CH03剛體力學基礎1

1、第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎什么因素影響物體轉動的狀態(tài)？什么因素影響物體轉動的狀態(tài)？如何運動？如何運動？如何旋轉？如何旋轉？輪為什么不倒下？輪為什么不倒下？與物體本身結構有關與物體本身結構有關與物體所處狀態(tài)有關與物體所處狀態(tài)有關第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎2 2剛體剛體：在外力作用下，形：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物狀和大小都不發(fā)生變化的物體體. .（任意兩質點間距離保（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）持不變的特殊質點組）3.1 剛體運動的描述剛體運動的描述3.1.1 剛體剛體通常

2、把剛體分成許多部分，通常把剛體分成許多部分，每一部分都小到可看作質點，每一部分都小到可看作質點，叫作剛體的叫作剛體的質元質元各質元間各質元間的距離保持不變的質點系叫的距離保持不變的質點系叫作作不變質點系不變質點系一一 剛體的引入剛體的引入質點的自由度質點的自由度 一維運動一維運動 x i=1 二維運動二維運動 x,y i=2 三維運動三維運動 x,y,z i=3定義：定義：確定一個物體的空間確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐位置所需要的獨立坐標數(shù)目標數(shù)目自由度自由度(i)。3.1.2.剛體自由度剛體自由度質點質點質點系質點系剛體剛體集合集合特例特例第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章

3、第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎 當剛體受到某些限制當剛體受到某些限制 自由度減少自由度減少質點的自由度質點的自由度一維運動一維運動 x i=1二維運動二維運動 x,y i=2三維運動三維運動 x,y,z i=3定義：定義：確定一個物體的空間確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐位置所需要的獨立坐標數(shù)目標數(shù)目自由度自由度(i)。自由剛體自由剛體i=6 3 3個平動個平動 3 3個轉動個轉動3.1.2.剛體自由度剛體自由度第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎4 42.2.剛體的轉動剛體的轉動：剛體中所有：剛體中所有點都繞同一直線做圓周運動點都繞同一直線做圓周

4、運動分類：分類：定軸轉動和非定軸轉定軸轉動和非定軸轉動動 . .平動、轉動平動、轉動. .平動轉動平動轉動1.1.剛體的平動剛體的平動：若剛體中：若剛體中所有點的運動軌跡都保持所有點的運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點間的連線總是平任意兩點間的連線總是平行于它們的初始位置間的行于它們的初始位置間的連線連線. .剛體平動剛體平動 質點運動質點運動3.1.3 剛體運動的幾種形式剛體運動的幾種形式定軸轉動：定軸轉動：轉軸固定不動轉軸固定不動的轉動的轉動.平面平行運動平面平行運動 剛體在剛體在運動過程中，其上每一點運動過程中，其上每一點都在與某固定平面相平行都在與某固定

5、平面相平行的平面內(nèi)運動的平面內(nèi)運動.自由度為自由度為3.第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎定點轉動定點轉動當剛體上某一點固定時，當剛體上某一點固定時，剛體只能繞該點轉動剛體只能繞該點轉動.自由自由度為度為3.一般運動一般運動剛體的一般運動可以看成剛體的一般運動可以看成是隨剛體上某一點（如質是隨剛體上某一點（如質心）的移動和繞該點的轉心）的移動和繞該點的轉動的組合動的組合自由度為自由度為6.2.2.剛體的轉動剛體的轉動：剛體中所有：剛體中所有點都繞同一直線做圓周運動點都繞同一直線做圓周運動分類：分類：定軸轉動和非定軸轉定軸轉動和非定軸轉動動 . .定軸轉

6、動：定軸轉動：轉軸固定不動轉軸固定不動的轉動的轉動.平面平行運動平面平行運動 剛體在剛體在運動過程中，其上每一點運動過程中，其上每一點都在與某固定平面相平行都在與某固定平面相平行的平面內(nèi)運動的平面內(nèi)運動.自由度為自由度為3.第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎6剛體的一般運動剛體的一般運動質心的平動質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎用角量描述定軸轉動用角量描述定軸轉動轉動平面：轉動平面：定軸轉動剛體定軸轉動剛體上各質點的運動面上各質點的運動面.轉動平面轉動平面定軸定軸剛體定軸轉

7、動的特點：剛體定軸轉動的特點：(1) 轉動平面垂直于轉軸轉動平面垂直于轉軸.的方向均沿軸線的方向均沿軸線.(3) 定軸轉動剛體上各點的角定軸轉動剛體上各點的角速度矢量速度矢量(2) 轉動平面上各點均做圓周轉動平面上各點均做圓周運動，角量相同，線量不同運動，角量相同，線量不同.第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎)srad(22秒秒單單位位：弧弧度度2. 定軸轉動中的基本關系式定軸轉動中的基本關系式角加速度：角加速度：ddt 22dd,ddtt 22n,ararr v 、 是矢量，在定是矢量，在定軸轉動中由于軸的方位不軸轉動中由于軸的方位不變，故用正、負表

8、示其方變，故用正、負表示其方向向.1. 基本物理量基本物理量角坐標角坐標: 單位：弧度（單位：弧度（rad）角位移：角位移：， d角速度的大?。航撬俣鹊拇笮。篸dt 單位：弧度單位：弧度/秒（秒（rad/s）角速度角速度 的方向：的方向：右旋前進方向右旋前進方向)(tPOAvviir若剛體上某質元若剛體上某質元i到轉軸到轉軸的距離為的距離為ri. .則則第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎iR 質元到轉軸的垂直距離質元到轉軸的垂直距離iFizFiFiv只有只有 使剛體使剛體繞繞Z軸轉動軸轉動FiiiFRM 質元對質元對O點的力矩點的力矩質元對軸的力矩：質

9、元對軸的力矩： 在在z軸上的分量軸上的分量iMiiziFrMirizrsiniziiiMrF 3.2 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 角動量守恒定律角動量守恒定律 3.2.1 質元對軸的力矩及角動量質元對軸的力矩及角動量&質元對軸的力矩質元對軸的力矩第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎iR zOLiz的計算的計算ir izrdmiiviLLiz質元到轉軸的垂直距離質元到轉軸的垂直距離質元對點質元對點O 的角動量的角動量iiiivmRLd iiiizvrmLd 質元對軸的角動量質元對軸的角動量&質元對軸的角動量質元對軸的角動量第3章 剛體

10、力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎11 sin=iziiiiiMrFrF 結論：結論：繞定軸轉動的剛繞定軸轉動的剛體的角加速度與作用于體的角加速度與作用于剛體上的剛體上的合外力矩合外力矩成正成正比，與剛體的比，與剛體的轉動慣量轉動慣量成反比成反比. -. -剛體定軸轉剛體定軸轉動的轉動定律動的轉動定律 dM=dizMJJt 定義定義 剛體對定軸的剛體對定軸的轉動慣量轉動慣量2i iJdm r 2iiiidr dm ar dmdt 2d=diidr dmJdtt 3.2.2 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 轉動慣量轉動慣量 1.剛體對軸的力矩剛體對軸的力矩 =所有

11、質點對軸的力矩的代所有質點對軸的力矩的代數(shù)和數(shù)和一一.剛體的定軸轉動定律剛體的定軸轉動定律第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎121222()()ii iiii iiLLdm rdm rJ 剛體對某定軸的角動量等于剛體對某定軸的角動量等于剛體對該軸的轉動慣量與角剛體對該軸的轉動慣量與角速度的乘積方向沿該轉動速度的乘積方向沿該轉動軸，并與這時轉動的角速度軸，并與這時轉動的角速度方向相同方向相同剛體對轉軸的角動量剛體對轉軸的角動量 = =剛體上各質元剛體上各質元對軸對軸的角的角動量之和動量之和2ii iLdm r 2.剛體對軸的角動量剛體對軸的角動量-組成剛

12、體的各質元的組成剛體的各質元的質量與其到轉軸的距離的質量與其到轉軸的距離的平方的乘積之和是剛體平方的乘積之和是剛體轉動時慣性大小的量度轉動時慣性大小的量度3.3.轉動慣量轉動慣量對于單個質點對于單個質點 2Jmr質點系質點系 2i iJmr22ddmmJrmrV若物體質量連續(xù)分布若物體質量連續(xù)分布單位：單位：千克千克米米2 2（kgm2）第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎二二.轉動慣量的計算轉動慣量的計算（2）若質量連續(xù)分布）若質量連續(xù)分布mrJd2線分布面分布體分布lSVmdddd（1）質點系）質點系iiimrJ2由長由長l 的輕桿連接的的輕桿連接的

13、質點如圖所示，求質點系對質點如圖所示，求質點系對過過A垂直于該平面的軸的轉垂直于該平面的軸的轉動慣量動慣量. .llllAmm2m3m4m5222232)2)(54()2(32mllmmlmmlJ解：解：由定義式由定義式iiimrJ2思考：思考：A點移至質量為點移至質量為2m的桿中心的桿中心處處 J=?第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎(2) 軸過一端端點軸過一端端點LoxmdxmxmrJdd22xLmxLd022331031mLLxLm 一長為一長為L的細桿，質量的細桿，質量m均勻分布，求該桿對垂均勻分布，求該桿對垂直于桿，分別過桿的中點和一端端點的

14、軸的轉動慣量直于桿，分別過桿的中點和一端端點的軸的轉動慣量. .解：解：(1) 軸過中點軸過中點2L2Lox在桿上任取在桿上任取dmmdxmxmrJdd2222223231dLLLLxLmxLmx2331218831mLLLLm第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎 求質量求質量 m ,半徑半徑 R 的圓的圓環(huán)對中心垂直軸的轉動慣量環(huán)對中心垂直軸的轉動慣量.: 圓環(huán)上取圓環(huán)上取 微元微元dm2022ddmRmRmrJm思考思考1. 環(huán)上加一質量為環(huán)上加一質量為m1 的質點的質點, J1 =? RO思考思考2. 環(huán)上有一個環(huán)上有一個 x的缺口，的缺口， J2

15、=?RO xdmm1 求質量求質量 m , 半徑半徑 R 的的均勻圓盤對中心垂直軸的均勻圓盤對中心垂直軸的轉動慣量轉動慣量.: 圓盤上取半徑為圓盤上取半徑為r寬度寬度dr的的圓環(huán)作為質量元圓環(huán)作為質量元dmROrdrOmrJmRJdd22環(huán)SmddrrRmd22rrRmrJd222rrRmRd2032221mR x2121 RmmRJ2222xRRmmRJ第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎對同軸的轉動對同軸的轉動慣量才具有可加減性慣量才具有可加減性. 平行軸定理平行軸定理: 若剛體對過質若剛體對過質心的軸的轉動慣量為心的軸的轉動慣量為Jc，則，則剛體對

16、與該軸相距為剛體對與該軸相距為d 的平的平行軸行軸z的轉動慣量的轉動慣量Jz是是mJzJc2mdJJcz2221mRmRJz223mR正交軸定理正交軸定理 對平面剛體對平面剛體ozyxyxzJJJ質量有關質量有關質量分布有關質量分布有關轉軸位置有關轉軸位置有關(3)轉動慣量與轉動慣量與第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎幾種常見剛體轉動慣量幾種常見剛體轉動慣量 圓環(huán)轉軸通過圓環(huán)轉軸通過中心與盤面垂直中心與盤面垂直r2mrJ圓環(huán)轉軸沿直徑圓環(huán)轉軸沿直徑r221mrJ幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉動慣量，由實驗測定動慣量，由實驗測定.r2r

17、1圓筒轉軸沿幾何軸圓筒轉軸沿幾何軸)(212221rrmJ 薄圓盤轉軸通薄圓盤轉軸通過中心與盤面垂直過中心與盤面垂直221mrJr第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎lr 圓柱體轉圓柱體轉軸沿幾何軸軸沿幾何軸221mrJlr 圓柱體轉軸通過圓柱體轉軸通過中心與幾何軸垂直中心與幾何軸垂直12422mlmrJl 細棒轉軸通細棒轉軸通過中心與棒垂直過中心與棒垂直122mlJl 細棒轉軸通過細棒轉軸通過端點與棒垂直端點與棒垂直32mlJ2r球體轉軸沿直徑球體轉軸沿直徑522mrJ2r球殼轉軸沿直徑球殼轉軸沿直徑322mrJ第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第

18、三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎MJ M 的符號：的符號：使剛體向規(guī)定的使剛體向規(guī)定的 正方向轉動的力矩為正正方向轉動的力矩為正(3) 為瞬時關系為瞬時關系(1) 與與 方向相同方向相同 M說明說明(2) 、 JM對同一軸對同一軸 (4) (4) 轉動中轉動中 與與 平動中平動中 地位相同地位相同maF JM 討論討論JM（1）tJJMdd（2）（3） =常量常量M，0三三. 剛體定軸轉動定律的應用剛體定軸轉動定律的應用m 是物體平動慣性的量度是物體平動慣性的量度J 是物體轉動慣性的量度是物體轉動慣性的量度第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎例例3.

19、43.4有一根有一根長為長為l，質量為質量為m的均勻細棒的均勻細棒OA，可繞上，可繞上端光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉動端光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉動. .最初棒靜止在水平位最初棒靜止在水平位置，求它由此自由下擺到與水平位置成置，求它由此自由下擺到與水平位置成 角時的角加速角時的角加速度和角速度度和角速度. .(2)(2)d3 cosd2dddgtddtdl解解(1)(1) ，故由轉動定律有故由轉動定律有 1cos2Mm gl3 cos2MgJl3 cos3 sin=2ggddll 即第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎 質量為質量為M =16kg的實的實心滑輪

20、，半徑為心滑輪，半徑為R =0.15m. .一一根細繩繞在滑輪上，一端掛根細繩繞在滑輪上，一端掛一質量為一質量為m=8kg的物體的物體. .設細設細繩不伸長且與滑輪間無相對繩不伸長且與滑輪間無相對滑動，求：滑動，求：(1) (1) 由靜止開始由靜止開始1 1秒鐘后，物體下降的距離秒鐘后，物體下降的距離. .(2) (2) 繩子的張力繩子的張力. .解解對輪、物受力分析如圖對輪、物受力分析如圖2sm5881082Mmmgam5 . 215212122athN4051621TMmmgTMgNRaMRJTR221由轉動定律由轉動定律maTmg由牛頓定律由牛頓定律拓展拓展mMm1m2RT1T2m1gm

21、2gm2 m1MgNJRTRTamgmTamTgm12111222RaMRJ221拓展：拓展：第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎JRTRTamgmTamTgm12111222RaMRJ221m2MT1T2m2gRm1m1gN1N2MgJRTRTamTamTgm1211222RaMRJ221mMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1MgN拓展拓展mm1m2R1T1T2m1gM2 gM1R2M2JRTRTamgmTamTgm22112222111122112222112121RaRaRMRMJ第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基

22、礎剛體力學基礎 一半徑為一半徑為R、質量為、質量為m的的均勻圓盤平放在粗糙的水平面均勻圓盤平放在粗糙的水平面上上.若它的初速度為若它的初速度為 0，繞中心，繞中心O旋轉，問經(jīng)過多長時間圓盤旋轉，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止才停止.(設摩擦系數(shù)為設摩擦系數(shù)為 )ORdrr解：解：考察半徑為考察半徑為r寬度為寬度為dr的圓環(huán)的圓環(huán)rmgrFMddd22d2d2dRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022摩擦力矩為摩擦力矩為: 由轉動定律由轉動定律tJMddtmRmgRdd21322d43dgRt000d43dgRttgRt430第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學

23、第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎剛體對剛體對z軸的總角動量為軸的總角動量為zLJ zzLJtMd)d(d-角動量定理的微分形式角動量定理的微分形式.ttztM0d稱為稱為沖量矩沖量矩又稱又稱角沖量角沖量11221221dJJLLtMttz剛體的角動量定理：剛體的角動量定理：剛體剛體在在t1t2時間內(nèi)所受合外力時間內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于該段時間矩的沖量矩等于該段時間內(nèi)剛體角動量的增量內(nèi)剛體角動量的增量.3.2.3 剛體定軸轉動的角動量和角動量定理剛體定軸轉動的角動量和角動量定理dd()ddzzLJMJtt 3.2.4 定軸轉動剛體角動定軸轉動剛體角動量守恒定律量守恒定律角動量守恒定律：

24、角動量守恒定律：剛體剛體所受合外力矩為零，則所受合外力矩為零，則剛體的角動量保持不變剛體的角動量保持不變.2211JJ 恒恒量量時時，當當： JLMzz0第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎3.2.4 定軸轉動剛體角動量守恒定律定軸轉動剛體角動量守恒定律角動量守恒定律：角動量守恒定律：剛體剛體所受合外力矩為零，則所受合外力矩為零，則剛體的角動量保持不變剛體的角動量保持不變.2211JJ 對有幾個物體或質點構對有幾個物體或質點構成的系統(tǒng)，若整個系統(tǒng)所成的系統(tǒng)，若整個系統(tǒng)所受對同一轉軸的合外力矩受對同一轉軸的合外力矩為零，則整個物體系對該為零，則整個物體系對

25、該轉軸的總角動量守恒轉軸的總角動量守恒.下面看幾個角動量守恒實例下面看幾個角動量守恒實例恒恒量量時時，當當： JLMzz0第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎 J 可變，可變， 亦可變，但仍亦可變，但仍有有J=常數(shù)，故有常數(shù)，故有 J1 第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎回轉儀定向原理回轉儀定向原理萬萬向向支支架架回轉儀定向原理回轉儀定向原理其中轉動慣量其中轉動慣量為常量為常量若將回轉體轉軸指向任一方向若將回轉體轉軸指向任一方向使其以角速度使其以角速度 高速旋轉高速旋轉則轉軸將保持該方向不變則轉軸將保持該方向不變

26、而不會受基座改向的影響而不會受基座改向的影響基基 座座回轉體回轉體 （轉動慣量（轉動慣量 ）受合外力矩為零受合外力矩為零回轉體質量呈軸對稱分布；回轉體質量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒角動量守恒恒矢量恒矢量第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎克服直升飛機機身反轉的措施：克服直升飛機機身反轉的措施：裝置尾漿推動大裝置尾漿推動大氣產(chǎn)生克服機身氣產(chǎn)生克服機身反轉的力矩反轉的力矩裝置反向轉動的雙裝置反向轉動的雙旋翼產(chǎn)生反向角動旋翼產(chǎn)生反向角動量而相互

27、抵消量而相互抵消第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎3030例例3-8. 3-8. 在工程上，兩飛輪常用在工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉摩擦嚙合器使它們以相同的轉速一起轉動如圖所示，速一起轉動如圖所示，A和和B兩飛輪的軸桿在同一中心線兩飛輪的軸桿在同一中心線上上A輪的轉動慣量為輪的轉動慣量為JA10 kgm2，B輪的轉動慣量為輪的轉動慣量為JB20 kgm2，開始時開始時A輪每分鐘的輪每分鐘的轉速為轉速為600600轉，轉，B B輪靜止輪靜止C為摩為摩擦嚙合器求兩輪嚙合后的轉擦嚙合器求兩輪嚙合后的轉速，在嚙合過程中，兩輪的機速，在嚙合過程中

28、，兩輪的機械能有何變化？械能有何變化？AAAB= ()JJJ解解 系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)所受合外力矩為零，所以系統(tǒng)的角動量守恒所以系統(tǒng)的角動量守恒，即即為兩輪嚙合后的共同角為兩輪嚙合后的共同角速度，速度，AAAB20.9 rad/JsJJ22AAAB411()221.32 10 JEJJJ 在嚙合過程中，摩擦力矩在嚙合過程中，摩擦力矩做功，機械能不守恒，損做功，機械能不守恒，損失的機械能轉化為內(nèi)失的機械能轉化為內(nèi)能損失的機械能為能損失的機械能為第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎1. 剛體定軸轉動的動能剛體定軸轉動的動能(1) 質元動能質元動能222

29、1122iii idmdm r v(2) 剛體的總動能：剛體的總動能： 2222k211221=2i ii iEdm rdm rJ 2k21JE 3-3 剛體的能量剛體的能量 miziriv轉動動能：轉動動能：3.3.1 剛體定軸轉動的動剛體定軸轉動的動能和動能定理能和動能定理diM cosiiiiiidWFdrFdr iiids)2sin(F sinii iFrd 2.2.力矩的功力矩的功 對于受外力對于受外力 Fi 作用的質點作用的質點i,外力所做的微元功外力所做的微元功 第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎3232diM d()ddiWMM 21d

30、WM 剛體所受力矩的功剛體所受力矩的功對于受外力對于受外力 Fi 作用的質點作用的質點I,外力所做的微元功外力所做的微元功 cosiiiiiidWFdrFdr iiids)2sin(F sinii iFrd 對于所有質點，外力所做的對于所有質點，外力所做的微元功微元功2.2.力矩的功力矩的功 3.剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理dddWM J21222111dd22WWJJJ 合外力矩對一個做合外力矩對一個做定軸定軸轉動的剛體所做的功等于它轉動的剛體所做的功等于它對對該軸該軸的轉動動能的增量的轉動動能的增量.ddddddddMJJJtt 第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章

31、第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎3.3.2 剛體的重力勢能剛體的重力勢能1. 剛體的重力勢能剛體的重力勢能所有質元的重力勢能之和所有質元的重力勢能之和PiiEm gz iim zmgm cmgz 剛體的重力勢能應剛體的重力勢能應等于質量集中于質心的重等于質量集中于質心的重力勢能力勢能2. 剛體的機械能剛體的機械能212cEJmgh 3.剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理dddWM J21222111dd22WWJJJ 合外力矩對一個做合外力矩對一個做定軸定軸轉動的剛體所做的功等于它轉動的剛體所做的功等于它對對該軸該軸的轉動動能的增量的轉動動能的增量.ddddddddMJJJtt 第3

32、章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎343460cos d24 GllWmgmg222600111cos d2222 GlWmgJJJ解解：棒受力如圖：用兩種方法解：棒受力如圖：用兩種方法解由轉動動能定理由轉動動能定理213Jml32gl例例3.83.8有一根有一根長為長為l，質量為質量為m的均勻細棒的均勻細棒OA，可繞上端，可繞上端光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉動光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉動. .最初棒靜止在水平位置，最初棒靜止在水平位置，求它由此自由下擺到與水平位置成求它由此自由下擺到與水平位置成 角時的角速度角時的角速度. .用機械能守恒定律解用機械能守恒定律

33、解第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎解此題可分解為三個簡單過程：解此題可分解為三個簡單過程：(1)棒由水平位置下擺至豎直位棒由水平位置下擺至豎直位置但尚未與物塊相碰置但尚未與物塊相碰.此此過程機過程機械能守恒械能守恒.以以棒、地球為一系統(tǒng)棒、地球為一系統(tǒng)，以棒的重心在豎直位置時為重以棒的重心在豎直位置時為重力勢能零點力勢能零點，則有，則有例例3.93.9如圖，質量為如圖，質量為m，長，長為為l的均勻細棒，可繞過其的均勻細棒，可繞過其一端的水平軸一端的水平軸O轉動轉動. .現(xiàn)將現(xiàn)將棒拉到水平位置棒拉到水平位置(OA)后放后放手，棒下擺到豎直位置手，棒下擺

34、到豎直位置( (OA) )時，與靜止放置在水時，與靜止放置在水平面平面A處的質量為處的質量為M的物塊的物塊作完全彈性碰撞，物體在作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段水平面上向右滑行了一段距離距離s后停止后停止. .設物體與水設物體與水平面間的摩擦系數(shù)平面間的摩擦系數(shù)處處相處處相同，求證同，求證226m(m3M) sl22211226lmgIml第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎(2)棒與物塊作棒與物塊作完全彈性碰撞完全彈性碰撞，此過程，此過程角動量守恒角動量守恒(并非動量守恒并非動量守恒)和和機械能守恒機械能守恒，設碰撞后棒的角速度為，設碰撞后

35、棒的角速度為，物塊速度為，物塊速度為v，則有，則有(3)(3)碰撞后物塊在水平面滑行，其滿足碰撞后物塊在水平面滑行，其滿足動能定理動能定理221133mlmllMv2222 21111123232mlmlMv 2102mgsMv聯(lián)立以上四式，即可證得：聯(lián)立以上四式，即可證得：226m(m3M) sl第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎解：解：角動量守恒角動量守恒2231maMlamv機械能守恒機械能守恒2223121 maMl22323261maMlmaMlgmav 一長為一長為l、質量為、質量為M的桿可繞支的桿可繞支點點O自由轉動自由轉動.一質量為一質

36、量為m、速度為、速度為v 的的子彈射入距支點為子彈射入距支點為a的棒內(nèi)的棒內(nèi).若棒偏轉角若棒偏轉角為為 30o , 問子彈的初速度是多少？問子彈的初速度是多少？ Ovao3030cos1mga30cos12lMg解得解得P76例例3-7第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎avmlMmva231oav3030v30cos12312122lMglMoav303030cos1230cos13121222lMgmgamalM2231cosmalMmva第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力

37、學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎貓尾巴的功能貓尾巴的功能 貓掉下，四腳朝天，脊背朝地貓掉下，四腳朝天，脊背朝地會摔死會摔死.注意：注意：貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉向地面，當貓狠狠地甩了一下尾巴，結果，四腳轉向地面，當它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊它著地時，四腳伸直，通過下蹲，緩解了沖擊.第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎3-4 陀螺的運動陀螺的運動 進動進動 進動進動(precession)：高速自轉的高速自轉的物體其自身對稱軸繞豎直軸做回物體其自身對稱軸繞豎直軸做回旋運動旋運動.陀螺陀螺(top)運動運動第3章 剛體力學基礎

38、第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎設陀螺質量為設陀螺質量為m，以角速度，以角速度 自轉自轉重力對固定點重力對固定點O的力矩：的力矩：gmrMsinmgrM 方向沿方向沿c點切向點切向繞自身軸轉動的角動量：繞自身軸轉動的角動量：rJL角動量定理的微分式：角動量定理的微分式：tMLdd陀螺陀螺(top)運動分析：運動分析：LOcr mgMdsindsindJLLtmgrtMLdsinddJmgrtdd進動角速度進動角速度d 結論：結論：進動現(xiàn)象是進動現(xiàn)象是自旋自旋(spin)的物體的物體在外力距作用下，沿外力矩方向不斷在外力距作用下，沿外力矩方向不斷改變其自旋角動量方向的結果

39、改變其自旋角動量方向的結果. LOLdLLdd 第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎 一質量為一質量為m，長為，長為l 的均質的均質細桿，可繞垂直于水平面、穿過細桿，可繞垂直于水平面、穿過O點的轉軸轉動，轉軸距點的轉軸轉動，轉軸距A 端端l/3.今使今使棒從靜止開始由水平位置繞棒從靜止開始由水平位置繞 O點轉點轉動，求：動，求：(1) 水平位置的角速度和角水平位置的角速度和角加速度加速度.(2) 垂直位置時的角速度和垂直位置時的角速度和角加速度角加速度.222916121mllmmlJO(1)00lgmlmglJMO23962OBA解：解：已知已知212

40、1mlJcc2mdJJco由平行軸定理由平行軸定理由轉動定律由轉動定律(2)垂直時，力矩為零垂直時，力矩為零.故故0設棒在任意時刻位置如圖設棒在任意時刻位置如圖 mgtJMdd由轉動定律由轉動定律tmllmgdd91cos62dd912mldcos23dlgdcos23d200lglg3第3章 剛體力學基礎第2章 質點動力學第三章第三章 剛體力學基礎剛體力學基礎. 一半徑為一半徑為R、質量為、質量為 M 的轉的轉臺，可繞通過其中心的豎直軸轉動臺，可繞通過其中心的豎直軸轉動, 質量為質量為m 的人站在轉臺邊緣，最的人站在轉臺邊緣，最初人和轉臺都靜止初人和轉臺都靜止.若人沿轉臺邊若人沿轉臺邊緣跑一周緣跑一周(不計阻力不計阻力)，相對于地面，相對于地面，人和臺各轉了多少角度？，人和臺各轉了多少角度？R軸對轉盤軸對轉盤的摩擦力的摩擦力矩可忽略矩可忽略選地面為參考系，設對轉軸選地面為參考系，設對轉軸人：人：J , ; 臺：臺：J , 系統(tǒng)對轉軸角動量守恒系統(tǒng)對轉軸角動量守恒0JJ其中其中2221MRJmRJMm2得得人對轉臺的角速度為：人對轉臺的角速度為：MmM2 人沿轉臺邊人沿轉臺邊緣跑一周緣跑一周