備戰(zhàn)2019高考數(shù)學大二輪復(fù)習專題五立體幾何專題能力訓練14空間中的平行與垂直理練習

1、備戰(zhàn) 2019 高考數(shù)學大二輪復(fù)習專題五立體幾何 專題能力訓練 14空間中的平行與垂直理練習一、能力突破訓練1.如圖 ,O為正方體1111的底面的中心 , 則下列直線中與1 垂直的是()ABCD-AB CDABCDB OA. A1DB. AA1C. A1D1D. A1C12. 如圖 , 在正方形 ABCD中, E, F 分別是 BC, CD的中點 , 沿 AE, AF, EF把正方形折成一個四面體 , 使 B, C, D三點重合 , 重合后的點記為 P, 點 P 在 AEF內(nèi)的射影為 O.則下列說法正確的是()A.O是的垂心 B.O是的內(nèi)心AEFAEFC.O是 AEF的外心 D. O是 AEF

2、的重心3. , 是兩個平面 , m, n 是兩條直線 , 有下列四個命題 :如果 mn, m , n , 那么 .如果 m , n , 那么 mn.如果 , m? , 那么 m .如果 mn, , 那么 m與 所成的角和 n 與 所成的角相等 .其中正確的命題有. ( 填寫所有正確命題的編號)4. 已知正四棱錐 S-ABCD的底面邊長為 2, 高為 2, E是邊 BC的中點 , 動點 P 在表面上運動 , 并且總保持 PE AC, 則動點 P 的軌跡的周長為.5. 下列命題中正確的是. ( 填上你認為正確的所有命題的序號 )空間中三個平面 , , , 若 , , 則 ;若 , ,c為三條兩兩異

3、面的直線, 則存在無數(shù)條直線與, ,都相交 ;a ba b c2若球 O與棱長為 a 的正四面體各面都相切, 則該球的表面積為a ;6 .在正三棱柱A1B1C1-ABC中 , 點 D是 BC的中點 , BC=BB1. 設(shè) B1D BC1=F.求證 :(1)A1C平面 AB1D;(2) BC1平面 AB1D.1/117 .如圖 , 在四棱錐 P-ABCD中 , 側(cè)面 PAD是邊長為 2 的正三角形 , 且與底面垂直 , 底面 ABCD是 ABC=60的菱形 , M為 PC的中點 .(1) 求證 : PC AD;(2) 證明在 PB上存在一點 Q, 使得 A, Q, M, D四點共面 ;(3) 求

4、點 D到平面 PAM的距離 .8. (2018 全國 , 理 18)如圖 , 四邊形 ABCD為正方形 , E, F 分別為 AD, BC的中點 , 以 DF為折痕把 DFC折起 , 使點 C到達點 P 的位置 , 且 PF BF.(1) 證明 : 平面 PEF平面 ABFD;(2) 求 DP與平面 ABFD所成角的正弦值 .2/11二、思維提升訓練9. (2018浙江 ,8)已知四棱錐 S-ABCD的底面是正方形 , 側(cè)棱長均相等 , E 是線段 AB上的點 ( 不含端點 ) . 設(shè) SE與 BC所成的角為 , SE與平面 ABCD所成的角為 , 二面角 S-AB-C的平面12角為 3, 則

5、 ()A. 3B. 11232C. 1 3 2D. 2 3 110.如圖 , 在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCD-AB CD 中, AD BC, AD1111,2,4, 12,是1的中點 ,F是平面11 與直線1的交點.AB AB=AD=BC= AA= EDDB CEAA(1) 證明 : EF A1D1; BA1平面 B1C1EF;(2) 求 BC1 與平面 B1C1EF所成角的正弦值 .11. 如圖 , 在長方形 ABCD中 , AB=2, BC=1, E為 CD的中點 , F 為 AE的中點 . 現(xiàn)在沿 AE將 ADE 向上折起 , 在折起的圖形中解答下列問題 :(1) 在線段 AB上是否存在

6、一點 K, 使 BC平面 DFK?若存在 , 請證明你的結(jié)論 ; 若不存在 , 請說明理由 ;(2) 若平面 ADE平面 ABCE,求證 : 平面 BDE平面 ADE.3/1112. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1 中 , AB=2, AA1=, 點 D為 AC的中點 , 點 E 在線段 AA1 上 .(1) 當 AEEA1=1 2 時, 求證 : DE BC1;(2) 是否存在點 E, 使三棱錐 C1-BDE 的體積恰為三棱柱 ABC-A1B1C1 體積的 ?若存在 , 求 AE的長 , 若不存在 , 請說明理由 .13.如圖 , 在四邊形中(如圖),E是的中點 ,2,1,AB=AD= .

7、將ABCDBCDB=DC= BC=ABD( 如圖 ) 沿直線 BD折起 , 使二面角A-BD-C為 60( 如圖 ) .(1) 求證 : AE平面 BDC;(2) 求異面直線 AB與 CD所成角的余弦值 ;(3) 求點 B到平面 ACD的距離 .4/11專題能力訓練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓練1. D解析易知 A1C1平面 BB1D1D.B1O? 平面 BB1D1D, A1C1 B1O, 故選 D.2. A解析如圖 , 易知 PA, PE, PF兩兩垂直 ,PA平面 PEF, 從而 PA EF,而 PO平面 AEF, 則 POEF, EF平面 PAO,EF AO.同理可知 AE FO

8、, AF EO,O為 AEF的垂心 .3. 解析 對于, 若 , , , 則 , 的位置關(guān)系無法確定,故錯誤 ;對m n mn于 , 因為 n , 所以過直線 n 作平面 與平面 相交于直線 c,則 n c. 因為 m , 所以 m c,所以 m n, 故 正確 ; 對于 , 由兩個平面平行的性質(zhì)可知正確; 對于, 由線面所成角的定義和等角定理可知其正確, 故正確的命題有 .4解析如圖 , 取 CD的中點 F, SC的中點 G, 連接 EF, EG, FG.設(shè) EF交 AC于點 H, 連接 GH,易知 AC EF. 又 GH SO,GH平面 ABCD,ACGH.又 GH EF=H, AC平面

9、EFG.故點 P的軌跡是 EFG,其周長為5. 解析中也可以 與 相交 ;作平面與, ,都相交 ;中可得球的半徑為a b cr=a; 中由 PA BC, PB AC得點 P在底面 ABC的射影為 ABC的垂心 , 故 PC AB.6. 證明 (1) 連接 A1B, 設(shè) A1B 交 AB1 于點 E, 連接 DE.點 D是 BC的中點 , 點 E是 A1B的中點 ,DEA1C.5/11A1C?平面 AB1D, DE? 平面 AB1D,A1C平面 AB1D.(2) ABC是正三角形 , 點 D是 BC的中點 ,ADBC.平面 ABC平面 B1BCC1, 平面 ABC平面 B1BCC1=BC,AD?

10、 平面 ABC, AD平面 B1BCC1.BC1? 平面 B1BCC1, AD BC1.點 D是 BC的中點 , BC=BB1,BD=BB1., Rt B1 BD Rt BCC1, BDB1= BC1C. FBD+ BDF= C1BC+BC1C=90 .BC1 B1D.B1D AD=D,BC1平面 AB1D.7. (1) 證法一 取 AD的中點 O, 連接 OP, OC,AC, 依題意可知 PAD, ACD均為正三角形 , 所以 OC AD, OP AD.又 OC OP=O,OC? 平面 POC,OP? 平面 POC, 所以 AD平面 POC.又 PC? 平面 POC,所以 PC AD.證法二

11、連接 AC, 依題意可知PAD, ACD均為正三角形 .因為 M為 PC的中點 , 所以 AM PC, DM PC.又 AM DM=M,AM? 平面 AMD,DM? 平面 AMD, 所以 PC平面 AMD.因為 AD? 平面 AMD,所以 PC AD.(2) 證明 當點 Q為棱 PB的中點時 , A, Q, M, D四點共面 , 證明如下 :取棱 PB的中點 Q, 連接 QM,QA.因為 M為 PC的中點 , 所以 QM BC.在菱形 ABCD中 , AD BC, 所以 QMAD, 所以 A, Q, M, D四點共面 .(3) 解 點 D到平面 PAM的距離即點 D到平面 PAC的距離 .由

12、(1) 可知 POAD, 又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PO? 平面 PAD, 所以 PO平面 ABCD,即 PO為三棱錐 P-ACD的高 .在 Rt POC中 , PO=OC= , PC= ,在 PAC中 , PA=AC=2, PC=, 邊 PC上的高 AM=,所以 PAC的面積 S PAC= PCAM=6/11設(shè)點 D到平面 PAC的距離為 h, 由 VD-PAC=VP-ACD, 得S PACh= S ACDPO.因為 ACD22, 所以h=, 解得h=,S =所以點 D到平面 PAM的距離為8. (1) 證明由已知可得 , BF PF, BF EF,所以

13、 BF平面 PEF.又 BF? 平面 ABFD,所以平面 PEF平面 ABFD.(2) 解 作 PH EF, 垂足為 H.由 (1) 得 , PH平面 ABFD.以 H為坐標原點 ,的方向為y 軸正方向 , | 為單位長 , 建立如圖所示的空間直角坐標系 H-xyz.由 (1) 可得 , DEPE.又 DP=2, DE=1, 所以 PE=又 PF=1, EF=2, 故 PE PF.可得 PH=, EH=則 H(0,0,0),P, D為平面ABFD的法向量 .設(shè) DP與平面 ABFD所成角為 , 則 sin =所以 DP與平面 ABFD所成角的正弦值為二、思維提升訓練9. D 解析 當點 E 不

14、是線段 AB的中點時 , 如圖 , 點 G是 AB的中點 , SH底面 ABCD,過點 H作 HF AB, 過點 E 作 EF BC, 連接 SG, GH,EH, SF.可知 1= SEF, 2= SEH,3 = SGH.由題意可知EF SF,7/11故 tan 1=tan 3. 13.又 tan=tan , . .3232132當點E是線段的中點時 , 即點E與點G重合 ,此時 1 3 2AB .= = .綜上可知 , 13210. (1) 證明因為 C1B1A1D1, C1B1?平面 ADD1A1,所以11平面1 1CBADDA .因為平面 B1C1EF平面 ADD1A1=EF,所以 C1

15、B1EF.所以 A1D1 EF.因為 BB1平面 A1B1C1D1, 所以 BB1 B1C1.因為 B1C1B1A1, 所以 B1C1平面 ABB1A1,所以 B1C1BA1.在矩形 ABB1A1 中 , F 是 AA1 的中點 ,即 tan A1B1F=tan AA1B= , 即 A1B1F= AA1B.故 BA1B1 F. 又 B1F B1 C1=B1, 所以 BA1平面 B1C1EF.(2) 解 設(shè) BA1 與 B1F 的交點為 H, 連接 C1H( 如圖 ) .由 (1) 知 BA1平面 B1C1EF,所以 BC1H是 BC1與平面 B1C1EF所成的角 .在矩形 ABB1A1 中 ,

16、 AB=, AA1=2, 得 BH=在 Rt BHC1中 , BC1=2, BH=,得 sin BC1H=所以 BC1與平面 B1C1EF所成角的正弦值是11.(1) 解 線段 AB上存在一點 K, 且當 AK=AB時 , BC平面 DFK. 證明如下 : 設(shè) H為 AB的中點 , 連接 EH, 則 BC EH.又因為 AK= AB, F為 AE的中點 ,8/11所以 KF EH, 所以 KF BC.因為 KF? 平面 DFK,BC?平面 DFK,所以 BC平面 DFK.(2) 證明 因為 F 為 AE的中點 , DA=DE=1,所以 DF AE.因為平面 ADE平面 ABCE, 所以 DF平

17、面 ABCE.因為 BE? 平面 ABCE,所以 DF BE.又因為在折起前的圖形中 E 為 CD的中點 , AB=2, BC=1,所以在折起后的圖形中AE=BE=,222AE BE.從而 AE+BE=4=AB, 所以因為 AE DF=F, 所以 BE平面 ADE.因為?平面, 所以平面平面ADE.BEBDEBDE12. (1) 證明 因為三棱柱 ABC-A1B1C1為正三棱柱 , 所以 ABC是正三角形 .因為D是的中點 ,所以AC.ACBD又平面 ABC平面 CAA1C1, 所以BD DE.因為 AEEA1=12, AB=2, AA1=,所以 AE=, AD=1,所以在 Rt ADE中 ,

18、 ADE=30 .在 Rt DCC1中 , C1DC=60, 所以 EDC1=90, 即 DE DC1.因為 C1D BD=D,所以 DE平面 BC1D, 所以 DE BC1.(2) 解 假設(shè)存在點 E滿足題意 .設(shè) AE=h, 則 A1E= -h ,所以-S AED-=2h- (-h ) -h.因為 BD平面 ACC1A1,所以h, 又 V 棱柱=2=3,所以h=1, 解得 h=,故存在點 E, 當 AE=, 即 E與 A1 重合時 , 三棱錐 C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的13.9/11(1) 證明 如圖 , 取 BD的中點 M, 連接 AM, ME.AB=AD=, DB=2,AM BD.DB=2, DC=1, BC=222滿足 DB+DC=BC,是以為斜邊的直角三角形, ,BCDBCBD DCE 是 BC的中點 ,ME為 BCD的中位線 , MECD