初中數(shù)學(xué)因式分解的應(yīng)用專項訓(xùn)練題1(附答案)

1、初中數(shù)學(xué)因式分解的應(yīng)用專項訓(xùn)練題 1 （附答案）1 .若a b 3,則a2 b2 6b的值為（）A. 3B. 6C. 9D. 122_ 22_ _2.已知a b c b a c 2017,且a、b、c 互不相等，對 cab 2016().A. 0B, 1C, 2016D, 20173 .已知 a- b=2,貝U a2b2 4b 的值為()A. 2B. 4C. 6D. 84 .若(b - c) 2=4 (1 - b) (c - 1),則 b+c 的值是()A.TB. 0C. 1D. 25 .已知 a=2005x+2004, b=2005x+2005 , c=2005x+2006 ,則多項式 a2

2、+b2+c2- ab-bc-ac的值為（）A. 1B, 2C, 3D, 46.已知a, b, c是三角形的三邊，那么代數(shù)式a2-2ab+b2-c2的值（）A.大于零B.等于零C.小于零D,不能確定7,若關(guān)于x的二次三項式x2+kx+b因式分解為（x-1） （x-3）,則k+b的值為（）A. - 1B. 1C. - 7D. 78.已知m24n a, n2 4m a, m n ,則 m2 2mn n2 的值為(A. 16B. 12C. 10D.無法確定9.請先觀察下列算式，再填空: 32- 12=8X152- 32= 8X2 72- 52= 8X； 92 -2 = 8 M ；- 92 = 8X5-

3、 132-2=8X（1）通過觀察歸納，你能用字母 n來表示上述規(guī)律的一般形式嗎？請把你的猜想寫出來；（2）請運用因式分解的知識來說明你的猜想的正確性.10.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).其中運用在初中數(shù)學(xué)課本中重點介紹了提公因式法和運用公式法兩種因式分解的方法,a2i2ab+b2= (ab)其中有兩項能寫公式法即運用平方差公式：a2-b2= (a+b) ( a-b)和完全平方公式：進行分解因式，能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的 2倍.當(dāng)一個二次三項式不能直接運用完全平方公式分解因式時，可應(yīng)用下面方法分解因式，

4、先將多項式ax2+bx+c (aw。變形為a (x+m) 2+n的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式 ax2+bx+c的配方法.再運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式.例如：x2+8x+7=x2+8x+16-16+7=(x+4) 2-9=(x+4+3)(x+4-3)=(x+7)(x+1)根據(jù)以上材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：(1)利用 多項式的配方法”將x2+2x-3化成a (x+m) 2+n的形式為 ;(2)請你利用上述方法因式分解： x2+6x+8 ; x2-6x-7 .11 .閱讀：已知a、b、c為ABC的三邊長，且滿足a2c2- b2c2=a4- b4,試判斷 ABC 的

5、形狀.解：因為 a2c2- b2c2=a4- b4,所以 c2 (a2-b2) = ( a2-b2) (a2+b2).所以c2=a2+b2.所以 ABC是直角三角形.請據(jù)上述解題回答下列問題：(1)上述解題過程，從第 步(該步的序號)開始出現(xiàn)錯誤，錯的原因為 ;(2)請你將正確的解答過程寫下來.12 .已知m為正整數(shù).(1)證明：m4 16m 8不能表示為兩個以上連續(xù)整數(shù)的乘積；(2)若m4 16m 8能表示為兩個連續(xù)整數(shù)的乘積，求m的最大值.13 .仔細(xì)閱讀下列解題過程：若 a2 2ab 2b2 6b 9 0,求 a、b 的值.解：“a2 2ab 2b2 6b 9 0 ia2 2ab b2

6、b2 6b 9 0(a b)2 (b 3)2 0 a b 0, b 3 0 a 3, b 3根據(jù)以上解題過程，試探究下列問題：(1)已知x22xy2y22y10,求 x2y 的值；(2)已知a25b24ab2b10,求 a、b 的值；(3)若 m n 4, mn t2 8t 20 0 ,求 n2m t 的值.14 . n為整數(shù)，證明：(2n+1) 21能被8整除.15 . (1)分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：x2+4x+4 =, 16x2+24x+9=, 9x2T2x+4 =(2)觀察以上三個多項式的系數(shù)，有 42=4X 1 X 4, 242=4X 16X 9, (- 12)2=4X 9

7、X 4, 于是小明猜測：若多項式 ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，則實數(shù)系數(shù) a、b、c一定存在 某種關(guān)系.請你用數(shù)學(xué)式子表示 a、b、c之間的關(guān)系；解決問題：若多項式 x2- 2(m - 3)x+(10 - 6m)是一個完全平方式，求 m的值.16 .如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為m的大正方形，兩塊是邊長都為 n的小正方形，五塊是長為 m,寬為n的全等小長方形，且 m>n.(以上長度單位：cm)(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式 2m2+5mn+2n2可以因式分解為 ;(2)若每塊小長方形的面積為10 cm2,四個正方形的面積和為 58 cm

8、2,試求圖中所有裁17 .觀察下列式子的因式分解做法: x2-1=(x-1)(x+1)； x3- 1=x ( X2 - 1) +x - 1=x (x - 1) (x+1) + (x - 1)=(x 1) x (x+1 ) +1=(x T) (x2+x+1 ); x4- 1=x 4 - x+x - 1=x (x3 T) +x - 1=x (x-1) (x2+x+1 ) + (x-1)=(x 1) x (x2+x+1 ) +1=(x 1) (x3+x2+x+1 )；(1)模仿以上做法，嘗試對 x5- 1進行因式分解；(2)觀察以上結(jié)果，猜想 xn-1=; (n為正整數(shù)，直接寫結(jié)果，不用驗證)(3)

9、根據(jù)以上結(jié)論，試求 45+44+43+42+4+1的值.18 .教科書中這樣寫道：我們把多項式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.例如：分解因式 x2+2x - 3= (x2+2x+1) - 4= (x+1) 2-4= (x+1+2) (x+1 -2) = (x+3) (x- 1)；例如求代數(shù)

10、式2x2+4x - 6的最小值.2x2+4x-6=2 (x，2x-3) =2 (x+1) 2-8.可知當(dāng) x= - 1 時，2x2+4x - 6 有最小值，最小值是-8,根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：n2 - 4n - 5=.(2)當(dāng)a, b為何值時，多項式 a2+b2-4a+6b+28有最小值，并求出這個最小值.(3)當(dāng)a, b為何值時，多項式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值，并求出這個最小值.19 .下面是某同學(xué)對多項式(x2-4x+2) (x2-4x+6) +4進行因式分解的過程.解：設(shè) x2-4x=y原式二(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y2

11、+8y+16 (第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2-4x+4) 2 (第四步)請問:(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？ (填 徹底"或 不徹底”).若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果.(2)請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2-2x) (x2-2x+2) +1進行因式分解.20 .利用完全平方公式進行因式分解，解答下列問題 ：1 因式分解：x2 4x 4 .2填空：當(dāng)x 2時，代數(shù)式x2 4x 4 .當(dāng)x 時，代數(shù)式x2 6x 9 0 .代數(shù)式x2 8x 20的最小值是.3拓展與應(yīng)用：求代數(shù)式a2 b2 6a 8b 28的最小值.21 .數(shù)學(xué)實驗探索活動實驗材料現(xiàn)有若干

12、塊如圖所示的正方形和長方形硬紙片.用若干塊這樣的正方形和長方形硬紙片拼成一個新的長方形，通過不同的方法計算面積，得到相應(yīng)的等式，從而探求出多項式乘法或分解因式的新途徑.例如，選取正方形、長方形硬紙片共6塊，拼出一個如圖的長方形，計算它的面積，寫出相應(yīng)的等式有 a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)或(a+2b)(a+b) =a2+3ab+2b2.問題探索：小明想用拼圖的方法解釋多項式乘法(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2 ,那么需要兩種正方形紙片 張，長方形紙片 張；(2)選取正方形、長方形硬紙片共8塊，可以拼出一個如圖的長方形，計算圖的面積，并寫出相應(yīng)的等式；(3)試借助拼

13、圖的方法，把二次三項式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的圖形畫在虛線方中g(shù)內(nèi).三、填空題22 . 一個長、寬分別為m、n的長方形的周長為 14,面積為8,則m2n+mn2的值為23 .若多項式x2-3x-k的一個因式是X 2,則k的值為.24 .已知 a+b=2,貝U a2 b2+4b 的值為.25 .已知：x y=1 , z y=2 ,貝U xy+yz+zx -x 2-y2-z2 的值是.26 .已知496- 1可以被60到70之間的某兩個整數(shù)整除，則這兩個數(shù)是 27 .若a b 2 ,則代數(shù)式a2 2ab b2的值為一參考答案1. C【解析】a+b=3,l a2-b2+6b=(a+

14、b)(a-b)+6b=3(a-b)+6b=3a-3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9 , 故選C.2. B【解析】【分析】先對已知條件進行因式分解，得到ab ac bc=0,然后再將2016看成是2017-1,即看成2a b c 1代入即可求解.【詳解】解：a2 b c b2 a c-2,2,2,2 a b a c ab cb 0整理得到：ab(a b) c(a b)(a b) 0,即：(a b)(ab ac bc) 0又 a,b,c互不相等，式中只能是ab ac bc 0c2a b2016c2 ab a2(b c)12,22,2acbca b ac 1ac(c a) b(a c)(c a

15、) 1 (c a)(ac ab bc) 1(c a) 0 1=0+1=1.故答案為：B【點睛】本題考查了因式分解的基本方法，解決此題的關(guān)鍵是能將2016看成2017減1 ,然后再進行因式分解即可.3. B【分析】原式變形后，把已知等式代入計算即可求出值.【詳解】a - b=2,，原式=(a+b)(a - b) - 4b=2(a+b) - 4b=2a+2b - 4b=2(a- b)=4 .故選：B.【點睛】此題考查因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.4. D【解析】【分析】先將等式的右邊展開并移項到左邊，然后再根據(jù)完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值.【詳解】解：(

16、b- c) 2=4 (1 b) (c 1),/. b2- 2bc+c2= 4c - 4 - 4bc+4b,( b2+2bc+c2) - 4 (b+c) +4=0,-1 (b+c) 2-4 (b+c) +4=0,( b+c-2) 2=0,b+c= 2,故選：D.【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，掌握運用完全平方公式進行因式分解是解答本題的關(guān)鍵5. C【解析】【分析】觀察知可先把多項式轉(zhuǎn)化為完全平方形式，再代入值求解.【詳解】:a 二2005x.2004, b = 2005x 12005 , c二 2005x+2006 ,a b 1 , b c 1, a c 2,:a2 b2 c2 -ab-bc-a

17、c二 1(2a2 -I-2b2 -2c2 -2ab 2bc 2ca)21二工(a2 -2ab -b2) -(b2 - 2bc -c2) - (a2 2ac- c2)21(a b)2 (b c)2 (a c)2 2_ 1222= -(-1) -(-1) -(-2)23故選：C.【點睛】本題考查了完全平方公式，關(guān)鍵在于靈活思維，對多項式擴大2倍是利用完全平方公式的關(guān) 鍵.6. C【解析】a2-2ab+b2-c2= (a-b) 2-c2= (a+c-b) a- (b+c). a, b, c是三角形的三邊.a+c-b>0, a- (b+c) < 0.a2-2ab+b2-c2<0.故選

18、C.7. A【解析】【分析】利用多項式乘以多項式法則計算，再利用多項式相等的條件求出k與b的值，即可求出所求.【詳解】解：由題意得：x2+kx+b =(x-1) (x - 3)=x2- 4x+3 ,k= - 4, b= 3,則 k+b = - 4+3 = - 1.故選：A.【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、多項式乘多項式的計算法則，注意：(x+a) (x+b) =x2+ (a+b) x+ab.8. A【解析】【分析】先由已知條件得出 m+n的值，再把m2+2mn+n2化成完全平方的形式，再進行計算即可. 【詳解】解：-m24n a,n24ma,.22 mn4n a(4ma)4n4m 4(n

19、 m),即(m n)(m n) 4(m n),即(m n 4)(m n) 0,又 mw n,.m+n+4 = 0,即 m+n= 4,m2 2mn n2 (m n)2 ( 4)2 16.故選：A.【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用.能通過對已知條件的變形得出m+n的值是解題的關(guān)鍵.9. 3; 7; 112； 11, 6; (1) (2n+1) 2 ( 2n T) 2=8n, (2)證明見解析. 【解析】【分析】觀察算式，補全空白；(1)歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；(2)利用平方差公式證明即可.【詳解】解： 72- 52=8X 3;92 - 72 = 8 X 4; 112-92 = 8X5；

20、132 112=8x6；(1)根據(jù)各個算式的規(guī)律可以得到，2 2n+1 ) 2- ( 2n - 1) 2 = 8n；(2)證明：(2n+1) 2- (2n- 1) 2=(2n+1+2n - 1) (2n+1 - 2n+1)=4n X 2=8n.得證.【點睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，規(guī)律型：數(shù)字的變化，平方差公式，找出題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.，,、210. (1) (x 1)4 ； (2)(x 4)(x 2)；(x 1)(x 7)【解析】【分析】(1)將x22x-3變成x2+2x+1-4即可求得；(2)將x2+6x+8變?yōu)閤2+6x+9-9+8的形式，再利用平方差即可進行因式分解；將x2-6

21、x-7變?yōu)閤2-6x+9-9-7的形式再運用平方差即可進行因式分解；【詳解】,2 一 一 2 一一 一2 一解：(1) x 2x 3= x 2x 1 4=(x 1)4 ；2(2) x2 6x 82_=x6x998-2=(x3)1=(x 3 1)(x 3 1)=(x 4)(x 2)-2 x 6x 72一一一_=x6x997_ 2=(x3)16=(x 3 4)(x 3 4)【點睛】本題考查因式分解的方法，熟練掌握運用配方法對多項式進行因式分解是解題的關(guān)鍵11. (1)，忽略了 a2-b2 = 0的可能；(2)見解析【解析】【分析】(1)上述解題過程，從第三步出現(xiàn)錯誤，錯誤原因為在等式兩邊除以a2-

22、b2,沒有考慮a2-b2是否為0;(2)正確的做法為：將等式右邊的移項到方程左邊，然后提取公因式將方程左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為 0,兩因式中至少有一個數(shù)為 0轉(zhuǎn)化為兩個等式；根據(jù)等腰三角形的判定， 以及勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形或等腰三角形.【詳解】解：(1)上述解題過程，從第步開始出現(xiàn)錯誤，錯的原因為：忽略了a2-b2=0的可能；(2)正確的寫法為：c2 (a2-b2) = ( a2+b2) (a2- b2),移項得：c2 (a2 b2) ( a2+b2) (a2b2) =0,因式分解得：(a2-b2) c2- (a2+b2) =0,則當(dāng) a2b2=0 時，a=b；當(dāng) a2

23、 b2w0時，a2+b2= c2;所以 ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.故答案為：，忽略了a2-b2=0的可能.【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、分類討論.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.12. (1)見解析；(2) 2【解析】【分析】(1)利用反證法，假設(shè)m4 16m 8能表示為兩個以上連續(xù)整數(shù)的乘積，則其能被3整除，分別將m=3k, 3k+1, 3k+2代入，求出余數(shù)即可證明；(2)根據(jù)題意設(shè) m4 16m 8 (m2 n)(m2 n 1),化簡為關(guān)于 m的一元二次方程，禾U用根的判別式得出 n的可能取值，再根據(jù)

24、m為正整數(shù)得到當(dāng)n=3時成立，從而解出 m=2.解：(1)假設(shè)m416m 8能表示為兩個以上連續(xù)整數(shù)的乘積，則其能被 3整除,若 m 3k,則 m4 16m 8 81k4 16 3k 8 ,余數(shù)為 2,若 m3k1,則m416m 8 81k4+108k3+54k2+60k+25，余數(shù)為 1，若 m3k2,則m416m 8 81k4+216k3+216k2+144k+56，余數(shù)為2,所以矛盾，假設(shè)不成立；(2)m4 16m 8 (m2 n)(m2 n 1), n 為自然數(shù)，展開并化簡得：(2 n 1)m2 16m (n2 n 8) 0 ,& 4 64 (2n 1)(n2 n 8)令

25、9;v 0,解得：n>3.5,即n>4此時m無解，當(dāng) n=0 時， =4X72,當(dāng) n=1 時， =4X82,當(dāng) n=2 時， =4X74,當(dāng)n=3時，=4X36,只有此時可得 m為整數(shù)，解得：m=2或7 (舍)，m的最大值為2.【點睛】本題考查了因式分解，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，將 m4 16m 8化成(m2 n)(m2 n 1).13. (1) x 2y 3；(2) a 2, b 1; (3) n2mt 1 .【解析】【分析】222(1)首先把第3項2y裂項，拆成y y ,再用完全平方公式因式分解，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得x、y代入求

26、得數(shù)值；(2)首先把第2項5b2裂項，拆成4b2 b2,再用完全平方公式因式分解，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b代入求得數(shù)值；(3)先把m n 4代入mn t2 8t 20 0,得到關(guān)于n和1t的式子，再仿照(1) (2)題.【詳解】,、1*22解：(1) ,x 2xy 2y 2y 1 0x22xyy2 y22y1 0(xy)2(y1)20x y 0, y 1 0,x 1, y 1,x 2y 3;(2) ；a2 5b2 4ab 2b 1 0 222_a 4b 4ab b 2b 1 0(a 2b)2 (b 1)2 0a 2b 0, b 1 0a 2, b 1；(3)；m n 4,n(n 4) t2

27、8t 20 022_ _一n 4n 4 t 8t 16 0 _ 22(n 2) (t 4)0n 2 0, t 4 0n 2, t 4m n 4 22m t0/n ( 2)1【點睛】本題考查的分組分解法、配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，對于項數(shù)較多的多項式因式分解，分組分解法是一個常用的方法.首先要觀察各項特征，尋找熟悉的式子，熟練掌握平方差公式和完 全平方公式是基礎(chǔ).14.見解析【解析】【分析】先利用因式分解把原式化為4n n 1 ,根據(jù)n和n+1是兩個連續(xù)整數(shù)，n n 1能被2整除即可求證本題.【詳解】解：(2n+1) 21= 2n112n112n2 2n4n n 1 ,n是整數(shù),.n和n+1是兩個連

28、續(xù)整數(shù)，n n 1能被2整除， 4n n 1能被8整除，即(2n+1) 21能被8整除.【點睛】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，用平方差公式把原式化為4n n 1是解題的關(guān)鍵.15. (1) (x+2) 2, (4x+3) 2, (3x-2) 2; (2)b2=4ac,m=± 1【解析】【分析】(1)根據(jù)完全平方公式分解即可；(2)根據(jù)已知等式得出b2=4ac,即可得出答案；利用的規(guī)律解題.【詳解】(1) x2+4x+4= (x+2) 2, 16x2+24x+9= (4x+3) 2, 9x2-12x+4= (3x-2) 2,故答案為(x+2) 2, (4x+3) 2, (3x-2) 2；

29、(2)b2=4ac,故答案為b2=4ac;,多項式x2-2 (m-3) x+ (10-6m)是一個完全平方式，-2 (m-3) 2=4X1X (10-6m),m2-6m+9=10-6mm2=1【點睛】本題考查了對完全平方公式的理解和應(yīng)用，能根據(jù)完全平方公式得出b2=4ac是解此題的關(guān)鍵.16. (1)(m + 2n)(2m + n) (2) 42cm【解析】【分析】(1)根據(jù)圖象由長方形面積公式將代數(shù)式2m2+5mn+2n2因式分解即可；(2)求出m+n的值，然后根據(jù)圖象由正方形的性質(zhì)和長方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；【詳解】(1) 2m2+5mn+2n2可以因式分解為(m+2n) (2m+n);故

30、答案為(m+2n) (2m+n);(2)依題意得：2m2+2n2=58, mn=10 , . . m2+n2=29 .(m+n) 2= m2+n2+2mn=49 ,m+n = 7,，圖中所有裁剪線(虛線部分)長度之和為6m+6n=6(m+n)=6< 7=42cm .【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、列代數(shù)式以及完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)已知圖形得出是解題的關(guān)鍵.17. (1) (x1) (x4+x3+x2+x+1) (2) (x1) (xn 1+xn 2+- +x2+x+1 ) (3)【解析】【分析】(1)類比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可;(2)由分解的規(guī)律直接得出答案即可；

31、，一一，1 r 一(3)把式子乘4-1,再把計算結(jié)果乘 -即可.3【詳解】(1) x5- 1=x5 x+x - 1=x ( x4 T) +x T=x (x-1) (x3+x2+x+1) + (x-1)=(x-1) x (x3+x2+x+1) +1=(x-1) (x4+x3+x2+x+1 )；(2) xn- 1=xn x+x - 1=x ( xn-1 _ 1 ) +x - 1=x (x-1) (xn-2+xn-3+- +x+1 ) +(x-1)=(x-1) x (xn-2+xn-3+ - +x+1 ) +1=(x-1) (xn 1+xn 2+x2+x+1 );(3) 45+44+43+42+4+

32、11 u ，。 c=-x ( 4 - 1 ) (45+44+43+42+4+1 )31八.=_ X (461)3641=.318. (1) (n+1) (n-5) (2) a=2, b=-3,這個最小值 15 (3) a=4, b=3,這個最小值 18【解析】【分析】(1)根據(jù)閱讀材料，先將n2-4n-5變形為n2-4n+4-9 ,再根據(jù)完全平方公式寫成(n-2 )2-9,然后利用平方差公式分解即可；(2)利用配方法將多項式a2+b2-4a + 6b+28轉(zhuǎn)化為(a-2 ) 2+ (b+3) 2+5,然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進行解答；(3)利用配方法將多項式a2-2ab + 2b2-2a-4b +

33、27轉(zhuǎn)化為(a-b-1 ) 2+ (b-3) 2+17,然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進行解答.【詳解】(1) n2-4n-5=n2-4n + 4-9=(n-2 ) 2-9=(n-2 +3) (n-2-3 )=(n+1) (n-5).故答案為(n+1) (n-5 );(2) . a2+b2-4a+ 6b+28= ( a-2 ) 2+ (b+3) 2+15,.當(dāng) a= 2, b=-3 時，多項式 a2+ b2-4a+ 6b+18有最小值 15;(3) . a2-2ab+2b2-2a-4b+28= a2-2a (b+1) + ( b+1) 2+ ( b-3 ) 2+18=(a-b-1 ) 2+ ( b-3

34、) 2+ 18,當(dāng) a= 4, b=3 時，多項式 a2-2ab+2b2-2a-4b+28 有最小值 18.【點睛】注意在變形的過本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意配方法的步驟.程中不要改變式子的值.4一 419. (1)不徹底；(x 2) ; (2) (x 1)【解析】【分析】(1)根據(jù)因式分解的步驟進行解答即可；(2)設(shè)x2-2x=m,再根據(jù)完全平方公式把原式進行分解即可.【詳解】(1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，原式=(x2-4x+4) 2= (x-2) 22= (x-2) 4,故答案為不徹底、(x-2) 4.(2)設(shè)：x2-2x=m ,原式=m (m+2) +1=m2

35、+2m+1= (m+1) 2= (x2-2x+1 ) 2= (x-1 ) 4.【點睛】本題考查的是因式分解，在解答此類題目時要注意完全平方公式的應(yīng)用.220. (1) x- 2 ; (2) 0, 3, 4; (3)3【解析】【分析】(1)符合完全平方公式，用公式進行因式分解即可；(2)先將代數(shù)式進行因式分解，再代入求值；將代數(shù)式因式分解成完全平方的形式，觀察得出結(jié)果；先將代數(shù)式因式分解為完全平方公式，根據(jù)一個數(shù)的平方為非負(fù)來求解最小值；(3)先將代數(shù)式因式分解為關(guān)于a、b的2個完全平方公式，再求最小值【詳解】(1)根據(jù)完全平方公式：x2 4x 4 (x 2)2;(2)x2 4x 4 (x 2)

36、2,將x2代入得,結(jié)果為：0; x2 6x 9 0，化簡得：(x 3)2 0,故 x=3; x2 8x 20 x2 8x 16 4 (x 4)2 4' (x 4)2為非負(fù)，當(dāng)(x 4)2=0,即x= 4時，有最小值，最小值為：4222222(3) a b 6a 8b 28=(a6a+9)+(b8b+16)+3 (a 3) (b 4)3根據(jù)上一問結(jié)論可知，當(dāng)a=3, b= 4時有最小值，最小值為： 3【點睛】在求解最小值和最大值的問題中，我們通常會將式子變形成完全平方的形式，另平方部分為0即可21. (1) 3,3; (2) a2+4ab+3b2= (a+3b) (a+b); (3) 2

37、b2+5ab+2a2= (2b+a) (b+2a).畫圖見 解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)多項式(2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2可發(fā)現(xiàn)矩形有兩個小正方形，一個大正方形和三個小長方形.(2)正方形、長方形硬紙片一共八塊，面積等于長為a+3b,寬為a+b的矩形面積.所以a2+4ab+3b2= (a+3b) (a+b)(3)正方形、長方形硬紙片共9塊，畫出圖形，面積等于長為a+2b,寬為2a+b的矩形面積，則 2a2+5ab+2b2= (2a+b) (a+2b)【詳解】(1) (2a+b)(a+b) =2a2+3ab+b2;，拼圖需要兩個小正方形，一個大正方形和三個小長方形需要3個正方形紙片，3個長方形紙片.(2) ;大長方形長為 a+3b,寬為a+b，面積 S= (a+3b) (a+b)又二大長方形由三個大正方形，一個小正方形和四個小長方形組成面積 S= a2+4ab+3b2a2+4ab+3b2= ( a+3b) ( a+b)(3) 由 2b2+5ab+2a2可知大長方形由兩個小正方形和兩個大正方形以及五個長方形組成，如圖 2b2+5ab+2a2= (2b+a) (b+2a).圖【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化