圓心角、弧、弦、弦心距(輔助線方法小結(jié))

1、1初三數(shù)學(xué)初三數(shù)學(xué)圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)歸納知識(shí)要點(diǎn)歸納 1. 圓不但是軸對(duì)稱圖形，而且也是中心對(duì)稱圖形，實(shí)際上圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來的圖形重合。 2. 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。從圓心到弦的距離叫做弦心距。 3. 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。 4. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 注意：要正確理

2、解和使用圓心角定理及推論。 （1）不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，若沒有這一條件雖然圓心角相等，但所對(duì)的弧、弦、弦心距不一定相等。 如圖，同心圓，雖然，但，而且，弦心 AOBCODABCDABCD距也不相切。OCABD （2）要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、弧、弦、弦心距這四個(gè)概念與“所對(duì)”一詞的含義，從而正確運(yùn)用上述關(guān)系。 下面舉四個(gè)錯(cuò)例： 若 中，則，OACDBCEFDCEADFB 這兩個(gè)結(jié)論都是錯(cuò)誤，首先 CE、FD 不是弦，CEA、BFD 不是圓心角，就不可以用圓心角定理推論證明。2OBDACEF （3）同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，同時(shí)在本定理和推論中的“弧”是指

3、同為劣弧或優(yōu)弧，一般選擇劣弧。 （4）在具體運(yùn)用定理或推論解決問題時(shí)可根據(jù)需要，選擇有關(guān)部分，比如“等弧所對(duì)的圓心角相等”，在“同圓中，相等的弦所對(duì)的劣弧相等”等。 5. 1的弧：因?yàn)橥瑘A中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所以整個(gè)圓也被等分成 360 份，我們把每一份這樣的弧叫做 1的弧。 一般地，n的圓心角對(duì)著 n的弧，n的弧對(duì)著 n的圓心角，也就是說，圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。 注意：這里說的相等是指角的度數(shù)與弧的度數(shù)相等。而不是角與弧相等，在書寫時(shí)要防止出現(xiàn)“”之類的錯(cuò)誤。因?yàn)榻桥c弧是兩個(gè)不能比較變量的概念。相等的AOBAB弧一定是相同度數(shù)的弧，但相同度數(shù)的弧卻不一定是相等的弧。 6

4、. 圓中弧、圓心角、弦、弦心距的不等關(guān)系 （1）在同圓或等圓中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距較小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距較小時(shí)，則弦較大。 當(dāng)弦為圓中的最大弦（直徑）時(shí)，弦心距縮小為零；當(dāng)弦逐步縮小時(shí)，趨近于零時(shí)，弦心距逐步增大，趨近于半徑。 （2）在同圓或等圓中，如果弧不等，那么弧所對(duì)的弦、圓心角也不等，且大弧所對(duì)的圓心角較大，反之也成立。 注意：不能認(rèn)為大弧所對(duì)的弦也較大，只有當(dāng)弧是劣弧時(shí)，這一命題才能成立，半圓對(duì)的弦最大，當(dāng)弧為優(yōu)弧時(shí)，弧越大，對(duì)的弦越短。 7. 輔助線方法小結(jié)： （1）有弦的中點(diǎn)時(shí)，常連弦心距，進(jìn)而可利用垂徑定理或圓心角、弦、弧、弦心距關(guān)系定理；

5、另外，證明兩弦相等也常作弦心距。 （2）在計(jì)算弧的度數(shù)時(shí)，或有等弧的條件時(shí)，或證等弧時(shí)，常作弧所對(duì)的圓心角。 （3）有弧的中點(diǎn)或證弧的中點(diǎn)時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法： （I）連過弧中點(diǎn)的半徑；（II）連等弧對(duì)的弦；（III）作等弧所對(duì)的圓心角。3【典型例題典型例題】 例例 1. 已知：如圖，在O 中，弦 AB、CD 的延長(zhǎng)線交于 P 點(diǎn)，PO 平分APC。 求證：（1）ABCD；（2）PAPCOAPCMNDB12 例例 2. 如圖，在O 中，AB2CD，那么（ ）OBADC A ABCDB ABCDC ABCDD ABCD.2222與的大小關(guān)系不可能確定 4 例例 3. 如圖，為 的弦，、

6、交于 、 。CDOACBDOAOBCDFE 求證：OEOFOCDABFE 例例 4. 如圖，O 中 AB 是直徑，COAB，D 是 CD 的中點(diǎn)，DEAB。 求證： ECEA2OABCDE 5 例例 5. 如圖，是等邊三角形，是 直徑，、ABCABOAEEFFBCECF交 AB 于 M、N。 求證：AMMNNBOCABEFMN 【模擬試題模擬試題】一. 選擇題。 1. 在O 與O中，若中，則有（ ） AOBA O B A. B. ABA BABA B C. D. 的大小無法比較ABA BABA B與 2. 半徑為 4cm，120的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為（ ） A. B. C. D. 5cm4 3c

7、m6cm3 3cm 3. 在同圓或等圓中，如果圓心角BOA 等于另一個(gè)圓心角COD 的 2 倍，則下列式子中能成立的是（ ） A. B. ABCD 2ABCD2 C. D. ABCD2ABCD2 4. 在O 中，圓心角AOB90，點(diǎn) O 到弦 AB 的距離為 4，則O 的直徑的長(zhǎng)為（ ） A. B. C. 24D. 164 28 2 5. 在O 中，兩弦 ABCD，OM、ON 分別為這兩條弦的弦心距，則 OM、ON 的關(guān)系6是（ ） A. B. OMONOMON C. D. 無法確定OMON 6. 如圖，AB 為O 的直徑，C、D 是O 上的兩點(diǎn)，則BAC20ADCDDAC 的度數(shù)是（ ）DA

8、OBC A. 70B. 45C. 35D. 30二. 填空題。 1. 一條弦把圓分成 1：3 兩部分，則劣弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為_。 2. 一條弦等于其圓的半徑，則弦所對(duì)的優(yōu)弧的度數(shù)為_。 3. 在半徑為 R 的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)等于_。 4. 在O 中，弦 CD 與直徑 AB 相交于 E，且AEC30，AE1cm，BE5cm，那么弦 CD 的弦心距 OF_cm，弦 CD 的長(zhǎng)為_cm。 5. 已知O 的半徑為 5cm，過O 內(nèi)一已知點(diǎn) P 的最短的弦長(zhǎng)為 8cm，則OP_。 6. 已知 A、B、C 為O 上三點(diǎn)，若度數(shù)之比為 1：2：3，則ABBCCA、AOB_，BOC_，COA_。

9、7. 已知O 中，直徑為 10cm，是O 的，則弦 AB_，AB 的弦心距AB14_。三. 解答題。 1. 如圖：已知，OA 為O 的半徑，AC 是弦，OBOA 并交 AC 延長(zhǎng)線于 B 點(diǎn)，OA6，OB8，求 AC 的長(zhǎng)。7OACB 2. 如圖，中，O 在的三邊上所截得的弦長(zhǎng)都相等，求BOCABCA70ABC的度數(shù)。OABC 3. 已知：如圖，在O 中，弦 ABCD，且 ABCD 于 E，BE7，AE3，OGAB 于G，求：OG 的長(zhǎng)？8OABCDGE 4. 已知：如圖，求OFE 的度數(shù)。ABCDOE ABOF CDOEF，25OFEBDCA 5. 如圖，C 是O 的直徑 AB 上一點(diǎn)，過點(diǎn)

10、 C 作弦 DE，使 CDCO，使的度數(shù)為AD40，求的度數(shù)。BE9OCABDE 6. 如圖：已知，O 中，OB、OC 分別交 AC、DB 于 M、N。ABBCCD 求證：是等腰三角形。OMNOCBADNM 107. 如圖，O 中弦 ABCD，且 AB 與 CD 交于 E。求證：DEAE。OACEBD例例 1 分析：分析：要證明兩弦相等，可利用弧、圓心角、弦心距之中的一種相等來證，由于已知角平分線 PO 過圓心，利用弦心距相等可以解決。 證明：證明：（1）過 O 點(diǎn)作 OMAB 于 M，ONCD 于 N PO 平分APC OMON ABCD（在同圓中，相等的弦心距所對(duì)的弦相等） 此題還有幾種變

11、式圖形，道理是一樣的。 弦 AB、DC 的交點(diǎn)在圓上，即 B、P、D 三點(diǎn)重合。 若 PO 平分APC，求證：PAPC。11OAPC 弦 AB、CD 交于 P 點(diǎn)（P 點(diǎn)在圓內(nèi)） PO 平分APC，求證：ABCD。OBADCP 此題還可將題設(shè)與結(jié)論交換一下，即已知 ABCD，求證：PO 平分APC，證法與上面一樣，利用弦心距等。 （2）在 RtPOM 和 RtPON 中， 12OMPONPOPOP POMPONAAS() PMPN12 AMABCNCDABCD1212， AMCN PMAMPNCN 即 PAPC例例 2 分析：分析：要比較與的大小，可以用下面兩種思路進(jìn)行：ABCD2 （ ）把的

12、一半作出來，然后比較與的大??；112ABABCD （ ）把作出來，變成一段弧，然后比較與的大小。222CDCDAB 解法一：解法一： 過 點(diǎn)作于 ，則，OOF ABEAFFBABAEEBAB1212 ABCDAECDAB212， AFFBAFFB，（等弧對(duì)等弦） 在中，AFBAFFBABAFAB2 AFCD 222AFCDABCD，即 故選 A。OBAFEDC 解法二：解法二： 如圖，作弦，連結(jié)，則DECDCEDECDCE12 在中，有CDECDDECE 2CDCE13 ABCDABCE2， ABCEABCD，2OBADEC例例 3. 證法一：證法一：連結(jié) OC、OD OCODCD ， ACB

13、DCOABOD ，（等弧所對(duì)的圓心角相等） COFDOE OEOFOCDABFE 證法二：證法二：過 O 點(diǎn)作 OMCD 于 N 交O 于 M14 CMMD 又，CABDAMMB AOMBOM 又， FNOENOONON90 OFNOEN OFOEOCDABFEMN 例例 4. 分分在同圓中，要證，考慮分別求出和的度數(shù)，而弧的ECEAECEA2度數(shù)又等于它們所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則關(guān)鍵是求出COE、AOE 的度數(shù)。 證明：證明：連結(jié) OE EDABCO AB/ /， ED CO DCO是中點(diǎn) OEOCODOEDEO，1230 EOD903060 EC的度數(shù)是60 EOADEO30 AE 的度數(shù)是

14、30 ECEA215OABCDE例例 5. 解析一：解析一：由于 、 是半圓的三等分點(diǎn)，故連結(jié)，知，因而也為等邊三角形。所以，即，則，可求得，知是直徑的三等分之一，同理，也是的三分之一，故問題得證。EFAEBOEAOEAOEEABCBAAEBCAMEBMCAMBMAMABBNAB 6012/OCABEFMN 證法一：證法一：連結(jié) OE、AE，設(shè)等邊ABC 的邊長(zhǎng)為 2a ABOAEEFFB為 直徑，16 EOAAEB等于的度數(shù)13 EOAAOEOa1318060 ， AOE為等邊三角形 AEAOa 又， EAOCBAAEBC60/ AMEBMC AMBMAEBCaa212 AMAB13 同理，

15、BNAB13 MNABABAB2313 AMMNNB 解析二：解析二： 連結(jié)，易知，也可求得，進(jìn)而可求得與半徑的比。OEOEACAMMOAM/ 證法二：證法二： 如圖，連結(jié) OE，設(shè) AC2a，則 ACAB2OE2a CAMAOEACOE60 ，/ OMAMOEACaa212 OMAMAMAMOA3223，即 故AMAB13 31ABBN同理， AMMNNB 解析三：解析三： 要證 AMMNNB，即證 AM：MO2：1，故聯(lián)想到三角形的重心性質(zhì)，若能證明M 是ACG 的重心，問題得證。（三角形的重心即為三角形三條中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于交點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離的 2 倍）17OCABEFMNG 證

16、明三：證明三： 連結(jié) AE，并延長(zhǎng)交 CO 的延長(zhǎng)線于 G 設(shè) AC2a，則有 AEOAa（證法一中已證明AOE 為等邊三角形） ACBC，AOOB AOCG，CABGAO60，AOAO AOCAOG OCOG，且 AGAC2a AEa，AEEGa 即 E 為 AG 中點(diǎn)，O 為 CG 中點(diǎn) M 為ACG 的重心 AMAOaAB232313 同理，NBAB13 AMMNNB18試題答案試題答案一. 選擇題。 1. D2. B3. D4. B5. A6. C二. 填空題。 1. 902. 3003. 4. 3R14 2， 5. 3cm6. 60，120，1807. 5 2522，三. 解答題。 1. 過 O 點(diǎn)作 ODAB 于 D ADACAB1210， 根據(jù)射影定理：OAAD AB2 ADAC3672.，ACOBD 2. BOC125 提示：提示：O 是中B、C 的角平分線交點(diǎn)。ABC 3. OG2 過