2015理科數(shù)學(xué)全國(guó)2卷

1、2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國(guó)卷n、選擇題：本大題共12道小題，每小題 5分A.2.A.3.已知集合AA 1,0若a為實(shí)數(shù)且(22,1,0,1,20,1ai)(a2i)1)(x2 0 ,則 AI B ()1,0,10,1,2根據(jù)下面給出的 2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖。以下結(jié)論不正確的是(A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B(niǎo). 2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)C. 2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D. 2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)4-已知等比數(shù)列 an滿足a1=3, a1 a3 a5 =21 ,則a3 a5 a

2、7()A. 21 B . 42 C . 63 D . 841 log2(2 x), x 1,5.設(shè)函數(shù) f (x) x 1, f( 2) f(log2 12)()2x ,x 1,A. 3 B . 6 C .9 D . 126. 一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.7.過(guò)三點(diǎn) A(1,3), B(4,2),C(1, 7)的圓交y軸于M N兩點(diǎn)，則|MN| (A. 2 76B 8 C . 4J6D . 10中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)8.右邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)行該程序框圖，若輸入 a,b分別為14,18,則輸出

3、的a ()A. 0 B . 2 C . 4 D . 149.已知A,B是千O的球面上兩點(diǎn),AOB 90 ,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為(A. 36 B.64 C.144D.25610.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB 2, BC 1, O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn) 動(dòng)，記 BOP x.將動(dòng)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)”Uy f(x)的圖像大致為()11 .已知A, B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn) M在E上，？ABM為等腰三角形，且頂角為120° ,則E的離心率為()A. 75 B . 2 C.T3 D.我12 .

4、設(shè)函數(shù)f (x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f ( 1) 0 ,當(dāng)x 0時(shí)，xf (x) f (x) 0,則使得f (x) 0成立的x的取值范圍是(A. (, 1)U(0,1)(1,0)U(1,)C. (, 1)U( 1,0)D . (0,1)U(1,)二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分r rr r r r13 .設(shè)向量a , b不平行，向量 a b與a 2b平行，則實(shí)數(shù) .x y 1 0,14 .若x, y滿足約束條件 x 2y 0,，則z x y的最大值為 x 2y 2 0,15. (ax)(1 x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次哥項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a16 .設(shè)Sn是數(shù)列

5、an的前n項(xiàng)和，且a11 ,an1SnSn1,則Sn三、解答題17 .(本題滿分ADC面積的sin(1) 求sin12分)2倍.B一；ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分 BACABD面積是(n)若 ADDC,求BD和AC的長(zhǎng).218 .(本題滿分12分)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A ,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了 20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下:A地區(qū):7862 73 81 92 95 85 74 64 53 7686 95 66 97 78 88 82 76 89B 地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76

6、 65 79(I )根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿 意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可)A地區(qū)4-r678g(n)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí):滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不彳什90分滿意度等級(jí)不滿意非常滿意記時(shí)間C:“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于 B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.19.(本題滿分 12 分)如圖，長(zhǎng)方體 ABCD A1BC1D1 中，AB=16, BC=10, AA1 8,點(diǎn)E, F分別在

7、ABi, C1D1上，A1E D1F 4 .過(guò)點(diǎn)E , F的平面 與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(I)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)出畫(huà)法和理由)；(n)求直線 AF與平面 所成角的正弦值.22220 .(本題滿分12分)已知橢圓C:9x y m (m 0),直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn) A, B,線段AB的中點(diǎn)為M .(I)證明：直線 OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(n)若l過(guò)點(diǎn)(m,m),延長(zhǎng)線段om與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊 3形？若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說(shuō)明理由.21 .(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x) emx x2 mx .(I

8、)證明：f(x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增；(n)若對(duì)于任意 xhX2 1,1,都有f (xi) f (x2) e 1,求m的取值范圍.22 .(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖，O為等腰三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，圓O與 ABC的底邊BC交于M、N兩點(diǎn)與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,與AB、AC分別相切于E、F兩點(diǎn).(n) 若AG等于eO的半徑，且 AE MN 2J3 ,求四邊形EBCF的面積.23 .(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程x t cos .在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1:, (t為參數(shù)，t 0),其中0 ，在y tsin ,以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸

9、的極坐標(biāo)系中，曲線C2:2sin ,曲線C3 :273cos(I ) .求C2與Ci交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(n).若C2與Ci相交于點(diǎn)A, C3與Ci相交于點(diǎn)B,求AB的最大值.24.(本小題滿分10分)選修4-5不等式選講設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a b c d ,證明：(i)若 ab cd ,貝U 指而 Vc 4d;(n)jajbjcjd是a b c d的充要條件.【解析】由已知得 B2 x 1 ,故 AI B 1,0 ,故選 A.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.2. B【解析】由已知得4a.2. .一一,_2(a 4)i 4i ,所以 4a 0,a4考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.3. D【解析】由柱形圖得，從 份負(fù)相

10、關(guān)，故選 D.考點(diǎn)：正、負(fù)相關(guān).4. B2006年以來(lái)，我國(guó)二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì)，故年排放量與年【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為 q，則ai2aq4aq21,又因?yàn)閍13,所以q40,2斛信q 2,所以a3a5 a?(aia3、2 一a5)q42 ,故選B.考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式和性質(zhì).5. Cf(2)1 log 2 4 3又 log212 110g212 f (log 212) 2 g21210g266,故f(2) f(log2 12)9 ,故選C.考點(diǎn)：分段函數(shù).6. D【解析】由三視圖得,在正方體ABCD截去四面體 A A1B1D1 ,如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a ,貝 U VA A1B1D1

11、為a31a36135 3 a ,61 31 3a31 a3,故剩余幾何體體積26所以截去部分體積與剩余部分體一一，1,積的比值為,，故選5考點(diǎn)：三視圖.D.AB1C1D1 中,7. C【解析】由已知得kABAB所以kABkCB1,所以 AB CB,即 ABC為直角角形，其外接圓圓心為（1,2)半徑為5所以外接圓方程為(x 1)2 (y 2)2 25,令 x 0,得 y2n2,所以MN考點(diǎn)：圓的方程.8. B【解析】程序在執(zhí)行過(guò)程中, a 2； b 2,此時(shí) a 考點(diǎn)：程序框圖.9. C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)a , b的值依次為a 14 , b 18； bb 2程序結(jié)束，輸出a的值為2,故選B.

12、4； a 10； a 6；大，設(shè)球。的半徑為R,C位于垂直于面 AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O ABC的體積最此時(shí) VO ABCVC AOB1 R2R21 R3R6R 6,則球。的表面積為S 4 R2 144 ，故選C.考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積.BA10. B由已知得，當(dāng)點(diǎn)P在BCPA PB,tan2x 4 tanx ；當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3一,x4一時(shí),2PA PB(,1tan x1)2(11)2 1tan x當(dāng)x 一時(shí),2PA PB272 ；當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即34時(shí)，PA PB. tan2 x 4tanx,從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線一對(duì)稱，且2考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

13、和性質(zhì).11 . D【解析】設(shè)雙曲線方程為2 y b21(a0,b如圖所示，AB BMABM1200過(guò)點(diǎn)MN x軸，垂足為N在Rt BMN中,BN1/M作f（一）,且軌跡非線型，故選 B.2a,0),MNJ3a,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M (2a, J3a),代入雙曲線方程得2,2abc2 2a2,所以e艮故選D.考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).12. A】記函數(shù)g(x)出，則g'(x) xxf (x) f(x)因?yàn)楫?dāng)xf (x)f (x) 0,故當(dāng)x 0時(shí)，g (x) 0 ,所以 g(x)在(0,)單調(diào)遞減;又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(，0)

14、單調(diào)遞減，且g( 1)g(1) 0 .當(dāng) 0x 1 時(shí)，g(x) 0,則 f(x) 0;當(dāng)x 1 時(shí)，g(x)0,則f(x) 0,綜上所述，使得 f(x) 0成立的x的取值范圍是,1)U(0,1),故選A.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、13 . 12函數(shù)的圖象與性質(zhì).【解析】因?yàn)橄蛄縝與a 2b平行，所以ar rb k(ar2切k.'所以2k,考點(diǎn)：向量共線.14. 32【解析】 形為yy x畫(huà)出可行域,x z ,如圖所示，將目標(biāo)函數(shù)變上平移到z的縱截距最大,D(1,1),則 z2取到最大時(shí)，直線故將直線盡可能地向y的最大值為3 .考點(diǎn)：線性規(guī)劃.4:32B15. 3【解析】試題分析：由已知得(1

15、 x)41 4xc 2,36x 4x4. 一4 .x ,故(a x)(1 x)的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次募項(xiàng)分別為4ax , 4ax35x5,其系數(shù)之和為4a 4a 1+6+1=32,解得a 3.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.【解析】由已知得an 1 Sn 1 Sn & 1 0 ,兩邊同時(shí)除以1Sn1,1 -，、一，,故數(shù)列 是以 1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則Sn1Sn1 (n 1)所以SnLn考點(diǎn)：等差數(shù)列和遞推關(guān)系.17.【解析】（I） SABD1 c AB AD sin BAD , S ADC 2iACAD sin CAD ,因?yàn)镾 ABD 2S ADC , BADCAD ,所以AB 2AC

16、,由正弦定理可得sin Bsin CACAB(n)因?yàn)?S ABD : S ADCBD ： DC ,所以ADC 中,由余弦定理得AB2AD2 BD2 2ADBD cos ADBAC2 AD2 DC2 2AD DC cos ADC.AB2_2_222_2AC 3AD BD 2DC 6.由（I）知 AB 2AC，所以 AC 1 .通過(guò)莖葉圖可以看出,A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值;18【解析】（I）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下B地區(qū)以地區(qū)A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.（n）記Ca1表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意”C

17、A2表示事件：“ A地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為非常滿意”Cbi表示事件：“ B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為不滿意”Cb2表示事件：“ B地區(qū)用戶滿意度等級(jí)為滿意”則Cai與Cb1獨(dú)立，Ca2與Cb2獨(dú)立，Cb1與Cb2互斥,CCB1CA1 UCb2cA2 P(C) P(CbiCai UCb2Ca2) P(CbiCai) P(Cb2Ca2)P(Cbi)P(Cai) P(Cb2)P(Ca2).由所給數(shù)據(jù)得Cai , Ca2 , CbiCB2發(fā)生的概率分別為162041020 ' 2020故 Pg)嘿,-4P(Ca2)= 一20故p(C)=" 20一 10P(Cbi)= 一 201684+20

18、20 20P(Cb2 )='200.48 .19 【解析】圖：(n)作I)交線圍成的正方形EHGF 如DiCiAMA1EEMABEMAA8 ,因?yàn)镋HGF為正方形，所以EHEFBC 10.于MH .EH 2 EM 26,所以AH 10 .以u(píng)uuD為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz ,則BcBMHAi日M ,則A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8), F (0,4,8)uuu ,FE(10,0,0)，uuurHE(0, 6,8),設(shè)rr-nn (x, y,z)是平面EHGF的法向量，則rnuuur FE uuur

19、 HE0,10xruuurn (0, 4,3) .又 AF (r uuur10,4,8),故 cos n, AF0, r uuur. n AF| r-uuur n AF6y0,8z所以可取0,4“ 525 .所以直線AF與15平面所成角的正弦值為4 51520【解析】(I)設(shè)直線l:y kx b (k 0,b 0)A(x, y1),Bd, y2)， M (Xm , yM ) 將 y kx b 代入22229x y m 得(k_2_229)x 2kbx b m 0,XMX2kb-2，k2 9Ym kxM b 2 -于是直線0M的斜率koM ,即koM k 9 ,所以直k 9Xmk線OM的斜率與l

20、的斜率的乘積為定值.(n)四邊形 OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(m,m),所以1不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是 k 0, k 3. 399y x, 一由(I )得 OM的萬(wàn)程為y X .設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 Xp .由k 得kc 2 229x y m ,2XP,22,k mkm-2,即 XP j9k 813,.k2 9.將點(diǎn)(m,m)的坐標(biāo)代入直線 31的方程得bm(3 k)3因此xm mk( 3) 四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段 AB與線段OP互相平分, 3(k2 9)即xp于是km3 <k2 92m”3) .解得 & 4J7k24J7.因?yàn)?k0,ki3,

21、 i 1,2,所以當(dāng) 13(k9)的斜率為4 "或4 "時(shí),四邊形OAPB為平行四邊形.21 【解析】(I) f'(x) m(emx 1) 2x .若 m0,則當(dāng) x(,0)時(shí)，emx10,f'(x)0；當(dāng) x(0,)時(shí)，emx10,f (X) 0.若 m0,則當(dāng) X(,0)時(shí)，emx10,f'(x)0；當(dāng) X(0,)時(shí)，emx10,f (X) 0.所以，f (x)在(，0)單調(diào)遞減，在(0,)單調(diào)遞增.(n)由(I)知，對(duì)任意的m, f (x)在1,0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)遞增，故f (x)在X 0處取得最小值.所以對(duì)于任意Xi,X2 1,1, f

22、 (Xi) f (X2) e 1的充要條件是:f(1) f(0) e 1, f( 1) f(0) e即1,meme1,設(shè)函數(shù)g(t)et t e 1 ,則g (t)et 1 .當(dāng) t0時(shí),g (t)0;0時(shí),0.故g(t)在(，0)單調(diào)遞減,在(0,)單調(diào)遞增.又 g(1) 0g(1)故當(dāng)t 1,1時(shí)，g(t) 0 .當(dāng)1,1時(shí),g(m)0, g(m)0,即式成立.當(dāng)1時(shí),由g(t)的單調(diào)性,g(m)0,即em m1 時(shí),g(m) 0 ，取值范圍是1,1-22 【解析】(I )由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分線.又因?yàn)閑 O分別與AB、AC相切于E、F兩點(diǎn),所以 AE AF ,故ADEF .從而EF/BC .(n)由(i)知,AE AF , AD弦，所以O(shè)在AD上.連接OE , OMEF ,故