一道經(jīng)典平行線問題的解答與變式

1、. 一道平行線問題的解答與演變平時學習中，大家都要做大量的習題，其中不少習題的解法具有多樣性，題目本身具有典型性、發(fā)展性，對這些問題的圖形和條件進行一些變化，就會產(chǎn)生一個個頗具思維含量的考試題下面對一道有關平行線問題進行多角度求解，并進行變式訓練，以發(fā)展同學們的思維能力原命題：如圖，已知ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，射線BE與CE交于E求證：BECE分析一：由角平分線的定義易得 1、2與BCD、ABC之間的倍分關系，再利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”的結論進行整體代換，即可解決問題解法一：整體轉化法BE平分ABC，（角平分線的定義），同理，（等式性質）又ABCD，（兩直線平行，同旁

2、內(nèi)角互補），（等量代換）（三角形的內(nèi)角和等于180 o）即BECE（垂直的定義）點評：解法一綜合運用的知識點有：角平分線定義、垂直定義、平行線的性質、等式性質、等量代換、三角形內(nèi)角和等，運用的數(shù)學思想方法是整體代換和轉化思想分析二：作平行線把E分成兩個角，并將這兩個角與1、2聯(lián)系起來，進行有效轉化解法二：分解轉化法如圖，過點E作EFAB交BC于F，又ABCD，ABEFCD（平行線的傳遞性），（平行線的性質、角平分線的定義）（同上），（等量代換），又由ABCD知（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）， （等量代換）即BECE（垂直的定義）點評：解法二運用作平行線的方法把E分成兩個角，并運用平行線的性質和等

3、量代換解題運用的數(shù)學思想方法是分解思想（即化整為零）和轉化思想分析三：要求E，只須求出E的鄰補角即可延長BE后，出現(xiàn)新的CEM（如圖3），CEM的三個內(nèi)角與BCE的三個內(nèi)角的度數(shù)之和相等，用對應思想便可解決問題 解法三：對應轉化法延長BE交CD于M，ABCD，CMEABE2（平行線的性質和角平分線定義），又（三角形內(nèi)角和等于180 o），而1ECM， 2CME（角平分線定義），BECCME（等式性質），又（鄰補角），（等式性質）即BECE（垂直的定義）點評：解法三運用的知識點有：平行線的性質、三角形內(nèi)角和、鄰補角性質和等式性質等，運用的數(shù)學思想方法是對應思想和轉化思想總結：把原命題概括成一句話

4、，可說成：兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直通過對原命題的多種解法的深入探討，可以加強知識間的聯(lián)系，實現(xiàn)方法和技能的融會貫通，從而培養(yǎng)思維的深刻性和靈活性如果僅從解法上進行分析和思考，就題論題，習題的功能便會大打折扣，我們還應該對原命題進行一系列的演變，這樣不但可以感受到題目的發(fā)展變化，還可以進一步提高我們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力變式一：探求原命題的逆命題 例1（2012黃石七年級期末考試）如圖4，兩條直線AB、CD被第三條直線BC所截所成的同旁內(nèi)角的平分線BE和CE互相垂直，探求AB與CD的位置關系解：BECE，（三角形內(nèi)角和等于180 o），又BE、CE平

5、分ABC、BCD，（角平分線的定義），（等量代換），（等式性質），ABCD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）說明：進一步可把原命題的條件與結論進行梳理，總結如下：在圖中，直線AB、CD被BC所截，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，BECE，以上任三個作為條件，都可以推出第四個變式二：在原圖基礎上，增加另一組同旁內(nèi)角的平分線例2（2012安徽中考題）如圖5，已知ABCD，BE、CE、BF、CF分別是ABC、BCD、NCB、MBC的角平分線，BC不與ND垂直，則圖中與FBE相等的角共有 個解析：由原命題的解答可知，同理可得：； 又，同理可得因此. 即與FBE相等的角共有3個說明：用語言文字概括本

6、例題，可表述為：兩條平行線被第三條直線所截，兩對同旁內(nèi)角的平分線組成的四邊形是矩形變式三：在原圖基礎上，增添兩個相等的角或一組平行線例3（2012新希望杯試題）如圖6， GEF與DFE的角平分線交于點H，ABCD，BD求證：EHHF證明：ABCD，AC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又BD， AEBDFC（三角形內(nèi)角和），又AEBGEF，DFCMFE（對頂角相等），GEFMFE（等量代換），EGFD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），則（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），又EH、FH為角平分線，（角平分線的定義），即BECE（垂直定義）說明：在原題的基礎上添加平行線后，得到一對內(nèi)錯角相等，并結合其他條件進一步得

7、出BGMD，這樣就將看似復雜的問題逐步轉化成已經(jīng)解決過的問題（即原命題）變式四：改變部分條件，設置成有梯度的綜合題例4(2012武昌區(qū)七年級期末考試)已知，如圖7，直線ABCD，直線EF分別交AB、CD于E、F兩點，EM、FN分別平分BEF、CFE（1）求證：EMFN；（2）如圖8，DFE的平分線交EM于G，求EGF的度數(shù)；（3）如圖9， BEG、DFG的平分線交于H點，試問： H與G的度數(shù)是否存在某種特定的數(shù)量關系？并證明你的結論；若BEH、DFH的平分線交于Q點，根據(jù)的結論猜想Q與G的度數(shù)關系 （不需證明）（1）證明：ABCD，BEF=CFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又EM、FN分別平分BEF、CFE，2FEM2NFE（角平分線的定義），即FEMNFE（等式性質），EMFN （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；（2）由原命題的解答易得：，證略；（3）解：類比（2）的解答，如圖10，過H點作HKAB，同理可證 EGF=2H；同理可證：, G=4Q 說明：例4是一道一題多問的綜合題，有梯度，亦有一定難度雖然改變了原命題的部分條件，但解決問題所用的知識和方法并沒有改變只要我們掌握了原命題的幾種解法的本質特點，解決本題也會得心應手通過上面的變化，同學們一定知道了試題是如何演變而來的是的，試題一般都是從經(jīng)典習題變化而來的在平時學