù)y x2 4x+a 在2 x 3 的范圍內(nèi)

4、有最小值3，2x3，y 隨x的增大而增大，a43，a1 ，故答案為1 4 （ 2019 ?邯鄲模擬）對(duì)于題目“二次函數(shù)y 3/4（ x m） 2+m，當(dāng)2m 3x 2m 時(shí)， y 的最小值是1 ，求 m 的值 ”甲的結(jié)果是 m 1，乙的結(jié)果是m2，則（）A 甲的結(jié)果正確B乙的結(jié)果正確C甲、乙的結(jié)果合在一起才正確D 甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確【解析】 根據(jù)對(duì)稱軸的位置，分三種情況討論求解即可求得答案，然后判斷即可二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x m ， m< 2m 3 時(shí)，即 m > 3， y的最小值是當(dāng)x 2m 3 時(shí)的函數(shù)值，此時(shí) 3/4 （ 2m 3 m） 2+ m 1 ，因?yàn)榉匠虩o

5、解，故m 值不存在；當(dāng) 2m 3 m 2m 時(shí)，即0 m 3 時(shí)，二次函數(shù)有最小值1 ，此時(shí)， m 1 ，當(dāng)m>2m 時(shí)，即 m< 0，y 的最小值是當(dāng)x2m 時(shí)的函數(shù)值，此時(shí)， 3/4 （ 2m m ） 2+ m 1 ，解得m 2 或m 2/3 ， m < 0， m 2,所以甲、乙的結(jié)果合在一起正確，故選：C類型 2 二次函數(shù)區(qū)間最值解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，最常見的為利潤(rùn)問題和費(fèi)用最低等問題，首先根據(jù)題中常見的等量關(guān)系建立二次函數(shù)模型，然后利用二次函數(shù)確定最值，注意要考慮自變量在實(shí)際問題中的取值范圍。如利潤(rùn)問題，可歸納為以下一般步驟：（ 1）找出利潤(rùn)與售價(jià)之間

6、的函數(shù)解析式（注意自變量的取值范圍）；（ 2）將二次函數(shù)的解析式表達(dá)成頂點(diǎn)式；（ 3）結(jié)合自變量的取值范圍求得最值，即求得最大利潤(rùn)。5 （ 2019 秋 ?福州期末）為了測(cè)量某沙漠地區(qū)的溫度變化情況，從某時(shí)刻開始記錄了 12 個(gè)小時(shí)的溫度，記時(shí)間為t（單位：h） ，溫度為y（單位：）當(dāng) 4t 8 時(shí)， y 與 t 的函數(shù)關(guān)系是yt2+10 t+11 ， 則 4 t 8 時(shí)該地區(qū)的最高溫度是（）A 11 B 27C 35D 36【解析】 首先確定二次函數(shù)的最大值，然后結(jié)合自變量的取值范圍確定答案即可yt2+10 t+11 （ t 5） 2+36 ，當(dāng) t 5 時(shí)有最大值36， 4 t 8 時(shí)該地

7、區(qū)的最高溫度是36 ，故選：D6（ 2020 ?鄭州一模）使用家用燃?xì)庠顭_同一壺水所需的燃?xì)饬縴（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（ 單位： 度） （ 0°<x 90°） 近似滿足函數(shù)關(guān)系y ax2+ bx+c（ a 0） 如圖記錄了某種家用節(jié)能燃?xì)庠顭_同一壺水的旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x與燃?xì)饬縴 的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃?xì)庠顭_一壺水最節(jié)省燃?xì)獾男o的旋轉(zhuǎn)角度約為A 33°B 36°C 42°D 49°【解析】 由圖象可知，物線開口向上，該函數(shù)的對(duì)稱軸x> （18+54）/2 且 x<54， 36

8、< x< 54， 即對(duì)稱軸位于直線x 36 與直線x 54 之間且靠近直線x 36，故選： C7.（ 2020 ?青羊區(qū)模擬）某廠按用戶需求生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本每件20 萬元， 規(guī)定每件售價(jià)不低于成本，且不高于40 萬元 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每年的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（萬元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（ 1 ）求 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式；（ 2 ）設(shè)商品每年的總利潤(rùn)為W（萬元） ，求 W 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式（利潤(rùn)收入成本）；（ 3 ）試說明（2）中總利潤(rùn)W 隨售價(jià) x 的變化而變化的情況，并指出售價(jià)為多少萬元時(shí)獲得最大利澗，最大利潤(rùn)是多少？【分析】 （ 1 ）根據(jù)題

9、意可以設(shè)出y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式；（ 2 ）根據(jù)題意可以寫出W 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式；（ 3 ）根據(jù)（2）中的函數(shù)解析式，將其化為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)成本每千克20元，規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本，且不高于40 元，即可得到利潤(rùn)W 隨售價(jià)x 的變化而變化的情況，以及售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少【解析】 ： （ 1 ）設(shè) y 與 x 之間的函數(shù)解析式為y kx+ b（ k 0） ，將 x=25,y=50; x=30,y=40, 代入得 25k+b=50, 30k+b=40,解得， k=02,b=100.即 y與 x 之間的

10、函數(shù)表達(dá)式是y2x+100 ；（ 2 ）由題意可得，W(x 20) (2x+100 )2x2+140 x 2000 ，W 與 x之間的函數(shù)表達(dá)式是W2 x2 +140 x 2000 ；（ 3）W2x2+140 x 2000 2（ x 35） 2+450 ， 20 x 40，當(dāng) 20 x 35 時(shí)， W 隨 x的增大而增大，當(dāng) 35 x 40 時(shí)， W 隨 x的增大而減小，當(dāng) x 35 時(shí)， W 取得最大值，此時(shí)W 450，答：當(dāng) 20 x 35 時(shí)， W 隨 x 的增大而增大，當(dāng)35 x 40 時(shí)， W 隨 x 的增大而減小，售價(jià)為35 元時(shí)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是450 元8 （ 2019

11、秋 ?萊山區(qū)期末）某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材，成本為2 元 /千克，每天的產(chǎn)量P（百千克）與銷售價(jià)格x（ 元 /千克） 滿足函數(shù)關(guān)系式px+8 從市場(chǎng)反饋的信息發(fā)現(xiàn)，該食材每天的市場(chǎng)需求量q（百千克）與銷售價(jià)格x（元/ 千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：已知按物價(jià)部門規(guī)定銷售價(jià)格x 不低于 2 元 /千克且不高于10 元 /千克（ 1 ）直接寫出q 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x 的取值范圍（ 2 ）當(dāng)每天的產(chǎn)量小于或等于市場(chǎng)需求量時(shí)，這種食材能全部售出；當(dāng)每天的產(chǎn)量大于市場(chǎng)需求量時(shí)，只能售出市場(chǎng)需求的量，而剩余的食材由于保質(zhì)期短作廢棄處理當(dāng)每天的食材能全部售出時(shí)，求x 的取值范圍；

12、求廠家每天獲得的利潤(rùn)y（百元）與銷售價(jià)格x 的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）在（2）的條件下，當(dāng)x為多少時(shí)，y 有最大值，并求出最大利潤(rùn)【分析】 題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用最大銷售利潤(rùn)的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案.【解答】 ： （ 1 ）由表格的數(shù)據(jù)，設(shè)q 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為：q kx+ b根據(jù)表格的數(shù)據(jù)得2k+b=12,4k+b=10,，解得 k=-1,b=14 ，故 q 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為：qx+14 ，其中2 x 10（ 2 ）當(dāng)每天的半成品食材能全部售出時(shí)，有p q即 1/2 x+8 x+14 ，解得x 4又 2 x 10，所以此時(shí)2 x 4由可知，當(dāng)2 x 4 時(shí)，二次函數(shù)在