(完整版)廣東工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)試卷A卷1(含答案)

1、 ( )廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 100 分 試卷滿分線 性 代 數(shù)課程名稱: ：名 ) 一周 星期月 15 日 (第 18 : 2009考試時(shí)間年 6 姓 總分 十 六 七八 九號(hào) 一 二 三 四 五 題 評(píng)卷得分 線 評(píng)卷簽名 復(fù)核得分 復(fù)核簽名 ： 號(hào) 分）分，共20填空題（每小題一、 4學(xué) 1?11? ?111? ?,?22X0 。 則X = 、若1? ? 011 ? 011? ?訂 001? ? *1?* A為A?A)(0A?22 。，其中 的伴隨矩陣，則2、設(shè) ? ? 534 ? 、設(shè)向量組3 ： ?TTT業(yè) 1,?2?,?3?1,k4?,?1,4,3, 312 專(zhuān) ? )(,k 秩=

2、_=2，則。 裝312 ?A 。 1A 4、設(shè)4階方陣的4個(gè)特征值為3，1，2，則 ?0?x?x?x? 312 ? ?0x?x?x? 5、已知齊次線性方程組滿足_ 有非零解，則。 ? 321 ? 0x?x?x? 321 ：院 15分）二、選擇題（每小題3分，共 學(xué). 、排列671298435的逆序數(shù)為 119 （D） 18 C ）（ ）（A16 B17 （） 頁(yè)，第廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共101頁(yè) 2、設(shè)行列式 315?21111?AD?A?35A?AA?. ，則2 4442414370?831?35416 D） （） 1 （B） 1 （CA（）0 n. 階方陣，下列等式正確的是 3、設(shè)A、B

3、是 22)A?B?(A?B)(?AB ） （B （A）AB=BA 21?112B(A?B)?A?A?A （ （C）D） ?,?,0?AXbAX? 的一個(gè)解， 的基礎(chǔ)解系，則4、設(shè) 是非齊次方程組是0r12. ?,L 線性相關(guān)。(A) r01?,L 線性無(wú)關(guān)。 （B）r01?,Lb?AX 的線性組合是 （C）的解。 r10?,L,0AX? 的解。（D）的線性組合是 r01 . 階方陣與對(duì)角陣相似的充要條件是nA、5; 有個(gè)互異特征值(A) 是實(shí)對(duì)稱陣; (B) nAA; 有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(C)的特征向量?jī)蓛烧? (D) nAA 11?1?a1?a111?.,2A0a?其中aa?|A. 求

4、（三、10分）設(shè)n12?11a1nA1T?1?CA?E?CB)(2C，BA， ，試求矩陣滿足方程四、（10分）設(shè)4階方陣 ，其中12?31?2120?121200?30?C,B?20210001?10010000? ?0?x?(1)xx?312?31?(x?)xx? 10（五、分）討論為何值時(shí)，方程組?312?x1(?x?x)?132 頁(yè)2頁(yè)，第10廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 有無(wú)窮多解？并在此時(shí)求出其通解。無(wú)解？ (3) (1) 有唯一解？ (2) ?k?,bb?3? 線性無(wú)關(guān)，向量組，中的向量組 R六、（10分）已知,312321212?k?b? 值。線性相關(guān)，求k1330?22?T?11?

5、22A?APPAP?PP 分）設(shè)七、（，求一個(gè)正交矩陣使為一個(gè)對(duì)角矩陣。11?00?2?) 分7分，共14八、證明題(每小題?nA? ，3是個(gè)特征向量，它們的特征值不相等，記階方陣、設(shè)1的,321312?A 不是的特征向量。證明nn?(?B)A(A,B)0AB? r，則r2、設(shè)。為階方陣，若 頁(yè)3頁(yè)，第10廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共 廣東工業(yè)大學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) ( ) 課程名稱: 線性代數(shù) 。 考試時(shí)間: 2009年 6 月 15 日 (第 18 周 星期 一 ) 二、 填空題（每小題4分，共20分） 141?411?1333?或者 、1?1211321?333?1?00?10001?1

6、11?或者2002、2 ?5510?543?132?2510?3 3、6 4、?1 5、 二、選擇題（每小題3分，共15分） 1 2 3 4 5 D C C A B 三、（10分）計(jì)算行列式： a1?1?11c?c,c?c?11?a1 31222?D解：n?c,c?43?111?an0?0a00110?0a10a?22010a?a?033按最后一列01?00a0? 分54展開(kāi)（由下往上）?aa?0100?n?1n?10?00a0a?1nn 頁(yè)4頁(yè)，第10廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共0000a0?100?aa?00220?00a0?a33 ?0?a0000)aa?a)(a(141n?21n?0000

7、?aa?2n?2n?a00?00?0n000aa?a00?00?21200?a0a0a?a00?3223?aa0a000?0?00433 ?a?a00a00?00?a1?nnn?n?11?1a0000?0a0?0?0nn aa?a?a?aa?a)aa?aa(?1?a)(n1n223n?1n?3122n?nn1?)a)(1?(aa 分10n12a1?ii 注：本題方法不唯一，根據(jù)學(xué)生的做題步驟酌情給分。1T?1C?B(2E?C)A 四、（10分）解：由，T，?E?B)A(2C ，得2分兩邊同時(shí)左乘C4231?3012?)?B(2C 3分而?2100?1000?1?1T)B2C?B)A?(?(2C

8、 ，得到 兩邊再同時(shí)左乘?作行的初等變換T1?AE,E,(2C?B)?B2C?,E? 或者對(duì)4?100210001303214?r?r243?r?3r30?0100201000123142?r4r? 41?2?001001001010200?1010000000011000? 頁(yè)5頁(yè)，第10廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共220001?01?3?0201012?12?100001rr?2?10001?21032?rr?2 ?r?r321?31?20?100100210?00100?1010000010000100? 7分1?201?1?201?T?A? 8分 ?2?001?1000? 0100?010

9、?2?A 分10即?01?21?1?201? 五、（10分）解：?11?12?)(1?A?131? 分3?111?0且?3 當(dāng)分時(shí)，方程組有唯一解501111110?r?311B?1?00010?時(shí)，增廣矩陣為當(dāng) ?00001110?)(BA)?RR( 7分 , 方程組無(wú)解?3? 當(dāng)時(shí)，增廣矩陣為32?11?10?21?2?1?1321 r 0B?1?2?(B)(A)?RR ， ?0301?21?00? ，方程組有無(wú)窮多解TT)0,?2,1,1)?(?1(x?c1, 10分解為，（c為任意常數(shù)）?， 分）解： 設(shè)存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使六、（10312?k?bb?b?k132132223331211

10、分，3?0?k?k?323131122 頁(yè)6頁(yè)，第10廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共? 由線性無(wú)關(guān)，,312?k0?01?k?131?0?1?k?0?0?k 得，?212?1001?332?,b,b,b, 相關(guān)，所以因?yàn)榉钟蟹橇憬猓?313212 分，得。10故系數(shù)行列式=01k?022?12A?2分）解：（11七、 ?00?2? 的特征值 求A 第一步 ?0?2?2?2?1E?2A?2?14?=0 ?00?2?.2?1得,?4,? 分3312?的特征向量求出Ax?第二步由A?0E, i?得0E,x4,由?A?4對(duì)? 120?2x?2x?21?.?02?3x?2x2x 分4解之得基礎(chǔ)解系?1321?

11、10?2x?4x?32?得,?A?E0對(duì)?1,由x 220x?x?2?21?.?x?01x2?2 解之得基礎(chǔ)解系5分?231?2?0?2x?x?23?得,?2A?E0對(duì)?2,由x 31?0x4x?2?21?.02?2x?3x?x?2 分解之得基礎(chǔ)解系6?3123?2?022x?x?32 將特征向量正交化 第三步 頁(yè)7頁(yè)，第10廣東工業(yè)大學(xué)試卷用紙，共?,的3,個(gè)不同特征值,是屬于A由于21312 ?.故它們必兩兩正交的特征向量,3 將特征向量單位化第四步 ?i.,31?,2,i?令 i?i331232?.2,33,?1得3?2 分9?312?32?323?1?12?2?1?,2,?,作P?21 ?3123?22?1?004?1?.001則 PAP? 分11?20?0?) 分分，共14八、證明題(每小題7 、證明：反證法1?AA?AA?A?A 假設(shè)，322311331122?A 又： 321132213?0? 從而：分，4331221 由于特征值各不相等，所以? 線性無(wú)關(guān)，,312?0? 7所以的分，矛盾。312132 時(shí)，基礎(chǔ)解系為個(gè)，由2、證明：因?yàn)榫€性方程組，當(dāng)秩0?AxrA?rn? 0)?Ab,?,Ab(