D75b常系數非齊次ppt課件

1、常系數非齊次線性微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第五節(jié)型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 第七章 )(xfyqypy ),(為常數qp二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的結構定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據 f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 為實數 ,)(xPm設特解為, )(*xQeyx其

2、中 為待定多項式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 假設 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項式 .Q (x) 為 m 次待定系數多項式機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2) 假設 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項式, 故特解形式為xmexQxy)(*(3) 假設 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項式,故特解形式為xmexQxy)

3、(*2小結小結 對方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此結論可推廣到高階常系數線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 此題此題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 此題此題

4、特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxeCeCY3221設非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 求解定解問題求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 此題此題特征方程為, 02323rrr其根為設非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應齊

5、次方程通解為1CY xeC2xeC23原方程通解為x211Cy xeC2xeC23由初始條件得0432CC,0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下兩個方程的特解求出如下兩個方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 將將 f (x) 轉化為轉化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解利用疊加原理求出原方程的

6、特解第四步第四步 分析原方程特解的特點分析原方程特解的特點ximexP)()(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第一步第一步 利用歐拉公式將 f (x) 變形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(則令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第二步第二步 求如下兩方程的特解求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多項式為mxQm故xim

7、exPyqypy)(111)()()( 等式兩邊取共軛 :ximexPyqypy)(111)(1y這說明為方程 的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 設那么 有特解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的結果, 根據疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項式 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

8、 第四步第四步 分析分析的特點yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實多項式 .11yyy本質上為實函數 ,11yy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xxPxxPenlxsin)(cos)(對非齊次方程yqypy ),(為常數qpxRxRexymmxksincos*則可設特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 此題此題 特

9、征方程, 2, 0故設特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數, 得,5a,3b因此特解為)3si

10、n33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設非齊次方程特解為機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設非齊次方程特解為)(

11、*2baxxyxec)sincos(xkxdx設下列高階常系數線性非齊次方程的特解形式:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7.求物體的運動規(guī)律. 解解: 問題歸結為求解無阻尼強迫振動方程問題歸結為求解無阻尼強迫振動方程 tphxktxsindd222 當p k 時, 齊次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齊次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解為例5.12 (P325)中若設物體只受彈性恢復力 f,sin的作用ptHF 和鉛直干擾力xox代入可得: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 當干擾力的角頻率 p 固有頻率 k 時,)(si

12、ntkAxtppkhsin22自由振動強迫振動!22將很大振幅pkh 當 p = k 時, )cossin(tkbtkatx非齊次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 若要利用共振現象, 應使 p 與 k 盡量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2隨著 t 的增大 , 強迫振動的振幅tkh2這時產生共振現象 .可無限增大,若要避免共振現象, 應使 p 遠離固有頻率 k ;p = k .自由振動強迫振動xox對機械來說, 共振可能引起破壞作用, 如橋梁被破壞,電機機座被破壞等, 但對電磁振蕩來說, 共振可能起有利作用, 如收音機的調頻放

13、大即是利用共振原理. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內容小結內容小結xmexPyqypy)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*則設特解為sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*則設特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結論也可推廣到高階方程的情形.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習思考與練習時可設特解為 xxxfcos)() 1當xexxxf22cos)()2當xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2

14、)(xfyy 時可設特解為 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空填空) 設設sin)(cos)(xxRxxRmm機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解 (其中為實數 ) .解解: 特征方程特征方程,0442rr特征根:221 rr對應齊次方程通解:xexCCY221)(2時,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(12時,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xexCCy221)(xex221機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 已知二階常微分方程已知二階常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: