山西省太原市高中數(shù)學(xué)競賽解題策略幾何分冊第27章戴維斯定理

1、第27章戴維斯定理戴維斯定理三角形的每邊所在直線上有一對點(diǎn)（可以重合），若每兩對點(diǎn)同在一圓上，則三對點(diǎn)（六點(diǎn)）都在同一圓上（題設(shè)中的圓與該線切于重合的點(diǎn)，則為重合的對點(diǎn)）證明若所說三圓不重合，則根據(jù)根軸的性質(zhì)（共點(diǎn)或平行），三角形的三條邊就得共點(diǎn)或互相平行，但這明明不可能，所以三圓非合一不可下面給出如上定理的應(yīng)用例子例l自直角三角形斜邊上高線中點(diǎn)作三邊的平行線，與三邊相交得到的六個交點(diǎn)共圓證明如圖，設(shè)為的斜邊上的高線的中點(diǎn)，過點(diǎn)分別與，平行的線交這三邊于，聯(lián)結(jié)，由，四點(diǎn)共圓知，則這說明，四點(diǎn)共圓，又注意到是的中點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，那么于是，從而，四點(diǎn)共圓同理，四點(diǎn)共圓故由戴維斯定理，知，六點(diǎn)共

2、圓注：也可先證、四點(diǎn)共圓，再證、四點(diǎn)共圓（）最后證、四點(diǎn)共圓，而證得六點(diǎn)共圓例2（試題）已知是銳角的垂心，以邊的中點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)的圓與直線相交于，兩點(diǎn)；以邊的中點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)的圓與直線相交于，兩點(diǎn)；以邊的中點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)的圓與直線相交于，兩點(diǎn)，證明：、六點(diǎn)共圓證明如圖，設(shè)、分別為邊、的中點(diǎn)，又設(shè)以為圓心過點(diǎn)的圓與以為圓心且過點(diǎn)的圓的另一個交點(diǎn)為，則又，則于是知點(diǎn)在上由切割線定理，得，知、四點(diǎn)共圓同理，、及、分別四點(diǎn)共圓故由戴維斯定理，知、六點(diǎn)共圓例3（2005年中國國家隊集訓(xùn)測試題）設(shè)銳角的外接圓為過點(diǎn)、作的兩條切線，相交于點(diǎn)連結(jié)交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，使得，（1）求證：、四點(diǎn)共圓；（2）若

3、記過、的圓的圓心為，類似地定義、，則直線、共點(diǎn)證明如圖欲證、共圓，只需證由于，于是，又只需證注意到，則故、四點(diǎn)共圓（2）設(shè)是的共軛重心（即三條共軛中線的交點(diǎn)，滿足，）過分別作，如圖所示，則、六點(diǎn)共圓，證明如下：由與位似，易知（因，）于是由（1）的結(jié)論，知、四點(diǎn)共圓同理，、以及、分別四點(diǎn)共圓故由戴維斯定理，知、六點(diǎn)共圓設(shè)此六點(diǎn)圓的圓心為，由于與的位似中點(diǎn)是，故直線過點(diǎn)同理，直線、也過點(diǎn)結(jié)論獲證例4一三角形每邊（所在直線）上有一對點(diǎn)，這些點(diǎn)與對頂點(diǎn)的聯(lián)線均等長求證：六條聯(lián)結(jié)線的中點(diǎn)共圓證明如圖，分別為的三邊，、所在直線上的點(diǎn)，且又，分別為，的中點(diǎn)，令，分別為，、的中點(diǎn)，、分別為，的中點(diǎn)由于、，、，

4、每四點(diǎn)共線，所以，有同理， 從而，即知，四點(diǎn)共圓同理，及，分別四點(diǎn)共圓因，在的三邊上，由戴維斯定理，知，在以直線與的交點(diǎn)為圓心的圓上注：若等于的外接圓直徑時，以及此例中的為的垂心時，這12個點(diǎn)共圓事實上，上例中，為垂心時，為外心，此時兩圓有共同的垂心為圓心，圓上六點(diǎn)，其半徑長為設(shè)的半徑為，當(dāng)定長為三角形外接圓直徑時，點(diǎn)關(guān)于的冪為，則故兩圓半徑相等例5若圓內(nèi)接凸四邊形的對邊乘積相乘，則過對角線交點(diǎn)引直線平行于四邊形的每邊與兩鄰邊相交的八點(diǎn)共圓證明如圖，設(shè)凸四邊形內(nèi)接于圓，與交于點(diǎn)令，則由托勒密定理，有又由題設(shè)，則設(shè)為的中點(diǎn)，由注意到，即，知于是過作直線交的延長線于，使，則，有設(shè)交于，注意到（即），及為中點(diǎn)，知為的中點(diǎn)，對及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有將式代入上式，并注意，有過點(diǎn)作的平行線的交點(diǎn)如圖，由，有同理，于是將代入得，從而、共圓同理，、共圓設(shè)直線與交于點(diǎn)，注意到，知、四點(diǎn)共圓于由戴維斯定理，知、六點(diǎn)共圓同理，、六點(diǎn)共圓故、這八點(diǎn)共圓練習(xí)題二十七1證明九點(diǎn)圓定理：三角形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)，以及垂心與頂點(diǎn)的聯(lián)線的中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓2證明泰勒圓定理：三角形每邊上的高線垂足在另兩邊上的射影，這六點(diǎn)在同一個圓周上3由一已知