九年級數(shù)學(xué)上冊第3章《對圓的進(jìn)一步認(rèn)識復(fù)習(xí)》知識梳理與要點(diǎn)回顧(青島版)

1、對圓的進(jìn)一步認(rèn)識復(fù)習(xí)知識梳理1、圓的對稱性（ 1）確定一個圓有兩要素，一是，二是 。圓心確定，半徑確定 ； 圓既是 對稱圖形，又是中心對稱圖形，它的對稱中心是，對稱軸是，有 條對稱軸。（ 2） 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧， 所對的弦；如果兩個圓心角、兩條弧、 兩條弦或兩個弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別 。（ 3） 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角， 同弧或等弧所對的圓周角是其所對的圓心角的，半圓（或直徑）所對的圓周角是， 的圓周角所對的弦是直徑。（ 4） 直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對的。（ 5） 位置關(guān)系（ 6） d 表示點(diǎn)到圓心（或點(diǎn)到直線，兩圓

2、圓心）的距離，r 表示圓的半徑， 點(diǎn) 在 圓 內(nèi) ， 點(diǎn) 在 圓 上 ， 點(diǎn) 在 圓 外； 直 線 和 圓 相 交 ， 直 線 和 圓 相 切 ， 直 線 和 圓 相 離 若 再 用 R 表 示 另 一 個 圓 的 半 徑 ， 則 兩 圓 外 離 ， 兩 圓 外 切，兩圓相交，兩圓內(nèi)切，兩圓內(nèi)含（ 2） 圓的切線于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，經(jīng)過半徑的外端且于這條半徑的直線是圓的切線。3、切線的判定方法（ 1）與圓有惟一公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）。（ 2）到圓心的距離等于行徑的直線是圓的切線。（ 3）經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。4、三角形的外接圓與內(nèi)切圓的三個點(diǎn)確定一個圓；三角形

3、的外接圓是的交點(diǎn)， 這個交點(diǎn)叫做 ；三角形的內(nèi)切圓是的交點(diǎn)，這個交點(diǎn)叫做。5、與圓有關(guān)的計(jì)算（ 1）如果弧長為l ，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r，那么弧長l=。（ 2）如果已知扇形圓心角度數(shù)為n，半徑為r，那么扇形面積S=。（ 3）如果已知扇形弧長為l，半徑為r，那么扇形面積S=。要點(diǎn)回顧考點(diǎn)一、垂徑定理例 1 ： 如圖所示，O 的半徑OA 5cm，弦AB 8cm，點(diǎn)P 為弦 AB 上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到圓心 O 的最短距離是cm解析：點(diǎn)P 在弦 AB 上運(yùn)動，圓心O 在弦 AB 所在直線外，根據(jù)“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有連線中，垂線段最短”，故過點(diǎn)O 作 OM AB 于 M（如圖1） ， O

4、M 的長就是點(diǎn)P 到圓心 O 的最短距離。由垂徑定理，得AM=MB= 1 AB= 1 ×8=4（ cm）22所以在 Rt AOM 中， OM= 52 42 =3（ cm）故點(diǎn) P 到圓心 O 的最短距離是3cm.考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系例 2： （ 涼山州）已知O1 和O 2的半徑分別為2cm 和 3cm，圓心距O1O2為 5cm，則O1 和 O2的位置關(guān)系是（）A外離B外切C相交D內(nèi)切考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系分析：由O1 與O2的半徑分別為2cm 和 3cm，且圓心距O1O2為 5cm，根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R， r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關(guān)系解答：解：與

5、O2的半徑分別為2cm 和 3cm，且圓心距O1O2為 5cm，又 2+3=5，兩圓的位置關(guān)系是外切故選B 點(diǎn)評：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d，兩圓半徑R， r 的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系考點(diǎn)三、切線的性質(zhì)和判定例 3： 如圖2， AB 是 O 的直徑， 點(diǎn) D 在 AB 的延長線上，DC 切 O 于點(diǎn) C， 若A=25° ，則 D 等于（）A 20°B 30°C 40°D 50°解析：連接OC，因?yàn)锳=25° ，所以DOC=5° 0又因?yàn)?DC 切 O 于點(diǎn)C，所以O(shè)CD=9° 0 ，

6、所以D=40° ，故選C。例 4： 如圖3，已知直線PA交O 于 A， B 兩點(diǎn)， AE 是 O 的直徑。點(diǎn)C 為 O 上一點(diǎn)，且 AC 平分 PAE，過 C 作 CD PA，垂足為D。求證： CD 為 O 的切線。證明：連接OC，因?yàn)辄c(diǎn) C 在 O 上，所以O(shè)A=OC ；所以 OCA= OAC ；因?yàn)?CD PA，所以CDA=9°0 ；所以 CAD+ DCA =90° ；因?yàn)?AC 平分PAE，所以DAC= CAO ；所以DCO= DCA+ ACO= DCA+ CAO= DCA+ DAC=9°0 .即 OC CD.又因?yàn)辄c(diǎn)C 在 O 上， OC 為 O

7、 的半徑，所以 CD 為 O 的切線?？键c(diǎn)四、扇形與弧長的有關(guān)計(jì)算例 5： （攀枝花）一個圓錐的左視圖是一個正三角形，則這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于（）A60°B 90° C 120°D 180°考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算分析： 要求其圓心角，就要根據(jù)弧長公式計(jì)算，首先明確側(cè)面展開圖是個扇形，即圓的周長就是弧長解答：解：設(shè)底面圓的半徑為r，則圓錐的母線長為2r，底面周長=2r ，側(cè)面展開圖是個扇形，弧長=2 r= ，所以n=180° 故選D 點(diǎn)評： 本題主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關(guān)系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面

8、周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長本題就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解考點(diǎn)五、圓與其他知識的綜合例6： （衡陽壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6）， M 經(jīng)過原點(diǎn) O 及點(diǎn) A、 B（ 1 ）求M 的半徑及圓心M 的坐標(biāo)；（ 2）過點(diǎn)B 作M 的切線 l，求直線l 的解析式；（ 3）BOA 的平分線交AB 于點(diǎn) N ，交 M 于點(diǎn)E，求點(diǎn)N 的坐標(biāo)和線段OE的長考點(diǎn)：圓的綜合題專題：綜合題分析： （ 1 ） 根據(jù)圓周角定理AOB=9°0 得 AB 為 M 的直徑，則可得到線段AB 的中點(diǎn)即點(diǎn)M 的坐標(biāo)，然后利用勾股定理計(jì)算出AB=1

9、0 ，則可確定M 的半徑為5；2）點(diǎn) B 作 M 的切線 l 交 x 軸于C，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB BC，利用等角的余角相等得到 BAO= CBO， 然后根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt ABO Rt BCO， 所以 = ，可解得 OC= ，則 C 點(diǎn)坐標(biāo)為（， 0） ，最后運(yùn)用待定系數(shù)法確定l 的解析式；（ 3）作ND x軸，連結(jié)AE，易得 NOD 為等腰直角三角形，所以ND=OD ， ON= ND，再利用ND OB 得到 ADN AOB ，則 ND： OB=AD ： AO，即ND： 6=（ 8 ND） ： 8，解得 ND= ，所以 OD= ， ON= ，即可確定N 點(diǎn)坐標(biāo)；由于 ADN AO

10、B ，利用ND： OB=AN ： AB ，可求得AN= ，則 BN=10 = ，然后利用圓周角定理得OBA=OEA ， BOE= BAE ，所以 BON EAN ，再利用相似比可求出ME ，最后由OE=ON+NE 計(jì)算即可解答：解： （ 1）AOB=9°0 ，AB 為 M 的直徑，A（ 8， 0） ， B（ 0， 6） ，OA=8 ， OB=6，AB=10，M 的半徑為5；圓心M 的坐標(biāo)為（ 4， 3） ；2）點(diǎn)B 作 M 的切線 l 交 x 軸于 C，如圖，BC 與 M 相切， AB 為直徑， AB BC，ABC=90° ， CBO+ ABO=9°0 ，而 BA

11、O= ABO=9°0 ，BAO= CBO，Rt ABO Rt BCO，= ，即= ，解得OC= ，C 點(diǎn)坐標(biāo)為（， 0） ，設(shè)直線 BC 的解析式為y=kx+b ，把 B（ 0， 6） 、 C 點(diǎn)（， 0）分別代入3）作ND x 軸，連結(jié)AE，如圖，BOA 的平分線交AB 于點(diǎn) N ，NOD 為等腰直角三角形，ND=OD ，ND OB，ADN AOB ，ND ： OB=AD ： AO ，ND： 6=（ 8 ND） ： 8，解得ND= ，OD= ， ON= ND= ，N 點(diǎn)坐標(biāo)為（，） ；ADN AOB ，ND ： OB=AN ： AB ，即： 6=AN ：10，解得AN=BN=10 OBA=OEA ，BOE= BAE ，BON EAN ，BN ： NE=ONAN ，即 ： NE=，解得 NE= ，OE=ON+NE= +=7點(diǎn)評： 本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論；學(xué)會運(yùn)用待定 系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算考點(diǎn)六、圓中多解問題例 7： 已知橫斷面直徑為1 米的圓形下水管道的水面寬AB=0.6 米，求下水