常微分方程考試習(xí)題庫(kù)-邢臺(tái)學(xué)院

1、常微分方程試題庫(kù)（一）、填空題（每空3 分）1、 當(dāng)時(shí)，方程 M ( x, y)dxN ( x, y)dy 0 稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程，其原函數(shù)為：。2、形如 _的方程，稱為齊次方程。3 、 求 dyf ( x, y) 滿 足 (x0 )y0 的 解 等 價(jià) 于 求 積 分 方 程dx_的連續(xù)解。4、設(shè) y(x) 是一階非齊次線性方程于區(qū)間I 上的任一解， ( x) 是其對(duì)應(yīng)齊線性方程于區(qū)間 I 上的一個(gè)非零解。則一階非齊次線性方程的全部解的共同表達(dá)式為：。5、若 x1 (t), x2 (t),.xn (t ) 為 n 階齊線性方程的n 個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是。6、方程組 dX

2、A(t) X 的 _稱,之為 dXA(t) X 的dtdt一個(gè)基本解組。7、若(t) 是常系數(shù)線性方程組dXAX的基解矩陣，則exp Atdt=。8、方程稱為一階線性方程，它有積分因子，其通解為。9 、設(shè) 1 (x),2 ( x) 是與二階線性方程：ya1(x) y a2 (x)yf ( x) ，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的基本解組， 則的二階線性方程全部解的共同表達(dá)式為：.10、形如的方程稱為歐拉方程。11、若 (t ) 和(t) 都是 dXA(t) X 的基解矩陣，則(t ) 和 (t ) 具有dt的關(guān)系：。12、若向量函數(shù) g (t; y) 在域 R 上，則方程組 dyg(t; y), (t0

3、; t 0 , y0 )y0 的解 存在且惟一。dt13、方程 y (n)f ( x, y, y , , y (n 1) ) 經(jīng)過(guò)變換，可化為含有 n個(gè)未知函數(shù)的一階微分方程組。14、方程 y4 y 0 的基本解組是15 、向量函數(shù)組 Y1 (x), Y2 ( x), , Yn (x) 在區(qū)間 I上線性相關(guān)的1 / 6_條件是在區(qū)間 I 上它們的朗斯基行列式W (x)0 16、若 (t) 是常系數(shù)線性方程組 dXA(t ) X 的 基解矩陣 ,則該方程dt滿足初始條件(t0 )的解 (t ) =_17、 n 階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)維線性空間18、方程稱為黎卡提方程。19、如果 f

4、(x, y) 在 R 上：，則方程dy存在唯一的解 y( x) 定義于區(qū)間 x x0h 上，連續(xù)且滿足f ( x, y)dx初始條件( x0 )y0 ，其中 h， M。20、若 xi (t ) (i 1，2， ， n) 是 n 階齊線性方程的 n 個(gè)解，W (t) 為其伏朗斯基行列式，則 W (t ) 滿足一階線性方程。21、方程 M ( x, y) dx N ( x, y)dy 0 有只含 x 的積分因子的充要條件是。其積分因子為：；有只含 y 的積分因子的充要條件是，其積分因子為：。22、方程稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解（ x）,則經(jīng)過(guò)變換，可化為伯努利方程。23、若 Dd ，而 L(

5、D )D na1 D n 1an 1 Dan （x）、且 L( ) 0dx時(shí)，則：1e x =。L(D)24、若 (t ) 是 n 階非齊線形方程的一個(gè)特解，i (t) （ i 1,2, , n ）是其對(duì)應(yīng)齊線性方程的一個(gè)基本解組，則非齊線形方程的所有解可表為。25、如果 A(t) 是 n×n 矩陣， F (t ) 是 n 維列向量，則它們?cè)?a tb上時(shí)，方程組 dXA(t ) XF (t ) 滿足初始條件dtX (t 0 )的解在 a tb 上存在唯一。26、若 Dd ，而 L(D )D na1D n1an 1D an ，f k (x) 是關(guān)于 x 的dx1k 次多項(xiàng)式 .則當(dāng)

6、L(0)an0時(shí), 有f k(x) Q k ( D ) f k ( x) ，其中 Qk (D)L (D)是 D 的 k 次多項(xiàng)式 ,它是將 L( D ) 按 D 的升冪排列后用通常的多項(xiàng)式除法去除 1,在第步上得到的商式。27、在用皮卡逐步逼近法求方程組dXF (t) ， X (t 0 )的A(t ) Xdt近似解時(shí)，則k (t )。2 / 628、若 y=y1(x)，y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩個(gè)解可把其通解表示為29、線性齊次微分方程組dYA( x)Y 的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能dx多于個(gè)。30、二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y 1 ( x) , y2 (x) 成為

7、其基本解組的充要條件是31、方程 dyx 2 tan y 的所有常數(shù)解是dx32、方程 xsin ydxy cos xdy 0所有常數(shù)解是33、 線性齊次微分方程組的解組Y1 ( x), Y2 ( x), Yn ( x) 為基本解組的條件是它們的朗斯基行列式 W ( x)0 、微分方程 ( dy ) ndyy2x20的階數(shù)是 _34dxdx35、對(duì)于任意的 (x, y1 ), (x, y2 )R( R 為某一矩形區(qū)域 ),若存在常數(shù) N(N0) 使 _ ,則稱 f ( x, y) 在 R 上關(guān)于 y 滿足李普希茲條件 .36、函數(shù)組 et , e t , e2 t 的伏朗斯基行列式為。37、若

8、矩陣 A 具有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 v1 , v2 , vn ，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為1, 2,n ，那么矩陣(t ) =線性方程組 dXAX 的一個(gè)基解矩陣。dt38 、 設(shè) (t) 是 方 程 組 dXA(t) X的基本解矩陣，(t) 為dXdt的某一解，則它的任一解都可表為。A(t ) X F (t)dt39、方程稱為變量分離方程 ,它有積分因子。40、若 (t ) 是 dXA(t) X的基解矩陣，則向量函數(shù)dt(t) =是 dXA(t) XF (t) 的滿足初始條件(t0 ) 0的解；dt是 dX向量函數(shù)(t) =A(t ) XF (t) 的dt滿足初始條件 (t0 )的解。41

9、、方程 ( dr )31d 22r是階方程。dsds42、方程 xx xx0 是階方程。43、函數(shù)滿足的一階方程是。3 / 644、函數(shù)45、方程46、方程滿足的一階方程是。ydx xdy 的通解為。dy。p( x) y 0 的通解為dx47、齊次方程 dyg( y ) 經(jīng)過(guò)變換可化為變量分離dxx方程。48、設(shè) ( x) 是一階線性齊次方程 dyp( x) y0 于區(qū)間 I 上的解。若dx存在某點(diǎn) x0I ，有 ( x0 )0 ，則。49、方程 xdyydx0 的通解為：。50、方程xdy ydx0 的通解為：。x251、方程xdyydx0的通解為：。y 252、方程xdyydx0的通解為：

10、。xy53、方程xdyydx0的通解為：。x2y254、方程的積分因子為：。55、方程 dyexy 的積分因子為：。dx56、方程的左端可以因式分解為：，從而得到兩個(gè)方程與，原方程的解有和。57、方程稱為克萊洛方程，它的通解為：。58 、設(shè) x0I ， Y1 ( x),Yn (x) 是區(qū) 間 I 上 (LH) 的 n個(gè)解，則Y1 (x), ,Yn ( x) 在 區(qū) 間 I 上 線 性相 關(guān) 的條件是向量組Y1 (x0 ),Yn ( x0 ) 線性相關(guān) .59、設(shè)( x) 是(LH) 的任一基本解矩陣， 則 (LH) 的標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣是.60、 非齊線性次方程組 (NH) 的任意兩個(gè)解之差都是的

11、解 .填空題參考答案（每空3 分）1. MN ,U ( x, y)xM ( s, y)dsN (x0 ,t )dt , 或yyxx0y0（ ，x（ ，）y（ ，）；U）MdsNdtx yx0s y0x ty04 / 62.dyxf ( x) g( x) ； 3. y(x) y0x0dxf (t, y(t)dt ； 4.yC( x)( x) ；5. 它們的朗斯基行列式W(x)不為零；6.n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解；7.8.exp(Ax)(x)1 (0),dyf ( x) ，ep ( x) dx， y ep (x) dxf ( x)ep( x) dxp(x) y(Cdx),dx9.yC11 (x)C2 2

12、( x)x01 (t )2 (x)1 (x)2 (t ) f (t )dt ；x1 (t)2 (t )1 (t )2 (t)10.x n D n ya1 x n1D n 1 yan 1 xDyan y 0；11.存在非奇異矩陣 A,使得1 ( x)2 ( x) A, xI ；12.連續(xù)且關(guān)于 y 滿足李氏條件；13. yy1 , y y2 , y( n 1)yn 1 ；14.cos x, sin x ；15. 充分； 16.(t)1 (t 0 )；17.n ；18.yp(x) y 2q( x) yr (x) ；19.連續(xù)且關(guān)于 y 滿足李氏條件， h0min( a,b ) ， Mmaxf (x

13、, y)；M( x , y) R20.dW (t )(t )W (t)； 21.只 與x有 關(guān) ，dta1；只與 y有關(guān)，e x；22.yp(x) y 2q( x) yr (x) ， y( x)z ；23.1e x；L(D)L( )24.C11 (t )Cn n (t)(t ) ；25.連續(xù)； 26.k 1；27.k ( x)xF (t ) dt ；28. (C1) y1 ( x) Cy2 (x) ； 29.n ；Y0 x0 ( A(t ) k 1 (t)30.線性無(wú)關(guān)； 31. yk, k0,1, 2,；32.yk, x k, k0,1,2,；33. 充要； 34.一；2ete te2t35.f ( x, y1 )f ( x, y2 )N y1y2；36.ete t2e2tete t4e2t37.e 1t1, e 2t2 , , e ntn；38.(t)C(t ) ；39.dydx40.t(t )1 (s)F ( s)ds ， (t)1(t 0 )t(t )1 ( s) F (s)dst 0t 06e2 t ；f (x) g( y) ，1；g ( y). 41.二； 42.三；43.dy3 x 2x ；44.2xdx2 xdy 2 ydy 0 ；45.