選修11拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)教案

1、第 1 頁 適用學(xué)科 高中數(shù)學(xué) 適用年級 高二 適用區(qū)域 蘇教版區(qū)域 課時時長（分鐘） 2課時 知識點 拋物線的標準方程和幾何性質(zhì) 教學(xué)目標 1.掌握拋物線的標準方程，會求拋物線的標準方程(重點) 2掌握拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)(重點) 教學(xué)重點 1拋物線標準方程與定義的應(yīng)用(難點) 2會用拋物線的幾何性質(zhì)處理簡單問題(難點) 教學(xué)難點 1拋物線標準方程、準線、焦點的應(yīng)用(易錯點) 2直線與拋物線的公共點問題(易錯點) 【教學(xué)建議】 本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線之后，學(xué)生在學(xué)習(xí)方法上已經(jīng)有了一定的經(jīng)驗，所以教師可以讓學(xué)生嘗試自主學(xué)習(xí)，探究拋物線的定義和方程的推導(dǎo)過程。自己來總結(jié)幾何性質(zhì)。 【

2、知識導(dǎo)圖】 類型 y22px(p>0) 考點1 拋物線的標準方程和y22px(p>0) x22py (p>0) x22py(p>0) 1.教材整理 拋物線的標準方程 2.教材整理1 拋物線的幾何性質(zhì) 閱讀教材P52表格的部分，完成下列問題. 3. 拋物線標準方程的推導(dǎo) 4. P的幾何意義 教學(xué)過程 二、知識講解 一、導(dǎo)入 第 2 頁 閱讀教材P52例1上面的部分，完成下列問題 拋物線的焦點弦即為過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦弦長公式為12ABxxp?，在所有的焦點弦中以垂直于對稱軸的焦點弦的弦長最短，002ABp? 稱為拋物線的通徑 考點2 拋物線的焦點弦 ?1x?

3、222121xyy?2212kxx?14xx 類型一 求拋物線的焦點及準線 (1)拋物線2230yx?的焦點坐標是_準線方程是_ (2)若拋物線的方程為?20yaxa?，則拋物線的焦點坐標為_，準線方程為_ 【解析】(1)拋物線2y23x0的標準方程是y232x， 2p32，p34，p238，焦點坐標是?38，0，準線方程是x38. 圖象 性 質(zhì) 焦點 ,02pF? ,02pF? 0,2pF? 0,2pF? 準線 xp2 xp2 yp2 yp2 范圍 xyR x0， yR xR， y0 xR， y0 對稱軸 x軸 y軸 頂點 O(0,0) 離心率 e1 開口方向 向右 向左 向上 向下 三 、

4、例題精析 例題1 第 3 頁 (2)拋物線方程yax2(a0)化為標準形式：x21 ay， 當a>0時，則2p1a，解得p1 2a，p21 4a，焦點坐標是?0，1 4a，準線方程是y1 4a. 當a<0時，則2p1a，p21 4a. 焦點坐標是?0，1 4a，準線方程是y1 4a， 綜上，焦點坐標是?0，1 4a，準線方程是y1 4a. 【答案】 (1)?38，0 x3 8；(2)?0，1 4a y1 求拋物線的焦點及準線步驟 1把解析式化為拋物線標準方程形式 2明確拋物線開口方向 3求出拋物線標準方程中p的值 4寫出拋物線的焦點坐標或準線方程 類型二 ：求拋物線的標準方程 根據(jù)

5、下列條件確定拋物線的標準方程 (1)關(guān)于y軸對稱且過點(1,3)； (2)過點(4,8)； (3)焦點在x2y40上 【精彩點撥】 (1)用待定系數(shù)法求解；(2)因焦點位置不確定，需分類討論求解；(3)焦點是直線x2y40與坐標軸的交點，應(yīng)先求交點再寫方程 【解析】 (1)法一：設(shè)所求拋物線方程為x22py(p>0)，將點(1，3)的坐標代入方程，得(1)22p·(3)，解得p16，所以所求拋物線方程為x213y. 法二：由已知，拋物線的焦點在y軸上，因此設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)又拋物線過點()1，3，所以1m·(3)，即m13，所以所求拋物線方程為x213y

6、. 例題2 第 4 頁 (2)法一：設(shè)所求拋物線方程為y22px(p>0)或x22py(p>0)，將點(4，8) 的坐標代入y22px，得p8；將點(4，8)的坐標代入x22py，得p1.所以所求拋物線方程為y216x或x22y. 法二：當焦點在x軸上時，設(shè)拋物線的方程為y2nx(n0)，又拋物線過點(4，8)，所以644·n，即n16，拋物線的方程為y216x；當焦點在y軸上時，設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)，又拋物線過點(4，8)，所以168m，即m2，拋物線的方程為 x22y. 綜上，拋物線的標準方程為y216x或x22y. (3)由? x0，x2y40，得? x

7、0，y2，由? y0，x2y40，得? y0，x4. 所以所求拋物線的焦點坐標為(0，2)或(4,0)當焦點為(0，2)時，由p22，得p4，所以所求拋物線方程為x28y；當焦點為(4,0)時，由p24，得p8，所以所求拋物線方程為y216x.綜上所述，所求拋物線方程為x28y或y216x. 【總結(jié)與反思】 求拋物線的標準方程 求拋物線方程都是先定位，即根據(jù)題中條件確定拋物線的焦點位置；后定量，即求出方程中的p值，從而求出方程 (1)定義法：先判定所求點的軌跡是否符合拋物線的定義，進而求出方程 (2)待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定參數(shù)值 對于對稱軸確定，開口方向也確定的拋

8、物線，根據(jù)題設(shè)中的條件設(shè)出其標準方程： ?222220,20,20,20ypxpypxpxpypxpxp?進行求解，關(guān)鍵是能夠依據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)首先確定出拋物線方程的形式，然后采用待定系數(shù)法求出其標準方程 對于對稱軸確定，而開口方向不確定的拋物線： 當焦點在x軸上時，可將拋物線方程設(shè)為?20yaxa?； 第 5 頁 當焦點在y軸上時，可將拋物線方程設(shè)為?20xaya?，再根據(jù)條件求a. 類型三 拋物線的標準方程及定義的應(yīng)用 (1)設(shè)P 是曲線y24x上的一個動點，求點P到點B(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值 (2)已知拋物線y22x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A

9、(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取得最小值時點P的坐標 【解析】 (1)拋物線的頂點為O(0,0)，p2，準線方程為x1，焦點F坐標為(1,0)，點P到點B(1,1)的距離與點P到準線x1的距離之和等于PBPF.如圖，PBPFBF，當B，P，F(xiàn)三點共線時取得最小值，此時BF5. (2)將x3代入拋物線方程y22x，得y±6. 6>2，A在拋物線內(nèi)部 設(shè)拋物線上點P到準線l：x12的距離為d，由定義知PAPFPAd.由圖可知，當APl時，PAd最小，最小值為72，即PAPF的最小值為72，此時點P的縱坐標為2，代入y22x，得x2，點P的坐標為(2,2) 【總結(jié)與反思】 (

10、1)把點P到準線的距離轉(zhuǎn)化為點P到焦點F的距離，利用PBPFBF求解(2)把點P到焦點F的距離轉(zhuǎn)化為點P到準線的距離，利用垂線段時最短求解 類型四：拋物線的幾何性質(zhì) (1)已知雙曲線1C：?222210,0xyabab?的離心率為2.若拋物線?22:20Cxpyp?的焦點到雙曲線1C的漸近線的距離為2，則拋物線2C的方程為_ 例題3 例題4 第 6 頁 (2)已知拋物線的焦點F在x軸正半軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O是坐標原點，若OAB的面積等于4，則此拋物線的標準方程為_ 【自主解答】 (1)雙曲線1C :?222210,0xyabab?的離心率為2， 雙曲線的漸

11、近線方程為30xy?，拋物線2C：?220xpyp? 的焦點0,2p?到雙曲線的漸近線的距離為 ? 3×0±p222，p8.所求的拋物線方程為216xy?. (2)不妨設(shè)拋物線的方程為22ypx?，如圖所示，AB是拋物線的通徑，AB2p，又OF 1 2p ，2111124222222OABSABOFpppp? 所以拋物線的方程為242yx? 【答案】 (1) 216xy?； (2) 242yx ? 類型五 拋物線的最值問題 例題 求拋物線yx2上的點到直線4x3y80的最小距離. 【精彩點撥】 本題的解法有兩種：法一，設(shè)P(t，t2)為拋物線上一點，點P到直線的距離為d|4

12、t 3t28|5，再利用二次函數(shù)求最小距離；法二，設(shè)直線4x3ym0與直線4x3y80平行且與拋物線相切，求出m的值后，再利用兩平行線間的距離公式求最小距離 【解析】 法一：設(shè)P(t，t2)為拋物線上的點， 它到直線4x3y80的距離 d|4t 3t28|5|3t 24t8|5 當t2 3時，d有最小值43. 第 7 頁 法二：如圖，設(shè)與直線4x3y80平行的拋物線的切線方程為4x3ym0， 由? yx2，4x3ym0，消去y得3x24xm0，1612m0，m4 3. 最小距離為?843 520 3 543. 類型六 拋物線的焦點弦 已知過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線交拋物線

13、于A，B兩點，且AB52p，求AB所在的直線方程 【精彩點撥】 求AB所在直線的方程的關(guān)鍵是確定直線的斜率k，利用直線AB過焦點F，ABx1x2p52p求解 【解析】 由題意可知，拋物線y22px(p>0)的準線為xp2. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到拋物線準線的距離分別為dA，dB. 由拋物線的定義，知AFdAx1p2，BFdBx2p2， 于是ABx1x2p52p，x1x232p. 當x1x2p2時，AB2p<52p， 故直線AB與x軸不垂直 設(shè)直線AB的方程為2pykx? 由222pykxypx?，?222221204kxpkxkp? 故直線AB的方程為222

14、pyxxp?或222pyxxp? 類型七 直線和拋物線的位置關(guān)系 例題6 第 8 頁 求過定點P(0,1)且與拋物線y22x只有一個公共點的直線方程 【教學(xué)點撥】 當直線和拋物線只有一個公共點時，應(yīng)該有兩種情況：一是直線和拋物線相切；二是直線與拋物線的對稱軸平行，容易忽略的是第二種情況，還有第一種情況中應(yīng)考慮斜率不存在的情形 【解析】 若直線的斜率不存在，則過點P(0,1)的直線方程為x0. 由? x0，y22x，得? x0，y0， 直線x0與拋物線只有一個公共點； 若直線的斜率存在，則由題意，設(shè)直線的方程為ykx1. 由? ykx1，y22x，消去y得k2x22(k1)x10. 當k0時，有

15、? x12，y1，即直線y1與拋物線只有一個公共點； 當k0時，有4(k1)24k20，k12， 即方程為y12x1的直線與拋物線只有一個公共點 綜上所述，所求直線的方程為x0或y1或y12x1. 1.設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程x2，則拋物線的方程是_ 2拋物線yax2的準線方程是y2，則a的值是_. 3.過拋物線y24x的焦點作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1x28，則PQ的值為_. 4.直線l：yxb與拋物線C：x24y相切于點A，則實數(shù)b的值為_ 四 、課堂運用 基礎(chǔ) 例題7 第 9 頁 答案與解析 1.【答案】 y28x 【解析】由準線方程x2，頂點

16、在原點，可得拋物線焦點為F(2,0)，p4.故所求拋物線方程為y28x. 2. 【答案】a1 8. 【解析】拋物線的標準方程為x21 ay.則a0且21 4a，得a1 8. 3. 【答案】10 【解析】PQx1x2210. 4. 【答案】-1 【解析】 由? yxb，x24y，得x24x4b0， 因為直線l與拋物線C相切，所以(4)24×(4b)0，解得b1. 1.若拋物線y24x的焦點為F，過F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，動點P在曲線y24x(y0)上，求PAB的面積的最小值 2.已知拋物線的方程為y28x. (1)求它的焦點坐標和準線方程； (2)若該拋物線上一點到y(tǒng)軸

17、的距離為5，求它到拋物線的焦點的距離； (3)該拋物線上的點M到焦點的距離為4，求點M的坐標 3.已知拋物線y4x2上一點M到焦點的距離為1，則點M的坐標是_ 4.拋物線y24x的弦AB垂直于x軸，若AB43，則焦點到弦AB的距離為_ 答案與解析 1.【答案】22. 【解析】 由題意，得p2，直線AB過拋物線的焦點(1,0)，所以直線AB的方程為yx1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由? yx1，y24x，可得x26x10， 鞏固 第 10 頁 所以x1x26，x1x21，則 2AB=8 設(shè)P ?y204，y0，則點P到直線AB的距離為d ?y20 4y012，PAB的面積 S12AB

18、·d|y 204y04| 2? ?2022y?22，即PAB的面積的最小值是22. 2. 【答案】 【解析】(1)焦點坐標為(2,0)，準線方程為x2. (2)設(shè)M(x0，y0)是拋物線y28x上一點，F(xiàn)是它的焦點，由拋物線定義知，|MF|x0p2527.它到拋物線焦點的距離為7. (3)M到焦點的距離為4，M到準線的距離為4，即M到y(tǒng)軸的距離為2，M的橫坐標為2.M的坐標為( 2，±4) 3. 【答案】?±158，1516. 【解析】 設(shè)M(x0，y0)，把拋物線 y4x2化為標準方程，得x214y. 則其準線方程為y116，由拋物線的定義，可知y0 ?1161

19、，得 y015 16，代入拋物線的方程，得x201 4×15161564，解得x0 ±158 ，則M的坐標為? ±158， 1516. 4. 【答案】2 【解析】由題意我們不妨設(shè)A(x,23)，則(23)24x，x3，直線AB的方程為x3，拋物線的焦點為(1,0)，焦點到弦AB的距離為2. 1.在拋物線y216x內(nèi)，過點(2,1)且被此點平分的弦AB所在直線的方程是_. 2.已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程和m的值 3.如圖2-4-1所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段

20、構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米 拔高 第 11 頁 圖2-4-1 (1)以拋物線的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖)，求該拋物線的方程； (2)若行車道總寬度AB為7米，請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米？(精確到0.1米) 4.已知拋物線y22px (p>0)有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程 答案與解析 1.【答案】 y8x15 【解析】顯然斜率不存在時的直線不符合題意設(shè)直線斜率為k，則直線方程為?12ykx?，由?21216ykxyx

21、?消去x得?21616120kyyk? 8k?，代入得815yx?. 2. 【答案】拋物線方程為y28x；m± 26. 【解析】法一：由題意可設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點為F?p2，0， 因為點M在拋物線上，且MF5，所以有 ? m26p，m2? 3p225， 解得? p4，m26或? ? p4，m26. 故所求的拋物線方程為y28x，m的值為±26. 法二：由題可設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點為F?p2，0，準線方程為xp2， 根據(jù)拋物線的定義，點M到焦點的距離等于5，也就是M到準線的距離為5， 則3p25， p4， 拋物線方程為y2

22、8x. 第 12 頁 又點M(3，m)在拋物線上， m224，m± 26. 3. 【答案】4.1米 【解析】 如圖所示： (1)依題意，設(shè)該拋物線的方程為x22py(p0)， 因為點C(5，5)在拋物線上，所以p52. 所以該拋物線的方程為x25y. (2)設(shè)車輛高h，則DBh0.5， 故D(3.5，h6.5)， 代入方程x25y，解得h4.05， 所以車輛通過隧道的限制高度為4.1米. 4. 【答案】拋物線方程為y2 455x. 【解析】 設(shè)直線OA的方程為ykx，k0，則直線OB的方程為y1kx， 由? ykx，y22px，得x0(舍 )或x2pk2， A點坐標為 ? 2pk2，

23、2pk，B點坐標為(2pk2，2pk)， 由|OA|1 ，|OB|8， 可得?2242221414164kpkpkk?解方程組得664k?，即2 4k?.則?22216451pkk?， 又p>0，則 p255， 故所求拋物線方程為y 245 5x. 1. 拋物線的標準方程和幾何性質(zhì) 五 、課堂小結(jié) 第 13 頁 2. 拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 3. 焦點弦長公式 4. 拋物線中的最值問題 1拋物線x22y上的點M到其焦點F的距離MF52，則點M的坐標是_ 2已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，AFBF3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為_ 3若動圓與圓(x2)2y21外切，

24、又與直線x10相切，則動圓圓心的軌跡方程為_ 4在平面直角坐標系xOy中，有一定點A(2,1)若線段OA的垂直平分線過拋物線 y22px(p>0)的焦點，則該拋物線的準線方程是_ 答案與解析 1.【答案】 (±2,2) 【解析】 設(shè)點M(x，y)，拋物線準線為y12，由拋物線定義， y?1252，y2，所以x22y4，x±2，所以點M的坐標為(±2,2) 2. 【答案】 54 【解析】 如圖，由拋物線的定義知，AMBNAFBF3，CD32，所以中點C的橫坐標為321454，即C到y(tǒng)軸的距離為54. 3. 【答案】 y28x 【解析】設(shè)動圓半徑為r，動圓圓心O

25、(x，y)到點(2,0)的距離為r1.O到直線x1的距離為r，O到(2,0)的距離與O到直線x2的距離相等，由拋物線的定義知動圓圓心的軌跡方程為y28x. 六 、課后作業(yè) 基礎(chǔ) 第 14 頁 4.【答案】 x5 4 【解析】 由題意可求出線段OA的垂直平分線交x軸于點?54，0，此點為拋物線的焦點，故準線方程為x54. 1.（ 蘇北三市三模）6已知點F為拋物線24yx?的焦點，該拋物線上位于第一象限的點A到其準線的距離為5，則直線AF的斜率為 2在平面直角坐標系xOy中，若拋物線22ypx?經(jīng)過點?42， ，則實數(shù)p? 3.(南京鹽城一模)6在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C的頂點在坐標原

26、點，焦點在x軸上，若曲線C經(jīng)過點(1,3)P，則其焦點到準線的距離為 . 4.（蘇北四市期末）7拋物線24yx?的焦點到雙曲線221169xy?漸近線的距離為 答案與解析 1.【答案】43 【解析】聯(lián)立方程求A點坐標，再求斜率。 2. 【答案】12 【解析】代入方程求解 3. 【答案】92 【解析】代入方程求解 4. 【答案】35 【解析】點到直線的距離公式的運用. 1.(2019·南京、鹽城、徐州二模)在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線C：24xy?的焦點為F，定點A(22，0)，若射線FA與拋物線C相交于點M，與拋物線C的準線相交于點N，則FMMN= . 2. (1)已知M為拋

27、物線24yx?上一動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，定點P(3，1)，求MP+MF的 鞏固 拔高 第 15 頁 最小值. (2)給定拋物線22yx?，設(shè)?,0,0Aaa?，P是拋物線上的一點，且PA=d，試求d的最小值. 3. (2019·蘇北四市期末)在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線22ypx?(p>0)的準線方程為 x=-14，過點M(0，-2)作拋物線的切線MA，切點為A(異于點O).直線l過點M，與拋物線交于B，C兩點，與直線OA交于點N. (1)求拋物線的方程. (2) 試問：MNMB +MNMC的值是否為定值?若是，請求出該定值；若不是，請說明理由. 4.已知拋物線y2=

28、2px(p>0)的焦點弦(經(jīng)過焦點的弦)AB的兩端點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2) ，則1212yyxx的值一定為 . 答案與解析 1.【答案】13 【解析】方法一：由題意得F(0，1)，所以直線AF 的方程為22x +1y=1，將它與拋物線方程 聯(lián)立解得212xy?， 或-222.xy?，依題意知交點在第一象限，故取 M122?，.準線方程為1y?，故易求得點 N(42，-1) ，所以由三角形相似性質(zhì)得FMMN =11-21-(-1)2=13. 方法二：如圖，設(shè)點M到準線的距離為MB ，則根據(jù)條件得FMMB=1. (例2) 又因為F(0，1)，所以直線FA的斜率為 k=1-22 =-24， 從而sin ANB=218 =13， 第 16 頁 即MBMN=13 ，所以FMMN =13. 2. 【答案】(1)(MP+MF)min=1+3=4.(2)0<a<1時dmin=a,當a1時,dmin =2-1a. 【解析】(1)如圖，過M作MN準線l，則MP+MF=M