201x-201x九年級數(shù)學(xué)上冊 22.3 實際問題與二次函數(shù)（第2課時）3 新人教版

1、實際問題與二次函數(shù)實際問題與二次函數(shù)(1)(1)目標(biāo)目標(biāo):應(yīng)用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決一些生活實際問題，進而培應(yīng)用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決一些生活實際問題，進而培養(yǎng)學(xué)生理解實際問題、從數(shù)學(xué)角度抽象分析問題和運用數(shù)學(xué)知養(yǎng)學(xué)生理解實際問題、從數(shù)學(xué)角度抽象分析問題和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。通過實踐體會到數(shù)學(xué)來源于生活又服識解決實際問題的能力。通過實踐體會到數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活。務(wù)于生活。n前面我們結(jié)合實際問題，討論了二次前面我們結(jié)合實際問題，討論了二次函數(shù)，看到了二次函數(shù)在解決實際問函數(shù)，看到了二次函數(shù)在解決實際問題中的一些應(yīng)用，下面我們進一步用題中的一些應(yīng)用，下面我們進一步用二次函數(shù)討論

2、一些實際問題。二次函數(shù)討論一些實際問題。 某商品現(xiàn)在的售價為每件某商品現(xiàn)在的售價為每件6060元，元，每星期可賣出每星期可賣出300300件，市場調(diào)查反件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價映：如調(diào)整價格，每漲價1 1元，每元，每星期要少賣出星期要少賣出1010件；每降價件；每降價1 1元，元，每星期可多賣出每星期可多賣出2020件，已知商品件，已知商品的進價為每件的進價為每件4040元，如何定價才元，如何定價才能使利潤最大？能使利潤最大？探究1 （1）設(shè)每件漲價）設(shè)每件漲價x元，則每星期售元，則每星期售出商品的利潤出商品的利潤y隨之變化。我們先來確定隨之變化。我們先來確定y隨隨x變化的函數(shù)式。

3、變化的函數(shù)式。漲價漲價x元時元時，每星期，每星期少賣少賣_件，實際賣出件，實際賣出_件，件，銷售額為銷售額為_.怎樣確定x的取值范圍 分析：分析：調(diào)查價格包括調(diào)查價格包括漲價漲價 和降價兩種情況。我和降價兩種情況。我們先看漲價的情況。們先看漲價的情況。即即y=(300-10 x)(20+x)10 x（300-10 x）（60+x)(300-10 x）(0 x30)即即 y=-10 x +100 x+6000,其中，其中，0 x30.根據(jù)上面的函數(shù)，填空：根據(jù)上面的函數(shù)，填空： 當(dāng)當(dāng)x_時，時，y最大，也就是說，最大，也就是說，在漲價的情況下，漲價在漲價的情況下，漲價_元，即定元，即定價價_元時

4、，利潤最大，最大利潤是元時，利潤最大，最大利潤是_.255656250(2)(2)在降價的情況下，最大利潤是多少？在降價的情況下，最大利潤是多少？請你參考請你參考(1)(1)的討論自己得出答案。的討論自己得出答案。由由(1)(2)的討論及現(xiàn)在的銷售狀況，你知的討論及現(xiàn)在的銷售狀況，你知道應(yīng)如何定價能使利潤最大了嗎？道應(yīng)如何定價能使利潤最大了嗎？設(shè)每件降價設(shè)每件降價x元元y=(300+20 x)(20-x)當(dāng)當(dāng)x2.5時，時，y最大為最大為6125漲價漲價5元時，利潤最大為元時，利潤最大為6250練習(xí)：練習(xí)：某商人若將進貨單價為某商人若將進貨單價為8元的商品按每件元的商品按每件10元出售，每天可

5、銷售元出售，每天可銷售100件?，F(xiàn)在他為了增加件?，F(xiàn)在他為了增加利潤，提高了售價。但他發(fā)現(xiàn)商品每漲一元，利潤，提高了售價。但他發(fā)現(xiàn)商品每漲一元，其銷售量就減少其銷售量就減少10件。請你應(yīng)用已學(xué)知識幫他件。請你應(yīng)用已學(xué)知識幫他決定：將售出價定為多少時，才能使每天所賺決定：將售出價定為多少時，才能使每天所賺利潤最大？并預(yù)算出最大利潤。利潤最大？并預(yù)算出最大利潤。本題是確定提高利潤的最佳方案問題。本題是確定提高利潤的最佳方案問題。解：設(shè)這種商品漲了解：設(shè)這種商品漲了x元，元，(X為正整數(shù)）每天所賺利為正整數(shù)）每天所賺利潤為潤為y元，元，則則y=(2+x)(10010 x)=10 x2+80 x+20

6、0 =10(x4)2+360， 當(dāng)當(dāng)x=4時，利潤時，利潤y最大，此時售價為最大，此時售價為14元，元， 每天所賺利潤為每天所賺利潤為360元。元。 1）訓(xùn)練對文字信息的分析能力；）訓(xùn)練對文字信息的分析能力； 2）體驗將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題）體驗將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法：的方法： 即在對實際問題理解的基礎(chǔ)上，建即在對實際問題理解的基礎(chǔ)上，建立起商品漲價的錢數(shù)與所獲利潤的立起商品漲價的錢數(shù)與所獲利潤的函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求取利潤最大值，提出解決問題的求取利潤最大值，提出解決問題的方案。方案。問題問題2：某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上某公

7、司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，下面的二次函數(shù)市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，下面的二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累計利潤圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累計利潤s（萬元）（萬元）與銷售時間與銷售時間t（月）之間的關(guān)系（即前（月）之間的關(guān)系（即前t個月的利潤總和個月的利潤總和s與與t之間的關(guān)系）。根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：之間的關(guān)系）。根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：012345-2S（萬元）（萬元）t（月）（月）123-11）由已知圖象上的三點坐標(biāo)求累積）由已知圖象上的三點坐標(biāo)求累積利潤利潤s（萬元）與時間（萬元）與時間t（月

8、）之間（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；2）求截止到幾月末公司累）求截止到幾月末公司累積利潤可達到積利潤可達到30萬元；萬元；3）求第）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？個月公司所獲利潤是多少萬元？ 本題是涉及實際虧損與盈利的經(jīng)濟問題。本題是涉及實際虧損與盈利的經(jīng)濟問題。012345-2S（萬元）（萬元）t（月）（月）123-11）由已知圖象上的三點坐標(biāo)求累積利潤）由已知圖象上的三點坐標(biāo)求累積利潤s（萬元）與時（萬元）與時 間間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；關(guān)鍵點：關(guān)鍵點：1）觀察二次函數(shù)的部分圖像，用哪三點坐標(biāo)）觀察二次函數(shù)的部分圖像，用哪三點坐標(biāo)解題更簡便？解題更簡

9、便？ - 3解：解： 設(shè)設(shè)s與與t的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 s=at2+bt+c 圖像過點圖像過點(,),(1, -1.5 ) ,(2, - 2)a+b+c=1.5 4a+2b+c=2 c=0 解得解得a=21b=2c=0 s= t22t，（t 的整數(shù)）21212a2設(shè)s=a(t-2)012345-2S（萬元）（萬元）t（月）（月）123-12）求截止到幾月末公司累積利潤可達到）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；萬元；1）累積利潤）累積利潤s（萬元）與時（萬元）與時 間間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系（月）之間的函數(shù)關(guān)系 式為式為 s= t22t21解解:把把s=30代入代入 s= t22

10、t 21得得: 30= t22t 21 解得解得: t1=10, t2=6 (舍舍)答：截止到答：截止到10月末公司累積月末公司累積 利潤可達到利潤可達到30萬元萬元關(guān)鍵點：關(guān)鍵點： 2）實際問題必須考慮自變量）實際問題必須考慮自變量t的取值范圍，并的取值范圍，并結(jié)合實際決定計算結(jié)果中結(jié)合實際決定計算結(jié)果中t值的取舍；值的取舍； （t 的整數(shù)）012345-2S（萬元）（萬元）t（月）（月）123-12）截止到）截止到10月末公司累積利潤可達到月末公司累積利潤可達到30萬元；萬元；1）累積利潤）累積利潤s（萬元）與時（萬元）與時 間間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系（月）之間的函數(shù)關(guān)系 式為式為 s=

11、t22t21解解: 把把t = 7代入代入 : s= 7227 =10.5213）求第）求第8個月公司所獲利潤是多少個月公司所獲利潤是多少 萬元？萬元？ 把把t = 8代入代入 : s= 8228=1621關(guān)鍵點：關(guān)鍵點： 3）要認真審題，準確理解題意。體會第）要認真審題，準確理解題意。體會第8個月利潤與累計利潤的區(qū)別和如何求??？（應(yīng)用二次個月利潤與累計利潤的區(qū)別和如何求??？（應(yīng)用二次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系）函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系）本題歸納本題歸納:1）訓(xùn)練學(xué)生從圖像獲取信息的能力；）訓(xùn)練學(xué)生從圖像獲取信息的能力；2）復(fù)習(xí)鞏固三點確定二次函數(shù)解析式）復(fù)習(xí)鞏固三點確定二次函數(shù)解析式的方法；體驗生活中兩個變量間的

12、對應(yīng)的方法；體驗生活中兩個變量間的對應(yīng)關(guān)系，是如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識體現(xiàn)的。關(guān)系，是如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識體現(xiàn)的。如圖中如圖中,是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在L時，拱頂離水面時，拱頂離水面2米，水面寬米，水面寬4米。米。水面下降水面下降4米，水面寬度增加多少？米，水面寬度增加多少？我們知道，二次函數(shù)我們知道，二次函數(shù)的圖像是拋物線，建的圖像是拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)。為表示的二次函數(shù)。為解題簡便，解題簡便，以拋物線的頂點為原點，以拋物以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為線的對稱軸為y軸，如圖建立平面直軸，如圖建立

13、平面直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系可設(shè)這一條拋物線表示的二次函數(shù)為可設(shè)這一條拋物線表示的二次函數(shù)為y=ax.有拋物線經(jīng)過點（有拋物線經(jīng)過點（2，-2），），可得：可得：-2=a2,2,這條拋物線表示的二次函數(shù)為這條拋物線表示的二次函數(shù)為當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降4 4米時米時, ,水面的縱坐標(biāo)為水面的縱坐標(biāo)為y=-6.y=-6.請你根據(jù)上面的函數(shù)表達式求出這時的請你根據(jù)上面的函數(shù)表達式求出這時的水面寬度。水面寬度。12a 212yx 水面下降水面下降4米米,水面寬度增加水面寬度增加_米米.4)(4 3XY0BCA探究四探究四:公園要建造圓形的噴水池，在水池中央公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一

14、個柱子垂直于水面處安裝一個柱子OA，O點恰在水面點恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子頂端米，由柱子頂端A處的噴頭向處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下。為使水流較為漂亮，要求設(shè)計成水路線落下。為使水流較為漂亮，要求設(shè)計成水流在離流在離OA距離為距離為1米處達到距水面最大高度米處達到距水面最大高度2.25米。如果不計其他因素，那么水池的半徑米。如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？至少要多少米，才能使噴出的水流落不到池外？ 本題是涉及公園美化的本題是涉及公園美化的應(yīng)用性問題。應(yīng)用性問題。X

15、Y0BCA解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點為拋物線頂點為B，水流，水流 落落水與水與x軸交于軸交于C點。由題意點。由題意可知可知A（，（，1.25）、）、 B（1，.25）、）、 C（x，0） 關(guān)鍵點：關(guān)鍵點：1）根據(jù)題目條件該如何建立直）根據(jù)題目條件該如何建立直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系 XY0BCA 如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點為拋物線頂點為B. 由題由題意可知意可知 A（0，0）、）、 B（1，1）、）、 C（x， -1.25 ） XY0BCA 如圖建立坐標(biāo)系，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點為設(shè)拋物線頂點為B.由題由題意可知意可知 A(-1,-1), O（-1

16、，-1.25）、）、 B（O，0）、）、 C（x， -2.25）XY0BCA解：如圖建立坐解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點為頂點為B，水流落，水流落水與水與x軸交于軸交于C點。點。 由題意可知由題意可知A（，（，1.25）、）、B（1，.25）、）、C（x，0） 解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線頂點 為為B，水流落水與，水流落水與x軸交于軸交于C點。點。 由題意可知由題意可知A（，（，1.25）、）、 B（1，.25）、）、C（x，0） 0BCAXY設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x1)2+2.25 (a0), 點點A坐標(biāo)代入，得坐標(biāo)代入，得a= 1當(dāng)當(dāng)y

17、= 0，即，即(x 1) 2+2.25=0時，時，水池的半徑至少要水池的半徑至少要2.5米。米。x= 0.5（舍去），（舍去）， x=2.5x= 0.5（舍去）（舍去）2(1)2.25yx 水流沿拋物線落下，容易聯(lián)想到水流沿拋物線落下，容易聯(lián)想到二次函數(shù)的圖像，但是轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問二次函數(shù)的圖像，但是轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是坐標(biāo)系的建立。題的關(guān)鍵是坐標(biāo)系的建立。 選擇了恰當(dāng)?shù)奈恢媒⒆鴺?biāo)系，就選擇了恰當(dāng)?shù)奈恢媒⒆鴺?biāo)系，就會給運算帶來方便。會給運算帶來方便。以以O(shè)A所在直線為所在直線為y軸，過軸，過O點垂點垂直于直于OA的直線為的直線為x軸，點軸，點O為原點可為原點可作為最好選擇。作為最好選擇。XY0BCA思考：公園要建造圓形的噴水池，在水池中央思考：公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子垂直于水面處安裝一個柱子OA，O點恰在水面點恰在水面中心，中心，OA=1.25米，由柱子頂端米，由柱子頂端A處的噴頭向處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物