2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

1、20202021學(xué)年第一學(xué)期開學(xué)考試高二數(shù)學(xué)試題測(cè)試范圍:數(shù)學(xué)必修二（第二，三,四章）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1 .下列選項(xiàng)中能得到平面a 平面3的是（）A.存在一條直線a, a/a,B.存在一條直線a, aua, a/?C.存在兩條平行直線”，b, aua, buR, a/?, b/aD.存在兩條異面直線，b, aua, buR, a/?, b/a2 .若兩個(gè)平而互相垂直，第一個(gè)平面內(nèi)的一條直線“垂直于第二個(gè)平面內(nèi)的一條直線，那么（）A.直線垂直于第二個(gè)平面B.直線b垂直于第一個(gè)平面C.直線a不一定垂直于第二個(gè)平面D. “必定垂直于過(guò)b的平而3 .以力（1,3）, 8（-

2、5,1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程是（）A. 3x-y-8 = 0 B. 3x + y + 4 = 0 C. 3x-y+ 6 = 0 D. 3% + y + 2 = 04 .已知直線丘 y + 2=0和以M（3,2）, N（2,5）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為（）A.yB.C.D. k5 .兩平行直線5x + 12y + 3 = 0與10% + 24y + 5 = 0間的距離是（）A.三B.去C.2D.131326266 .直線5% + 12y - 8 = 0與圓（X - l）2 + （y+ 3）2 = 8的位置關(guān)系是（）.A.相交且直線經(jīng)過(guò)圓心C.相切B.相交但直線不經(jīng)過(guò)圓心D

3、.相離7 .若直線(1 + a)x +y + 1 = 0與圓2 + y2 - 2% = 0相切，則實(shí)數(shù)a的值為()A. 1 或 7B. 2 或一2C. 1D. -18 .已知圓M：/ + y2-4y =。，則加(工一1)2 +。-1)2= i,則圓M與圓N的公切線條數(shù)是()A. 1B. 2C. 3D.49 .如圖，在正方體A8CD - 4BiGDi中，點(diǎn)E, F, G分別是棱&BJ, 8%的中點(diǎn)，給出下EF 平面BgDi；平面EFG 平而BQ。1；其中推斷正確的序號(hào)是C. D.列四個(gè)推斷：FG 平面力4。1。；FG 平而8cI。”平面EFG 平面&G8.()A. B.10 . 4力8c的三個(gè)頂

4、點(diǎn)為力(0,4),B(-2,6),C(8,2),則不是三角形各邊上中線所在直線方程的是()A.y = 一%+蔡 B. y = -) + 5 C, y =-扛 + 7 D. y = 411 .過(guò)兩點(diǎn)P(2,2), Q(4,2),且圓心在直線x - y = 0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式()A. (% - 3)2 + (y - 3)2 = 2B. (x + 3)2 + (y + 3)2 = 2C. (x - 3)2 + (y - 3)2 = V2D. (% + 3)2 + (y + 3)2 = V212 .在長(zhǎng)方體488-/1比6。中，AAr = AD = 2AB. E,尸分別為線段CQ的中點(diǎn)，則直 線EF

5、與平面ADDiA所成角的正弦值為()A.我B.C.D. 3233二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)13. 過(guò)點(diǎn)(4, -3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線/的方程為.14. 過(guò)點(diǎn)(Vil)的直線/與圓/+y2 = 4相切，則直線/在y釉上的截距為15. 若圓G： (“一1)2 + +百)2 = 1與圓。2： (%Q)2+y2 = i沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.16. 如圖，在正方體48CD-A81cl%中,E是棱的中點(diǎn),尸是棱G%的中點(diǎn)，則異面直必心與 所所成的角為.三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)17. (10分)在平面內(nèi)，已知點(diǎn)4(1,1),圓C： (x-3)2+

6、(y-5)2 = 4,點(diǎn)尸是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),記線段以的中點(diǎn)為Q.求點(diǎn)。的軌跡方程。18. (12 分)已知兩直線匕：ax + 3y + 4 = 0和%： x + (a 2)y + a2 5 = 0(1)若h，,求實(shí)數(shù)”的值；(2)若匕%,求實(shí)數(shù)”的值.19. (12 分)己知點(diǎn)4(4,1), 8(-6,3), C(3,0)(1)求448(7q8c邊上的高所在直線的方程;(2)求過(guò)A, B, C三點(diǎn)的圓的方程.20. (12分)直線/： %-y + 3=0被圓C： (x - a)? + (y - 2=4(a 0)截得的弦長(zhǎng)為2夜,(1)求“的值：(2)求過(guò)點(diǎn)(3,5)并與圓C相切的切線方程.2

7、1. (12分)如圖，A8為圓。的直徑，PA垂直圓。所在的平面，點(diǎn)C為圓O上異于48的點(diǎn).(I )求證：BC上平面PAC：(口)若力8 = 2,8C =力8,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求三棱錐8 MOC的體積.22. (12分)已知多而體EF力BCD中，正方形力DFE JL直角梯形A8CD,n8 CD,乙BCD = 45。,FC =4，AD = 1, P為FO的中點(diǎn).(I)證明:力P 平面8CF：(n )求直線CD與平而3C尸所成角的正弦值.2020高二數(shù)學(xué)開學(xué)測(cè)試一一答案I D 2.C 3.8 4.C 5.C 6.D l.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.C13 .y = _X + 1

8、或y = 一：x【解答】 解：依題意設(shè),的方程為y + 3 = Z(x 4).令x = 0,得y = -4L3：令y = 0,得”=乎.因此一 4Z-3=竽解得k = -1或A = k4故所求方程為y = r + 1或y = -9. 414 .【答案】4【解析】解：根據(jù)題意，圓/+y2 = 4,對(duì)于點(diǎn)（祗1）,有（時(shí)）2 + / = 4，即點(diǎn)（一標(biāo),1）在圓” + y2 = 4,則切線/的方程為梅x + y = 4,變形可得y = V5x + 4,直線/在 軸上的截距為4： 故答案為：415 .【答案】。2【解析】解：圓Q： （X-1）2+8 +怖）2 = 1，圓心心（1,一行），半徑為1,圓

9、。2： （x - a）2+y2 = 1 圓心。2（。, 0），半徑為 1,若兩個(gè)圓有共點(diǎn)則1一1 J（a _ 1）2 + （_逐）241 + 1，得2,若兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)則實(shí)數(shù)。的取值范圍為a 2,故答案為：a V0或a 2.16 .【答案】600【解析】解：如圖，連接AQ,E是棱力iDi的中點(diǎn)，尸是棱QDi的中點(diǎn)，EF/4G，在正方體A8CD/iBiGDi中，由力A1/CQ, AAl = CClf可得四邊形為平行四邊形，得到AG/C,則EF/C, 乙隊(duì)為異面直線4D1與E/所成的角.連接孫C,可得為等邊三角形，得到4以鼻。為60。.即異而直線4%與EF所成的角為60。.故答案為：60.17

10、.【答案】解：(1)設(shè)Q(%,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xo，yo), 點(diǎn)4(1,1),且。是線段PA的中點(diǎn),x0 = 2% - 1, y0 = 2y - 1, 建在圓。：(“一3)2 +。-5)2=4上運(yùn)動(dòng)， (2% - 4)2 + (2y - 6)2 = 4,即(X - 2)2 + (y-3)2 = 1： 點(diǎn)Q的軌跡方程為Q - 2)2 + (y-3)2 = l：18 .【答案】解：(1)若乙山2,則ax 1 + 3 X (a 2) = 0,解得a = %故所求實(shí)數(shù)”的值為營(yíng)(2)若乙%,得Q(a 2) 3X1 = 0,即a? 2a - 3 = 0,解得a = -1或a = 3,當(dāng)a = -l時(shí)

11、，%的方程為一x + 3y + 4 = 0, %的方程為4 3y 4 = 0, 顯然兩直兩直線重合，不符合題意：當(dāng)a = 3時(shí)，h的方程為3x+3y-4 = 0, %的方程為 + V + 4 = 0， 顯然兩直線平行，符合題意.綜上，當(dāng)八%時(shí)，。=3.19 .【答案】解：(1) 8(6,3), C(3,0),j3-018C邊上的高與3C垂直, 設(shè)8c邊上的高的斜率為，總=3,則8c邊上的高所在直線的斜率為3, 又力(4,1), ,BC邊上的高所在直線的方程為y - 1 = 3(% - 4), 即3% y 11 = 0； (2)設(shè)過(guò)A, B,。三點(diǎn)的圓的方程為/ + y2+Dx + Ey+F =

12、 0,(16 + 1 + 4D +E + F = 0 (D = 1則 36 + 9 6D + 3E + F = 0,解得 E =-9 , 9 + 3D + F = 0IF = -12所求圓的方程為產(chǎn)+爐+ % 一 9y - 12 = 0.20.【答案】解：(1)依題意可得圓心C(a,2),半徑r=2, 則圓心到直線八* _ y + 3 = 0的距離d =號(hào), 由勾股定理可知矛+ (孚)2 = r2，代入化簡(jiǎn)得|a + 11 = 2,解得a = 1或a = -3,又a 0.所以a = 1：(2)由(1)知圓 C： (x - l)2 + (y2)2 =4,圓心C(l,2),半徑7= 2,易得點(diǎn)(3

13、,5)在圓外.設(shè)直線m過(guò)點(diǎn)(3,5)并且與圓。相切.當(dāng)直線小的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-5 = k(x-3),即以一y3/c + 5 = 0由圓心到切線的距離d=r = 號(hào)|普=2,解得=磊，切線方程為5x 12y + 45 = 0；Vk-+112當(dāng)直線?的斜率不存在時(shí)，直線方程為 = 3,顯然與圓C相切, 綜合可知所求切線方程為5% - 12y+45 = 0或x = 3.21 .【答案】(1)證明：如圖， C為圓。上的一點(diǎn)，A3為圓。的直徑，:BC上AC,又PA垂直圓。所在的平而，：.PA JLBC,又因?yàn)镻4nac =力，pnu平面PAC,nCU平面PAC, 則8CjL平面PAC：(2)解：力8 = 2, BC = MAC, 在。中，可得AC = 1,8。=遍，又pn =月8 = 2,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)N,連結(jié)MM ”為PC中點(diǎn), . MN = PA = 1,且MN/P4 PA JL平而ABC, MN，平而ABC,即MN為三棱錐M - BOC的高,.，點(diǎn)M到平面ABC的距離等于點(diǎn)P到平而ABC的距離的也 Vb-moc = Vm-boc = 7x1x7x?x1x=i,22.【答案】(I )因?yàn)檎叫瘟Α?七_(dá)1直角梯形A8CQ,FD _L/D,正方形0DFE n直角梯形/