大一線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)

1、2009 年線性代數(shù)必 考的知 識(shí)點(diǎn)1、行列式1. n行列式共有 n2個(gè)元素，展開后有 n!項(xiàng)，可分解為 2n 行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、 Aij 和 a ij 的大小無關(guān)； 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0；、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為 A ；33. 代 數(shù) 余 子 式和余子式的關(guān)系：M ij ( 1)i j AijAij ( 1)i j M ij4. 設(shè) n行列式 D ：n( n 1) 將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1，則 D1 ( 1) 2 D ；n (n 1)D；D3 ，則將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90o，所得行列式為 D2，

2、則 D2( 1) 2 D；將D 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4 ，則D4D5. 行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；n( n 1)(1)2、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積；、上、下三角行列式()：主對(duì)角元素的乘積；將D 主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為n (n 1)、 和 ：副對(duì)角元素的乘積 ( 1) 2、拉普拉斯展開式： C B O BABCABOOABC( 1)mgn A B、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；6. 對(duì)于 n 階行列式 A ，恒有：EAn( 1)k Skk1nk，其中 Sk 為k階主子式；7. 證明 A 0 的方法：、 A A、反證法；、

3、構(gòu)造齊次方程組 Ax 0 ，證明其有非零解；、利用秩，證明 r(A) n ；、證明 0 是其特征值；2、矩陣1. A是 n階可逆矩陣：A 0 (是非奇異矩陣)；r ( A) n (是滿秩矩陣)A 的行(列)向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax 0 有非零解；b Rn ， Ax b 總有唯一解；A與 E等價(jià)；A 可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；A 的特征值全不為 0 ；AT A是正定矩陣；A 的行(列)向量組是 R n 的一組基；A是 Rn 中某兩組基的過渡矩陣；AA *A* A A E2. 對(duì)于 n階矩陣 A ： 無條件恒 成立；3. (A 1)*(A*)1(A 1)T(AT)1 (A*)T (AT

4、)*(AB)TBTAT(AB)*B*A* (AB)1 B 1A 14. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、 B可逆：A1AA2若 O ，則：As、AA1 A2L As；A11、A1A21O；1As1、AO1O1BA1OO；B 1 ；(主對(duì)角分塊)、OB1AOOA1B 1 ； O；(副對(duì)角分塊)、 AO、 CAA 1 OBA1CA1 BO1 ；(拉普拉斯)3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)m n矩陣 A ，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的： OF；O O m n等價(jià)類：所有與 A 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合

5、，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；Er對(duì)于同型矩陣 A 、 B ，若 r (A) r(B)A: B ；2.行最簡(jiǎn)形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非 0 元素必須為 1； 、每行首個(gè)非 0 元素所在列的其他元素必須為0；3.初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)、 若(A,E) : (E , X ) ，則A可逆，且 X A 1；1c、對(duì)矩陣 (A,B)做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)?E 時(shí)， B 就變成 AB ，即： (A,B)(E,A 1B)；4.r、求解線形方程組：對(duì)于 n個(gè)未知數(shù) n個(gè)方程 Ax b，如果 (A,b): (E,x)，則 A 可逆，

6、且初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；、，左乘矩陣 A， i 乘A的各行元素；右乘，乘 A 的各列元素；對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)E(i,j)，且 E(i,j) 1E(i, j) ，例如： 1倍乘某行或某列，符號(hào)E(i (k) ，且 E(i (k) 11E(i( ) ，例如： k(k0)倍加某行或某列，符號(hào)E(ij (k ) ,且 E(ij(k)E(ij( k) ，如：(k 0) ；A 1 A 1CB 1A A C1B ；(拉普拉斯)O B 17矩陣秩的基本性質(zhì)：、若 P 、 Q 可逆，則 r ( A) r ( PA)r (AQ)

7、r(PAQ)可逆矩陣不影響矩陣的秩 )max(r (A),r(B) r (A,B)r(A) r (B) ；( )0 r(Am n) min(m,n) ； r(AT ) r(A) ； 若 A : B ，則 r(A) r(B) ；、 r(A B) r(A) r(B) ；()、 r(AB) min( r ( A), r (B) ；()、如果 A 是 m n 矩陣， B 是 n s矩陣，且 AB 0 ，則：( )、 B 的列向量全部是齊次方程組 AX 0 解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)； 、 r( A) r(B) n、若 A 、 B 均為 n階方陣，則 r(AB) r(A) r(B) n ；6. 三種特殊矩陣

8、的方冪：、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量) 式，再采用結(jié)合律；行矩陣(向量)的形、型如1ac0 1 b 的矩陣：利用二項(xiàng)展開式；001二項(xiàng)展開式：(a b)n Cn0a n Cn1a n 1b1 LCnmanmmb11abCnnbnnm m n mCn a b；m0注：、 (a b)n 展開后有 n 1項(xiàng)；、 Cm n(n 1)L L (n m 1)Cn1g2g3gL gm、組合的性質(zhì)： Cnm Cnn m、利用特征值和相似對(duì)角化：7. 伴隨矩陣：r(A*) 、伴隨矩陣的秩：A、伴隨矩陣的特征值：n!0nCn Cn 1m!( n m)!mmCn 1CnCnm 1nrnCnr2n

9、r0nr(A)n1r(A)n10r(A)n1；(AXX, A*AA1rCnr nCnr 11 ；A*XX ) ；、A A 1 、 A*、8. 關(guān)于 A 矩陣秩的描述： 、 r(A) n， A中有 n階子式不為 0， n 1階子式全部為 0；(兩句話) 、 r(A) n ， A 中有 n 階子式全部為 0；、 r(A) n ， A 中有 n 階子式不為 0；9. 線性方程組： Ax b ，其中 A 為 m n 矩陣，則： 、 m 與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組 Ax b有 m個(gè)方程；、 n 與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組 Ax b為n 元方程；10. 線性方程組 Ax b的求解：、對(duì)增廣矩陣 B

10、進(jìn)行初等行變換( 只能使用初等行變換 )；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；11.由 n個(gè)未知數(shù) m個(gè)方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程：a11 x1a12 x2La1n xnb1a21x1a22 x2La2n xnb2LLLLLLLLLLL；am1x1am2x2Lanmxnbna11a12La1nx1b1a21a22La2nx2b2AxbMMOMMM（向量方程， A 為 mam1am2Lamnxmbmb1x1b2a1 a2Lanx2M12nM全部按列分塊，其中）；、n 個(gè)未知數(shù)）、n 矩陣， m 個(gè)方程，xnbn、有解的充要條件：r（A） r（A, ） n（ n為未知

11、數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）、 a1x1 a2 x2 L線性表出）anxn4、向量 組的 線性 相關(guān) 性1. m個(gè) n維列向量所組成的向量組 A ： m個(gè) n維行向量所組成的向量組 B ： 含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2,L , m 構(gòu)成 n m 矩陣 A ( 1, 2,L2T,L , mT構(gòu)成 m n矩陣 BT2；m)2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 、向量的線性表出 、向量組的相互線性表示Ax 0 有、無非零解；（齊次線性方程組）Ax b是否有解；（線性方程組）AX B 是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣 Am n與Bl n行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組 Ax 0和Bx 0同解；(

12、 P101例 14)4. r(ATA) r(A)；(P101例 15)5. n 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、 線性相關(guān) 0 ；、 , 線性相關(guān), 坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、 , , 線性相關(guān), , 共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若 1, 2,L , s線性相關(guān)，則 1, 2,L , s, s 1必線性相關(guān)；若 1, 2,L , s 線性無關(guān)，則 1, 2,L , s 1必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶） 若r 維向量組 A的每個(gè)向量上添上 n r個(gè)分量，構(gòu)成 n維向量組 B：若 A 線性無關(guān)，則 B 也線性無關(guān)；反之若 B 線性相關(guān)，則 A 也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加

13、減減) 簡(jiǎn)言之：無關(guān)組延長(zhǎng)后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組 A(個(gè)數(shù)為 r )能由向量組 B(個(gè)數(shù)為 s)線性表示，且 A線性無關(guān)， 則 r s；向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則 r(A) r(B)；向量組 A 能由向量組 B 線性表示AX B 有解； r( A) r (A,B)向量組 A 能由向量組 B等價(jià) r (A) r(B) r (A,B)8. 方陣 A可逆 存在有限個(gè)初等矩陣 P1, P2 ,L ,Pl ，使 A P1P2L Pl； r、矩陣行等價(jià)： AB PA B (左乘， P可逆)Ax 0與Bx 0同解、矩陣列等價(jià)： AB AQ B (右乘， Q可逆)；、矩陣等價(jià)： A

14、 B PAQ B( P、 Q可逆)；9. 對(duì)于矩陣 Am n與 Bl n ： 、若 A 與 B 行等價(jià)，則 A 與 B 的行秩相等； 、若 A與 B 行等價(jià)，則 Ax 0與 Bx 0同解，且 A與B 的任何對(duì)應(yīng)的列向量組 具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣 A 的行秩等于列秩；10.若 AmsBsn Cm n ，則： 、 C的列向量組能由 A的列向量組線性表示， B為系數(shù)矩陣； 、 C的行向量組能由 B 的行向量組線性表示， AT 為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置) 11.齊次方程組 Bx 0的解一定是 ABx 0的解， 考試中可以直接作為定理使用，而 無需證明 ；、 ABx

15、0 只有零解 Bx 0 只有零解；、 Bx 0 有非零解 ABx 0 一定存在非零解；12.設(shè)向量組 Bn r :b1,b2,L ,br 可由向量組 An s : a1, a2 ,L ,as 線性表示為：(b1, b2 ,L ,br) (a1,a2,L ,as)K ( B AK )其中 K 為s r ，且 A線性無關(guān)，則 B組線性無關(guān) r(K) r；( B與 K 的列向量組 具有相同線性相關(guān)性 )(必要性： Q r r (B) r(AK ) r(K),r(K) r, r (K ) r ；充分性：反證法)注：當(dāng) r s時(shí)， K 為方陣，可當(dāng)作定理使用；13. 、對(duì)矩陣 Am n，存在 Qn m，

16、 AQ Emr(A) m 、 Q的列向量線性無關(guān)；、對(duì)矩陣 Am n，存在 Pn m， PA Enr(A) n、P 的行向量線性無關(guān)；14.1, 2,L , s 線性相關(guān)存在一組不全為 0的數(shù) k1,k2,L ,ks ，使得 k1 1 k2 2 L ks s 0成立；(定義)x1( , ,L , ) x2 0有非零解，即 Ax 0有非零解；1 2 s MAx 0 的解集 S 的秩為：r( 1, 2,L , s) s ，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15. 設(shè) m n 的矩陣 A 的秩為 r ，則 n 元齊次線性方程組r(S) n r ；16.若 *為Ax b的一個(gè)解， 1,2,L, nr為Ax

17、 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則 *,1,2,L, nr線性 無關(guān)；5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣 AT A E 或 A 1 AT (定義)，性質(zhì)：、 A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即 aiTaj 1i j(i,j 1,2,L n) ；i j 0i j、若 A 為正交矩陣，則 A 1 AT 也為正交陣，且 A 1 ； 、若 A 、 B 正交陣，則 AB 也是正交陣； 注意：求解正交陣，千萬不要忘記 施密特正交化 和單位化 ；2. 施密特正交化： (a1,a2,L ,ar )b1 a1 ；b2a2b1,a2gb1b1,b1 1LL Lbrb1,ar gb b2,ar gb Lbr 1,ar b1 , b1 gb1 b2,b2gb2 Lbr 1,br 13. 對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 對(duì)于 實(shí)對(duì)稱陣 ，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4. 、 A與B 等價(jià)A經(jīng)過初等變換得到 B；PAQ B ， P 、 Q 可逆；