高中必修5：基本不等式綜合課件

1、2021/8/613.4 基本不等式基本不等式2baab2021/8/62思考：這會標中含有怎思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系案中找出一些相等關系或不等關系？或不等關系？探究探究1 12021/8/63abab22+ +問問2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三是全等三角形，它們的面積和是角形，它們的面積和是S S= =問問1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,設設AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,則正方形的面積則正方形的面積為為S

2、=S=，問問3 3：S S與與S S有什么樣的關系？有什么樣的關系？ 22ab2ab2 22 2a a + +b b 2 2a ab b從圖形中易得，從圖形中易得，s ss s, ,即即探究探究1 12021/8/64探究探究2 2問題問題1 1：s,s, S有相等的情況嗎？有相等的情況嗎？何時相等？何時相等？ 圖片說明：當直角三角形圖片說明：當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=ba=b時，正方形時，正方形EFGHEFGH縮為一縮為一個點，這時有個點，這時有 22=2ababu形的角度形的角度u數(shù)的角度數(shù)的角度 當當a=b時時a2+b22ab=(ab)2=02021/8

3、/65結論：結論：一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a a、b b，我們有，我們有 當且僅當當且僅當a=ba=b時，等號成立時，等號成立222aba b此不等式稱為此不等式稱為重要不等式重要不等式探究探究2 2問題問題2 2：當當 a,ba,b為任意實數(shù)時，為任意實數(shù)時， 成成 立嗎？立嗎？2 22 2a a + +b b2 2a ab b2021/8/66 類類 比比 聯(lián)聯(lián) 想想 推推 理理 論論 證證 （特別的）如果（特別的）如果 也可寫成也可寫成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 當且僅當當且僅當 a=b a=b 時時“

4、”號成號成立立 此不等式稱為此不等式稱為基本不等式基本不等式探究探究3 32021/8/67算術平均數(shù)算術平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)2baaba0 ,b0 ,(,)002ababab當且僅當當且僅當 a=b a=b 時時“”號成立號成立 此不等式稱為此不等式稱為基本不等式基本不等式概念：概念： 2021/8/68一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a，b，我們有，我們有abba222當且僅當a=b時等號成立證明：證明：abba2222)(ba0abba222特別的，如果a0，b0，我們用ab,分別代替a，b，可得abba22baab（ a0，b0）基本不等式基本不等式分析法證明基本不等式分

5、析法證明基本不等式要證2abab只要證2abab要證，只要證要證 ，只要證20abab2()0ab顯然， 是成立的，當且僅當a=b時， 中的等號成立運用基本不等式證明：2021/8/691. 基本不等式：基本不等式：.2abba a=b基本不等式的變形：基本不等式的變形：知識要點：知識要點：（當且僅當（當且僅當_時取時取“”號）號）.2, 0, 0abbaba 則則如果如果（當且僅當（當且僅當a=b時取時取“”號）號）.2baab 或或.)2(2baab 或或如果如果a0，b0，那么，那么 2021/8/610 重要變形重要變形22220,0,22ababababababab若則，當且僅當時取

6、等號?；A知識基礎知識（由小到大）（由小到大）2021/8/611應用基本不等式求最值的條件：應用基本不等式求最值的條件： a a與與b b為正實數(shù)為正實數(shù)若等號成立，若等號成立，a a與與b b必須能必須能夠相等夠相等一正一正二定二定三相等三相等積定和最小積定和最小和定積最大和定積最大2baab（ a0，b0）2021/8/612注意注意1、兩個不等式的、兩個不等式的適用范圍適用范圍不同不同;2、一般情況下若、一般情況下若“=”存在時，要存在時，要注明等注明等號成立的條件；號成立的條件；3、運用重要不等式時，要把一端化為、運用重要不等式時，要把一端化為常數(shù)常數(shù)（定值）。（定值）。一一正正 、

7、二二定定 、三三相等相等2021/8/613（1）如果）如果a，b0，且，且abP（定值定值），那么），那么a+b有最有最_值值_(當且僅當當且僅當_時取時取“=”）.（2）如果）如果a，b0，且，且abS （定值定值），那么），那么ab有最有最_值值_(當且僅當當且僅當_時取時取“=”）.2. 利用基本不等式求最值問題：利用基本不等式求最值問題：.)2(2, 0, 02baababbaba 或或那那么么如如果果p2241s小小大大利用基本不等式求最值的條件：利用基本不等式求最值的條件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。一知識要點一知識要點a=ba=b2021/8/614（1）把）把36

8、寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最?。浚?）把）把18寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？ab=36當a=b=6時，和a+b最小為122abab2()2ababa+b=18當a=b=9時，積ab最大為81不等式不等式2abab是一個基本不等式，它在解決實際問題中由廣泛的應用，是一個基本不等式，它在解決實際問題中由廣泛的應用，是解決是解決最大（?。┲底畲螅ㄐ。┲祮栴}的有力工具。問題的有力工具?！緫镁毩暋?021/8/615;1, 0)1(1的的最

9、最值值求求已已知知：例例xxx . 21xx1x2121:時時原原式式有有最最小小值值即即當當且且僅僅當當解解 xxxx;1, 0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。為為何何值值時時，函函數(shù)數(shù)當當函函數(shù)數(shù)若若xxxyx,31, 3)3( 結論結論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值2021/8/6165331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值為為時時，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值，即即當當且且僅僅當當54,313 xxx. 21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 時時有有最最大大值值

10、即即當當且且僅僅當當、解解xxxx2021/8/617一利用基本不等式證明不等式一利用基本不等式證明不等式44441. 14;114.0,0,1abcdabcdababab 例 （ ）證明不等式： （2）已知：且， 求證：2021/8/6182021/8/619444222222442244224422444222222444222222222222()2222)2()(), ,abca bb cc aabc abcaba bbcb ccaa cabca bb cc aabca bb cc aa bb cc aabc abca b c成立證明：三式相加得（即同理可證：又互不相等，所以等號不成立

11、所以444222222, ,()a b cabca bb cc aabc abc舉一反三：若是互不相等的正數(shù)，求證:2021/8/620122. 10( )3120( )30,0,41,42,2490,0,1,xf xxxxf xxxaba babxxxxyxyxy 例 （）若，求的最小值。 (2)若，求的最大值。 （3）已知且求 的最大值。 （4）已知求的最小值。 （5）已知且求的最小值。二、利用基本不等式求函數(shù)的最值二、利用基本不等式求函數(shù)的最值2021/8/6212021/8/6222021/8/6232021/8/6242021/8/6252021/8/626例例: :某工廠要建造一個

12、長方體形無蓋貯水池某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池, ,其容積為其容積為4800m4800m3 3, ,深為深為3m.3m.如果池底每平方米如果池底每平方米的造價為的造價為150150元元, ,池壁每平方米的造價為池壁每平方米的造價為120120元元, ,怎樣設計水池能使總造價最低怎樣設計水池能使總造價最低? ?最低總最低總造價是多少造價是多少? ?分析分析: :水池呈長方體形水池呈長方體形, ,它的高是它的高是3m,3m,底面的長底面的長與寬沒有確定與寬沒有確定. .如果底面的長與寬確定了如果底面的長與寬確定了, ,水池的總造價也就確定了水池的總造價也就確定了. .因此應當考察底因此應當考

13、察底面的長與寬取什么值時水池總造價最低。面的長與寬取什么值時水池總造價最低。2021/8/627解解: :設底面的長為設底面的長為xm,xm,寬為寬為ym,ym,水池總造價為水池總造價為z z元元. .根據(jù)題意根據(jù)題意, ,有有: :由容積為由容積為4800m4800m3 3, ,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式與不等式的性質由基本不等式與不等式的性質, ,可得可得即即 當當x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40時時, ,等號成立等號成立 所以所以, ,將水池的地面設計成邊長為將水池的地面設計成邊長為40m40m的正方的正

14、方形時總造價最低形時總造價最低, ,最低總造價為最低總造價為297600297600元元. .4800z150120(2 3x2 3y)3240000720(xy) 240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z2976002021/8/628 設計一副宣傳畫，要求畫面面積為設計一副宣傳畫，要求畫面面積為4840cm4840cm2 2，畫面，畫面的寬與高的比為的寬與高的比為a(a1)a(a1)，畫面的上下各留出，畫面的上下各留出8cm8cm的的空白，左右各留空白，左右各留5cm5cm的空白，怎樣確定畫面的高與的空白，怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣

15、傳畫所用紙張面積最??？寬的尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小？4 48 84 40 03 30 02 25 5S S = =( (x x + + 1 10 0) )( (+ + 1 16 6) )= = 5 50 00 00 0 + + 1 16 6( (x x + +) )x xx x3 30 02 25 55 50 00 00 0 + + 1 16 62 2x x= = 6 67 76 60 0 x x3 30 02 25 5只只有有x x = =即即x x = = 5 55 5取取 = = x x4 48 84 40 05 55 5= = 8 88 8, ,a a = = 0， 0，若，若

16、 是是 與與 的等比中項，則的等比中項，則ab3a3b3ba11得最小值為（得最小值為（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理年天津理6）B2021/8/637a2.（2009山東理山東理12T)設設 滿足約束條件滿足約束條件 若目標函數(shù)若目標函數(shù)yx, , 0y, 0 x, 02yx, 06yx3byaxz （ 0， 0）的最大值為的最大值為12，則，則 的最小值為（的最小值為（ ）bb3a2 A. B. C. D. 4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)點選把把（4 4，6 6）代代入入z z= = a ax x+ +b

17、 by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A2021/8/6381. 1. 兩個不等式兩個不等式（1 1）（2 2） 當且僅當當且僅當a=ba=b時，等號成立時，等號成立注意：注意：1.1.兩公式條件，前者要求兩公式條件，前者要求a,ba,b為實數(shù)；后者要求為實數(shù)；后者要求a,ba,b為正數(shù)。為正數(shù)。 2.2.公式的正向、逆向使用的條件以及公式的正向、逆向使用的條件以及“= =”的成立條件。的成立條件。2.2.不等式的簡單應用：主要在于不等式的簡單應用：主要在于求最值求最