分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理(1)

1、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理(1)江蘇省興化楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校江蘇省興化楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校 徐信生徐信生 cs_；cs_yyyy年年M月月d日星期日星期W一、問(wèn)題引入：一、問(wèn)題引入：?jiǎn)栴}問(wèn)題1 1 從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，一天中，火車(chē)有汽車(chē)，一天中，火車(chē)有3 3班，汽車(chē)有班，汽車(chē)有2 2班，那么班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？多少種不同的走法？火車(chē)2火車(chē)3汽車(chē)1汽車(chē)2 因?yàn)橐惶熘谐嘶疖?chē)有因?yàn)橐惶熘谐嘶疖?chē)有3 3種走法，種走法，乘汽車(chē)有乘汽車(chē)有2 2種走法，每一

2、種走法都種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有可以從甲地到乙地，所以共有 3 + 2 = 53 + 2 = 5種不同的走法種不同的走法. .火車(chē)1甲甲乙乙問(wèn)題問(wèn)題2 2 一個(gè)書(shū)架共有三層，第一個(gè)書(shū)架共有三層，第1層放有層放有4本本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有層放有3本不同的文本不同的文藝書(shū)，第藝書(shū)，第3層放有層放有2本不同的體育書(shū)本不同的體育書(shū). 從書(shū)從書(shū)架上任取架上任取1本書(shū)本書(shū)，有多少種不同的取法？，有多少種不同的取法？分析分析: 分三類(lèi)：分三類(lèi)： 第一類(lèi)：從第第一類(lèi)：從第1層取，有層取，有4種方法種方法; 第二類(lèi)：從第第二類(lèi)：從第2層取，有層取，有3種方法種方法;

3、 第三類(lèi)：從第第三類(lèi)：從第3層取，有層取，有2種方法種方法. 所以從所以從書(shū)架上任取書(shū)架上任取1本書(shū)本書(shū)共有共有4+3+ 2 =9 種不同的取法種不同的取法.一般地，有如下原理：一般地，有如下原理：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分類(lèi)計(jì)數(shù)原理 完成一件事，有完成一件事，有n類(lèi)辦法，在類(lèi)辦法，在第第1類(lèi)辦法中有類(lèi)辦法中有 種不同方法，在第種不同方法，在第2類(lèi)辦法中類(lèi)辦法中有有 種不同方法，種不同方法，在第在第n類(lèi)辦法中有類(lèi)辦法中有 種種不同方法，那么完成這件事共有不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法種不同的方法.nmmmN211mnm2m問(wèn)題問(wèn)題3 3 從甲地到乙地，要從甲地選乘火車(chē)到丙從甲地到乙地，要從甲地選

4、乘火車(chē)到丙地，再于次日從丙地選乘汽車(chē)到乙地，一天中，地，再于次日從丙地選乘汽車(chē)到乙地，一天中，火車(chē)有火車(chē)有3 3班，汽車(chē)有班，汽車(chē)有2 2班，那么兩天中，從甲地班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？到乙地共有多少種不同的走法？火車(chē)2火車(chē)3汽車(chē)2火車(chē)1甲甲丙丙乙乙汽車(chē)1具體走法：具體走法：從甲地乘火車(chē)從甲地乘火車(chē)1到丙地再于次日乘汽車(chē)到丙地再于次日乘汽車(chē)1到乙地；到乙地；從甲地乘火車(chē)從甲地乘火車(chē)2到丙地再于次日乘汽車(chē)到丙地再于次日乘汽車(chē)1到乙地；到乙地；從甲地乘火車(chē)從甲地乘火車(chē)3到丙地再于次日乘汽車(chē)到丙地再于次日乘汽車(chē)1到乙地；到乙地；從甲地乘火車(chē)從甲地乘火車(chē)1到丙地再于次日乘汽車(chē)到

5、丙地再于次日乘汽車(chē)2到乙地；到乙地；從甲地乘火車(chē)從甲地乘火車(chē)2到丙地再于次日乘汽車(chē)到丙地再于次日乘汽車(chē)2到乙地；到乙地；從甲地乘火車(chē)從甲地乘火車(chē)3到丙地再于次日乘汽車(chē)到丙地再于次日乘汽車(chē)2到乙地到乙地 .問(wèn)題問(wèn)題4 4 一個(gè)書(shū)架共有三層，第一個(gè)書(shū)架共有三層，第1層放有層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有層放有3本不同本不同的文藝書(shū)，第的文藝書(shū)，第3層放有層放有2本不同的體育書(shū)本不同的體育書(shū).從書(shū)架的第從書(shū)架的第1、2、3層各取層各取1本書(shū)本書(shū)，有多，有多少種不同的取法？少種不同的取法？分析：分三步：分析：分三步： 第一步：從第第一步：從第1層取，有層取，有4種方法；種方法；

6、 第二步：從第第二步：從第2層取，有層取，有3種方法；種方法； 第三步：從第第三步：從第3層取，有層取，有2種方法。種方法。 所以從書(shū)架的第所以從書(shū)架的第1、2、3層各取層各取1本本書(shū)，共有書(shū)，共有43 2 =24 種不同的取法種不同的取法一般地，有如下原理：一般地，有如下原理：分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分完成一件事，需要分n個(gè)步驟，個(gè)步驟，做第做第1步有步有 種不同方法，做第種不同方法，做第2步有步有 種不同種不同方法，方法，做第做第n步有步有 種不同方法，那么完種不同方法，那么完成這件事共有成這件事共有種不同的方法種不同的方法.nmmmN211mnm2m二、知識(shí)新授：二、知

7、識(shí)新授：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分類(lèi)計(jì)數(shù)原理 完成一件事，有完成一件事，有n類(lèi)辦法，在第類(lèi)辦法，在第1類(lèi)類(lèi)辦法中有辦法中有 種不同方法，在第種不同方法，在第2類(lèi)辦法中有類(lèi)辦法中有 種不同種不同方法，方法，在第在第n類(lèi)辦法中有類(lèi)辦法中有 種不同方法，那么完種不同方法，那么完成這件事共有：成這件事共有： 種不同的種不同的方法方法.nmmmN211mnm2m對(duì)于分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：對(duì)于分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1 1）從分類(lèi)計(jì)數(shù)原理中可以看出，各類(lèi)之間相互獨(dú)立，都能）從分類(lèi)計(jì)數(shù)原理中可以看出，各類(lèi)之間相互獨(dú)立，都能完成這件事，且各類(lèi)方法數(shù)相加，所以分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)加法原完成這件事，且各類(lèi)

8、方法數(shù)相加，所以分類(lèi)計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)加法原理；理；（2 2）分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，）分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；然后在確定的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；（3 3）完成這件事的任何一種方法必屬于某一類(lèi)，并且分別屬）完成這件事的任何一種方法必屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同兩類(lèi)的兩種方法都是不同的方法于不同兩類(lèi)的兩種方法都是不同的方法. .分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分完成一件事，需要分n個(gè)步驟，做第個(gè)步驟，做第1步有步有 種不同方法，做第種不同方法，做第2步有步有 種不同方法，種不同方法，做第做第n步有步有 種不同方法，

9、那么完成這件事共有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法種不同的方法.nmmmN211mnm2m對(duì)于分步計(jì)數(shù)原理，我們也應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：對(duì)于分步計(jì)數(shù)原理，我們也應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1 1）分步計(jì)數(shù)原理與）分步計(jì)數(shù)原理與“分步分步”有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟完成了，這件事才算完成，且各步驟方法數(shù)相乘只有各個(gè)步驟完成了，這件事才算完成，且各步驟方法數(shù)相乘，所以分步計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)乘法原理；，所以分步計(jì)數(shù)原理又稱(chēng)乘法原理；（2 2）分步時(shí)首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)；）分步時(shí)首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)；（3 3）分步時(shí)還要注意滿(mǎn)足完成一件事必須并

10、且只需連續(xù)完）分步時(shí)還要注意滿(mǎn)足完成一件事必須并且只需連續(xù)完成成n n個(gè)步驟后這件事才算完成個(gè)步驟后這件事才算完成. .點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): : 我們可以把加法原理看成我們可以把加法原理看成“并聯(lián)電路并聯(lián)電路”; ;乘法乘法原理看成原理看成“串聯(lián)電路串聯(lián)電路”. . 如圖如圖: :ABm1m2mn.ABm1m2mn 相同點(diǎn)：相同點(diǎn)：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理都是涉及完成分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題. .不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：三、例題講解：三、例題講解：例例1 書(shū)架的第書(shū)架的第1層放有層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有層放有

11、3本不同的本不同的文藝書(shū)，第文藝書(shū)，第3層放有層放有2本不同的體育書(shū)本不同的體育書(shū). 從書(shū)架上任取從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法？本書(shū)，有多少種不同的取法？ 從書(shū)架的第從書(shū)架的第1、2、3層各取層各取1本書(shū)，有多少種不同的取法？本書(shū)，有多少種不同的取法？ 解：解： 從從書(shū)架上任取從從書(shū)架上任取1本書(shū)，有本書(shū)，有3類(lèi)辦法：第類(lèi)辦法：第1類(lèi)辦法是從第類(lèi)辦法是從第1層取層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種方法；第種方法；第2類(lèi)辦法是從第類(lèi)辦法是從第2層取層取1本文藝本文藝書(shū)，有書(shū)，有3種方法；第種方法；第3類(lèi)辦法是從第類(lèi)辦法是從第3層取層取1本體育書(shū)，有本體育書(shū)，有2種方法種方法 .根據(jù)分

12、類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)是根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)是)(9234321種mmmN 從書(shū)架的第從書(shū)架的第1、2、3層各取層各取1本書(shū)，可以分本書(shū)，可以分3個(gè)步驟：第個(gè)步驟：第1步從步從第第1層取層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4種方法；第種方法；第2步從第步從第2層取層取1本文藝書(shū)，本文藝書(shū)，有有3種方法；第種方法；第3步從第步從第3層取層取1本體育書(shū)，有本體育書(shū)，有2種方法種方法 .根據(jù)分步計(jì)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)是數(shù)原理，不同的取法種數(shù)是)(24234321種mmmN點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：要正確分類(lèi)，合理分步要正確分類(lèi)，合理分步分類(lèi)用加法，分類(lèi)用加法，分步用乘法分步用乘法例例2

13、一種號(hào)碼鎖有一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán)，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有個(gè)撥號(hào)盤(pán)，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有從從0到到9共共10個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)撥號(hào)盤(pán)可以組成多少個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼？個(gè)四位數(shù)字的號(hào)碼？ 解：完成撥號(hào)需分解：完成撥號(hào)需分4個(gè)步驟：第一步從第個(gè)步驟：第一步從第1個(gè)撥號(hào)個(gè)撥號(hào)盤(pán)上撥一個(gè)數(shù)，共有盤(pán)上撥一個(gè)數(shù)，共有10種撥法；第二步從第種撥法；第二步從第2個(gè)撥號(hào)個(gè)撥號(hào)盤(pán)上撥一個(gè)數(shù)，共有盤(pán)上撥一個(gè)數(shù)，共有10種撥法；第三、第四步同第一、種撥法；第三、第四步同第一、第二步也各有第二步也各有10種撥法，由分步計(jì)數(shù)原理可知共有種撥法，由分步計(jì)數(shù)原理可知共有)(10000101010104321種mmmm

14、N撥號(hào)方法撥號(hào)方法.思考： 如果一個(gè)密碼鎖有如果一個(gè)密碼鎖有5個(gè)、個(gè)、8個(gè)、個(gè)、10個(gè)撥號(hào)盤(pán)，個(gè)撥號(hào)盤(pán)，可分別組成多少個(gè)密碼數(shù)字？可分別組成多少個(gè)密碼數(shù)字？ 例3、如圖如圖, ,該電路該電路, ,從從A A到到B B共有多少共有多少條不同的線(xiàn)條不同的線(xiàn)路可通電？路可通電？AB解解: : 從總體上看由從總體上看由A A到到B B的通電線(xiàn)路可分三類(lèi)的通電線(xiàn)路可分三類(lèi) 第一類(lèi)第一類(lèi), , m m1 1 = 3 = 3 條；條； 第二類(lèi)第二類(lèi), , m m2 2 = 1 = 1 條；條； 第三類(lèi)第三類(lèi), , m m3 3 = 2 = 22 = 4 2 = 4 條；條； 所以所以, , 根據(jù)加法原理根據(jù)

15、加法原理, , 從從A A到到B B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線(xiàn)路可通電條不同的線(xiàn)路可通電. .四、課堂練習(xí)：四、課堂練習(xí)：1、課本、課本 P82 練習(xí)練習(xí)No.1、2、3、4；2、某中學(xué)的一棟、某中學(xué)的一棟5層教學(xué)樓共有層教學(xué)樓共有3處樓梯，問(wèn)從處樓梯，問(wèn)從1樓到樓到5樓共有多少種不同的走法？樓共有多少種不同的走法？3、一個(gè)口袋內(nèi)裝有、一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有4個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同，從兩個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同，從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，共有個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，共

16、有 種不同的取法種不同的取法.4、由、由1至至5這這5個(gè)數(shù)字可以組成個(gè)數(shù)字可以組成 個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)字的三位數(shù).433333N960拓展性練習(xí)：拓展性練習(xí)：1、用、用1，5，9，13中任意一個(gè)數(shù)作分子，中任意一個(gè)數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)造中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)造 個(gè)不個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)？同的真分?jǐn)?shù)？2、從含、從含3個(gè)元素的集合到含個(gè)元素的集合到含4個(gè)元素的集合的映個(gè)元素的集合的映射有射有 個(gè)個(gè).3、有不同的中文書(shū)、有不同的中文書(shū)7本，不同的英文書(shū)本，不同的英文書(shū)5本，不本，不同的日文書(shū)同的日文書(shū)4本，現(xiàn)要從中取不同文字的書(shū)兩本，本，現(xiàn)要從中取不同文字

17、的書(shū)兩本，有有 種不同的取法種不同的取法.N=4+3+2+1=10.10N=444=64.64N=75+74+54=83.83五、課堂小結(jié)：五、課堂小結(jié)： 完成一件事有多少種不同的方法，完成一件事有多少種不同的方法，先看完成這件事情的一種方法是怎樣的，先看完成這件事情的一種方法是怎樣的，是要分幾類(lèi)來(lái)完成，還是可以分幾步來(lái)完是要分幾類(lèi)來(lái)完成，還是可以分幾步來(lái)完成，從而判斷是用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是用分成，從而判斷是用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是用分步計(jì)數(shù)原理也就不難了；步計(jì)數(shù)原理也就不難了； 有些較復(fù)雜的問(wèn)題可能不是簡(jiǎn)單有些較復(fù)雜的問(wèn)題可能不是簡(jiǎn)單的的“分類(lèi)分類(lèi)”或或“分步分步”就可以解決的，而就可以解決的，而要

18、把兩者結(jié)合起來(lái)考慮要把兩者結(jié)合起來(lái)考慮. .1)、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理(加法原理加法原理)中的中的“分類(lèi)分類(lèi)”要全面要全面, 不能不能遺漏遺漏; 但也不能重復(fù)、交叉；但也不能重復(fù)、交叉；“類(lèi)類(lèi)”與與“類(lèi)類(lèi)”之間是并之間是并列的、互斥的、獨(dú)立的，也就是說(shuō)，完成一件事，每次列的、互斥的、獨(dú)立的，也就是說(shuō)，完成一件事，每次只能選擇其中的一類(lèi)辦法中的某一種方法只能選擇其中的一類(lèi)辦法中的某一種方法. 3)、在運(yùn)用、在運(yùn)用“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理”處理具處理具體應(yīng)用題時(shí)，除要弄清是體應(yīng)用題時(shí)，除要弄清是“分類(lèi)分類(lèi)”還是還是“分步分步”外，外，還要搞清楚還要搞清楚“分類(lèi)分類(lèi)”或或“分步分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)的具體標(biāo)準(zhǔn). 在在“分分類(lèi)類(lèi)”或或“分步分