兩個重要極限練習(xí)題

1、1-7兩個重要極限練習(xí)題教學(xué)過程:sinxx(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.弓I入：考察極限x0時(shí)函數(shù)的變化趨勢:問題1:觀察當(dāng)xlimx 0當(dāng)x取正值趨近于0時(shí)，也x 1,即lim 型2=1； xx 0 x當(dāng)x取負(fù)值趨近于 0時(shí)，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于limx 0sinxsin( x) lim - x 0 ( x)綜上所述，得_.sin x.lim 1 -x 0 xlim® 1的特點(diǎn)：x 0 x(1)它是2”型，即若形式地應(yīng)用商求極限的法則，得到

2、的結(jié)果是 0(2)在分式中同時(shí)出現(xiàn)三角函數(shù)和x的哥.推廣如果lim (x)=0,(a可以是有限數(shù)xo,或), x alimx asin xxlimx 0sin xx求limx 0tanx.tanx lim=limx 0 x x 0sin xcosxxsin x lim 一 x 0 xsinx lim 一cosxlimx 0 cosx1 1 1-sintt3-sin3x 小 lim-x 0 xsin3x lim= limx 0 x x 01 cosx手 limx 0 x23sin 3x 人(令 3xt)3x1 cosx呵二呵2 x 2sin2-2, 2 x sin 一 lim 2 x 0 X c

3、吟22limx sin 2x2x sin 一2x2arcsinx小 lim-x 0 x0 時(shí) t 0.令 arcsinx=t,貝U x=sint 且所以arcsinx= lim 1 t 0 sinttanx sin x求lim3x 0 x3tanx sin xsinx .sinx= lim cosx _x 0 x31 cosx sinx limcO2x 0 x3考察極限lim (1x_sinx 1=lim limx 0 x x 0 cosx.1 cosxlim5x 0 x21 x-)e xx1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.718

4、22.71828.當(dāng)x取正值并無限增大時(shí)，(1工)x是逐漸增大的，但是不論x如何大，(11)x的值問題2:觀察當(dāng)x+時(shí)函數(shù)的變化趨勢:總不會超過3.實(shí)際上如果繼續(xù)增大x.即當(dāng)x +時(shí)，可以驗(yàn)證(1)x是趨近于一個確定x的無理數(shù)e=.當(dāng)x -時(shí)，函數(shù)(1 )x有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e.x綜上所述，得lim (1 1)x=e.lim (1xx-)x=e的特點(diǎn): x(1) lim(1+無窮小)無窮大案；(2) “無窮小”與“無窮大”的解析式互為倒數(shù).推廣 (1 )若lim (x)= ,(a可以是有限數(shù)xo,或)，則 x a1(x)1(x)lim(1 )() lim 1 =e;a

5、(x) x(x)(2)若lim (x)=0,(a可以是有限數(shù)xo,或),則x alim 1x a11x F lim 1 x -=e.x 0變形 令1=t,則x時(shí)t 0,代入后得到 x1lim 1 t t et 0如果在形式上分別對底和哥求極限，得到的是不確定的結(jié)果1,因此通常稱之為定型.例6 求 lim(1 2)x. x x解則 x = - 2 . t1t)” 2=e 2.1u) u (1 u)2u)2=e -1.當(dāng)x時(shí)t 0,于是2 x呵(1:=呵(1 t)求 lim(U)x .2 x解令 3_x =1 + u ,則 x =2 1 . 2 xu當(dāng)x時(shí)u 0,13 x v2 -于是 lim (

6、-) = lim(1 u) uljm(11= lim(1 u)u 1 lim (1u 0u 0例8 求網(wǎng)(1 tanx)c0tx.1解 設(shè) t=tanx,則一 =cotx. t當(dāng)x 0時(shí)t 0,1于是 lim(1 tanx)cotx = lim(1 t)t =e. x 0t 0小結(jié)：兩個重要極限在求極限過程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。 作業(yè)：見首頁§2-1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過程：引入：一、兩個實(shí)例實(shí)例1瞬時(shí)速度考察質(zhì)點(diǎn)的自由落體運(yùn)動.真空中，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t=0到時(shí)刻t這一時(shí)間段內(nèi)下落的路程 s由公式s = lgt2來確定.現(xiàn)在來求t = 1秒這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度.2當(dāng)t很小時(shí)，從

7、1秒到1+ t秒這段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度變化不大，可以這段時(shí)間 內(nèi)的平均速度作為質(zhì)點(diǎn)在 t=1時(shí)速度的近似.t (s)s(m)-s (m/s) t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度三隨著t變化而變化，當(dāng) t越小時(shí)，越接近于一個定值一9.8m/s .考察下列各式:s=-g (1+ t)2- 1 g 12= 1 g2 t+( t)2, 2221=-g2_2.t),2 t ( t) =1g(2+t 2思考：當(dāng)t越來

8、越接近于0時(shí)，二越來越接近于1秒時(shí)的 速度”.現(xiàn)在取t 0的極限,t得s 1lim lim -g 2 t g=9.8(m/s).0 t02為質(zhì)點(diǎn)在t =1秒時(shí)速度為瞬時(shí)速度.一般地，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位移規(guī)律是 s=f(t),在時(shí)刻t時(shí)時(shí)間有改變量t, s相應(yīng)的改變量為 s=f(t+ t)-f(t),在時(shí)間段t到t+ t內(nèi)的平均速度為 s f t t f tv = - ，tt對平均速度取t0的極限，得v(t)= lim t 0 tlim flt 0稱v(t)為時(shí)刻t的瞬時(shí)速。研究類似的例子實(shí)例2曲線的切線設(shè)方程為y=f(x)曲線為L.其上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為(X0,f(x0).在曲線上點(diǎn)A附近另取一點(diǎn)B,它的

9、坐標(biāo)是(X0+ x, f(X0+ x),直線 AB是曲線的割線，它的傾斜角記作.由圖中的Rt ACB ,可知割線 AB的斜率tan=CBACy f Xo x f Xo xx在數(shù)量上，它表示當(dāng)自變量從 X變到X+ X時(shí)函數(shù)f (x) 關(guān)于變量X的平均變化率(增長率或減小率).現(xiàn)在讓點(diǎn)B沿著曲線L趨向于點(diǎn)A,此時(shí)x 0, 過點(diǎn)A的割線AB如果也能趨向于一個極限位置一一 直線AT,我們就稱L在點(diǎn)A處存在切線AT.記AT 的傾斜角為，則 為 的極限，若 90 ,得切線AT 的斜率為tan = limx 0tan = lim y x 0 xlim f(X0x) f(Xo)x 0X在數(shù)量上，它表示函數(shù) f

10、(x)在X處的變化率.上述兩個實(shí)例，雖然表達(dá)問題的函數(shù)形式y(tǒng)=f(x)和自變量X具體內(nèi)容不同，但本質(zhì)都是要求函數(shù)y關(guān)于自變量x在某一點(diǎn)x處的變化率.1.自變量X作微小變化X,求出函數(shù)在自變量這個段內(nèi)的平均變化率作為點(diǎn)XX處變化率的近似;2,對y求x 0的極限m _y ,若它存在，這個極限即為點(diǎn)x處變化率的的精確值.X 0 x二、導(dǎo)數(shù)的定義1 .函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在xo的某個鄰域內(nèi)有定義.對應(yīng)于自變量 x在xo處有改變量x, 函數(shù)y =f(x)相應(yīng)的改變量為y=f(xo+ x)-f(xo),若這兩個改變量的比當(dāng)x 0時(shí)存在極限，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，

11、并把這一極限稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)(或變化率),記作y |x x0或f (xo)或 dy-lx x° 或 df (x) |x X。.即dx 0 dx °y |x x。=f (x0)= lim limfx-)-f-0)(2-1)x 0 x x 0x比值表示函數(shù)y=f(x)在xo到xo+ x之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù) y |x xo則表示了函數(shù)x在點(diǎn)xo處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的變化的快慢.如果當(dāng)x0時(shí)的極限不存在，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.在定義中，若設(shè) x=xo+ x ,則(2-1)可寫成f (xo)=Mof x

12、f x0(2-2)x xo根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù) y =f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下:第一步 求函數(shù)的改變量 y=f(xo+ x)-f(xo)；第二步求比值,但一x) f(xo);xx第三步 求極限f (xo)= lim x 0 x例1求y=f(x)=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù).y=f(2+ x)-f(2)=(2+ x)2-22=4 x+( x)2；. y0 -=lxmo(4+ x)=4./2y 4 x x ,- =4+ x;所以yx xx=2=4 .lim 3x叢存在時(shí)，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的左導(dǎo)數(shù)，記作x 0xf (x0)；當(dāng)lim 匚axf x0存在時(shí),稱其極限值為函

13、數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的右導(dǎo)數(shù)，X 0x記作f (x0).據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系f (xo)存在 f (xo) ,f (xo),且 f (xo) = f (xo) = f (xo).2,導(dǎo)函數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)， 就稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可 導(dǎo).這時(shí)，對開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個確定的值 xo都有對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) f (xo),這樣就在 開區(qū)間(a,b)內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作等f (x)或y等.根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就可得出導(dǎo)函數(shù)yf (x)=y = lim -x 0 x導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)

14、.limx 0注意 (1 ) f (x)是x的函數(shù)，而f (Xo)是一個數(shù)值(2) f(x)在點(diǎn)處白導(dǎo)數(shù)f (xo)就是導(dǎo)函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處的函數(shù)值.例2求y=C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).因?yàn)?y=C-C=0, y =0,所以x x(C) =0常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零).3 求 y=xn(n N, x R)的導(dǎo)數(shù).y = lim =0 .x 0 x因?yàn)?y =(x+ x)n-xn=nx n-1 x+Cr2xn-2(x)2+.+( x)n,從而有(2-3)y = nxn-1 +C2xn-2 x+.+( x)n-1, x則0(xn)=nxxn -1=則0-1z-2-2n-1-1nxn + Cn xnx

15、+.+( x) = nx n可以證明，一般的募函數(shù)(x ) = x -1 .一11例如(.x ) =(x 2) =-x 72y=x , ( R, x>0)的導(dǎo)數(shù)為 -4= ； (-) =(x-1) =-x-2=-：2.x xx例 4 y =sinx, (x R» 的導(dǎo)數(shù).解上二則xx) sinx，在§ 1-7中已經(jīng)求得lim - =cosx, x 0 x即 (sinx) =cosx.用類似的方法可以求得y=cosx, (x R»的導(dǎo)數(shù)為(cosx) =-sinx.例 5 求 y=logax 的導(dǎo)數(shù)(a >0, a 1, x>0).解 對a=e、y

16、 =lnx的情況,1(lnx) = x在§ 1-7中已經(jīng)求得為對一般的a,只要先用換底公式得y=logax=-ln-x ,以下與§ 1-7完全相同推導(dǎo)，可得 ln a1(log ax) = x ln a三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義方程為y=f(x)的曲線，在點(diǎn)A(xo,f(xo)處存在非垂直切線AT的充分必要條件是f(x)在x0存在導(dǎo)數(shù)f (x0),且AT的斜率k=f (x0).導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo),是函數(shù)圖象在點(diǎn)(x0,f(x。)處切線的斜率，另一方面也可立即得到切線的方程為y-f (x 0)=f (x 0)(x-x 0)過切點(diǎn)A (x0,f(

17、x0)且垂直于切線的直線，稱為曲線當(dāng)切線非水平(即f (x0) 0)時(shí)的法線方程為y -f (x 0)=- -1 (x -x0)(2-4)y=f(x)在點(diǎn)A (xo,f(xo)處的法線，則f (x。)例6求曲線y=sinx在點(diǎn)()處的切線和法線方程.(2-5)解 (sinx)=cosxx "6所求的切線和法線方程為6 2-<3 =x32y-1 = i3(x-),法線方程(x- -).例7 求曲線y=lnx平行于直線y =2x的切線方程.解 設(shè)切點(diǎn)為A(xo, yo),則曲線在點(diǎn) A處的切線的斜率為 y (xo),y (x0)=(ln x)xx0=J因?yàn)榍芯€平行于直線 y =2x

18、,所以工=2,即xo= 1 ;又切點(diǎn)位于曲線上,1因而 yo=ln =-ln2 .2故所求的切線方程為y+ln2=2(x-),即 y=2x-1-ln2 .2四、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù)y =f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則存在極限y=f (x0),貝U =f (x0)+ ( lim =0),或 y = f (xo) x+ x 0x ( lim =0),x 0所以 lim y= lim f (x°) x+ x=0.x 0 x 0這表明函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).但y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，在x0處不一定是可導(dǎo)的.例如：(1 ) y=|x庇x=0處都連續(xù)但卻不可導(dǎo).只是切線是垂制一2換元

19、積分法教學(xué)過程復(fù)習(xí)引入1 .不定積分的概念；2 .不定積分的基本公式和性質(zhì)。新課：一、第一類換元積分法例如：cos2xdx ,積分基本公式中只有：cosxdx =sinx+C.為了應(yīng)用這個公式，可進(jìn)行如下變換：1 今2x=u1 u=2x回代 . 人cos2xdx cos2x -d (2x) _ cosudU sin u+C2 22lsin2 x+C, 2因?yàn)?lsin2 x+C) =cos2x,所以 cosxdx =lsin2 x+C 是正確的.22定理1 設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),(x)是連續(xù)函數(shù)，那么f (x) (x)dx =F (x)+ C.證明思路因?yàn)镕(u)是f(u)的一個原函數(shù)

20、，所以 F (u)=f(u);由復(fù)合函數(shù)的微分法得：d F (x)= F ( u)(x) dx =f (x)(x) dx ,所以 f (x) (x)dx =F (x)+ C.基本思想：作變量代換 u= (x), (d (x)=(x) dx),變原積分為 f(u)du ,利用已知f(u)的原函數(shù)是F(u)得到積分，稱為 第一類換元積分法例 1 求(ax b)10dx, ( a, b 為常數(shù)).因?yàn)閐x =1d(ax+b),所以 a令 ax+b應(yīng) u10du =au11+C 11a(ax b)10dx 1 (ax b)10d(ax b) au=ax+b 回代 工(ax+b)11+C.11a例 2

21、求 lnxdx . x1 .因?yàn)橐籨x =d (ln x),所以x原式=ln xd (ln x)令 1nx=u udu1 u2+C u=1nx 回代 1 (ln x) 2+C.222例 3 求 xex dx .解因?yàn)閤dx =d (x2),所以2原式=12ex d(x2)令 x2=u 12eudu=eu+C2u=x2 回代 1 x2+c26dx x因?yàn)?xdx =1 d(x2)= - ld( a2-x2),所以 22原式二-11 d(a2 x 2)a2-x =- u 回代.227 ax+C.令 a2-x2=u i2-du =-疝+C u2 a2 x2學(xué)生思考：求 sinx2 dx .1+ cos x第一類換元積分法計(jì)算的關(guān)鍵：把被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分為d (x),另一部分為(x)的函數(shù)f (x),且f(u)的原函數(shù)易于求得.因此，第一類換元積分法又形象化地被稱為湊微分法. 常用微分式：,1 -dx = _d(ax);a1dx =d (ln| x|)；x二dx =-d( 1);x2x1 dx =d (arcsin x) ；e1 x2sin xdx =d (cos x) ；cossec xdx =d (tan x)；cscsec xtan xdx =d (sec x)；11例 6 求cosdx -xx解原式=cosd(1