中線倍長法及截長補短經(jīng)典講義

1、幾何證明中常用輔助線（一）中線倍長法：例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。巳知：如圖， ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD < -（AB+ 匚AC）小結(jié)：涉及三角形中線問題時，常采用延長中線一倍的辦法，即中線倍長法。它 可以將分居中線兩旁的兩條邊AB、.AC和兩個角NBAD和NC.AD集中于同一個三角 形中，以利于問題的獲解。例2、中線一倍輔助線作法ABC 中AD是BC邊中線AO3,求中線AD的取值圍例3、ABC 中，AB=5,方式1：延長AD到E,使 DE=AD,連接BE方式2：間接倍長例4、于F,已知在ABC中，且DF=EF,求證:AB二AC, D在AB上，E

2、在AC的延長線上，DE交BCBD=CE課堂練習：已知CD二AB, NBDA二NBAD, AE是ABD的中線, 求證：ZC=ZBAE作業(yè):1、在四邊形ABCD中，AB/7DC, E為BC邊的中點，NBAE=NEAF, AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖4-12、已知：如圖，ABC中，C=90 , CM AB于比AT平分BAC 交CM于D,交BC于T,過D作DEAB交BC于E,求證：CT=BE.3：已知在AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE二AC,延長BE交AC于F, 求證：AF二EF(-)截長補短法教八年級上冊課本中，在全

3、等三角形部分介紹了角的平分線的 性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補短法” 又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進行直接證明的情形 下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.例L已知，如圖1T,在四邊形月坑中，BOAB, AN DC, BD''平分/力比：求證：NA1必N慶女180° .分析：因為平角等于180。，因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺 少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補 短法”來實現(xiàn).E證明：過點。作DE垂直班的延長線于點發(fā)作為優(yōu)于點尸，如圖1-2)、:BD平分/ABC, ：.D

4、EDF,在 Rt4ADE 與股 CDF 中、/kDE=DF/卜'ADCD8 圖 F c1-9:.Rt4ADERt4CDFHD , A 4DA方4DCF.又N囹樂NONE二 180° , /員1 分N叱 180” ,例2.如圖2T,49a；點£在線段/山上，/ADE-/CDE, ZDCEZECB.求證：CAARBC分析：結(jié)論是必分因 可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在上截取華儆 只要再證佇%即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.證明：在CD上截取C4BC,如圖2-2在旌與腔中，CF = CB< ZFCE = ZBCECE = CE，

5、此匡8" (%S) , A Z2=ZL又*：ADBC, N/14N86ZM80* , ：./DCE+/CDE=9c , N2+N3=90° , N1 + N4=90° , AZ3=Z4.在叢FDE與A ADE中,ZFDE=ZADEDE = DEZ3 = Z4：.FDEADE (ASA) , J.DFDA.*：CFD>Ca :.C2ANBC例3.已知，如圖3T, Z1=Z2> P為BN上一盜,且PDLBC于點氏®BO2BD.求證：/物aNa片1800.分析：與例1相類似，證兩個角的和是180。，可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證睨/BCP二

6、/EAP,因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造. 證明：過點尸作PE垂直BA的延長線于點發(fā) 如圖3-2VZ1=Z2,且 PD工BJ ：.PPD.在 RtABPE與 RtBPD中,PE=PDBP=BP:Rt4BPERtABPDHD，:.BE;BD.:A阱盼2BD, :BaDOBABE, ：/濟叱BE即 DOBE-AB-AE.在 RtdAPE與 RtXCPDPE=PD< /PEA=NPDCAE=DC，放/仍感應(yīng)9(SAS)，二/PA臣乙PCD又TN物4N處后 180°，:./BAR/BC六 1800圖3-1E例4.已知：如圖4-1,在/仍。中，4c=24B, Z1 = Z2.求

7、證：止AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長至？使毋, 或在月8上截取證明：方法一（補短法）延長力。到£,使叱能於4CDE=4CED,如圖4-2八：.4ACB=2 4 E、/尸、,:乙ACB=24B、：.4B=4E,/在 AABD 與 4AED 中,/Z1 = Z2/B = /ED 圖4-2AD=AD:4B厘AAED (AAS) , ：.AB-AE.又 AACaAC+DC, ：. AB-AO DC.方法二（截長法）在/仍上截取力/MC,如圖4一3/ 在力短?與水刀中，AF = AC/< Zl = Z2-1BDAD=AD圖 4-3，XAFI省X

8、ACM SAS）, ：. D后DC, AFD= ZACD.大,： /ACB=2/B,:/FDB=/B,:F加FB.: AFARFaAC/FD, ：.AB-A&CD.上述兩種方法在實際應(yīng)用中，時常是互為補充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當選擇合適思路進 行分析。讓掌握學生掌握好“截長補短法”對于更好的理解數(shù)學中的化歸思想有較大的幫助。AA |F-1 .作業(yè)：1、已知：如圖，月809是正方形，/FAA/FAE.求證：BaD氏AE.2、五邊形川波中，AB-AE. BC+DaCD, /ABO/A吩 180° ,求證：AD平分4CDE（三）其它幾種常見的形式：1、有角平分線時，通常在角的兩邊截取

9、相等的線段，構(gòu)造全等三角形。 例1、如圖1：已知AD為ABC的中線，且N1 = N2,N3=N4,求證：BE+CFAEF.DI冬112、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖 2： AD 為aABC 的中線，且N1 = N2, Z3=Z4,求證：BE+CF>EF.練習：已知AABa AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形 外作等腰直角三角形，如圖4,求證EF=2AD。匚、3、延長已知邊構(gòu)造三角形：|例如：如圖 6：已知 AC=BD, AD_LAC 于 A , BC_LBD 于 B, j 求證：AD=BC4、連接四邊形的對角線,把四邊形的問

10、題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 7： ABCD, ADBC 求證：AB=CD。6、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。5、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。 例如：如圖 8：在 RtZXABC 中，AB=AC, ZBAC = 90° , 長于E o求證：BD = 2CE.圖IO例如：已知：如圖9； AC、BD相交于0點，且AB=DC, AC=BD,求證NA=ND.8、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 10： AB=DC, ZA=ZD 求證：ZABC=ZDCB.截長補短專題訓練作業(yè)：1、如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC, AB=DC, E為AD中點，連接BE, CE(1)

11、求證：BE=CE；(2)若NBEC=90。，過點B作BF_LCD,垂足為點F,交CE于點G,連接DG,求證：BG=DG+CD.2.如圖，UABCD中,£是外邊的中點，連接力區(qū)F為CD邊上一點、,且滿足N用二2N歷 (1)若NZM05。，N%佇35。.求NQL?的度數(shù)； (2)求證：A用CACF.3、如圖，直角梯形 ABCD 中，ADBC, NB=90° , ND=45° .(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面積;(2)若 E、F、G、H 分別是梯形 ABCD 的邊 AB、BC、CD、DA 上一點，且滿足 EF=GH, ZEFH二ZFHG, 求證：HD=BE+B

12、F.4、如圖，梯形 ABCD 中，ADBC,點 E 在 BC 上，AE=BE,且 AF_LAB,連接 EF.(1)若 EFJ_AF, AF=4, AB=6,求 AE 的長.(2)若點F是CD的中點，求證：CE=BE-AD.5 .在0 A88 中，對角線BDLBC, G為8。延長線上一點且AA8G為等邊三角形,/BAD、NC83的平分線相交于點E,連接A£交8。于尸，連接GE.g(1)若口A8C3的面積為9/,求AG的長；/“(2)求證：AE = BE + GE./ 6 .已知：如圖，在矩形A8C。中，AC是對角線.點P為矩形外一點且滿足萬丑=尸號也APLPC. PC交AD于點、N ,連接。尸，過點P作。尸。交AO于 A(1)：若AP =求矩形A8CQ的面積；31/(2)：若 CD = PM ,求證：AC = AP + PN.B9題圖7、如圖，在正方形ABC。中，點P是A3的中點，