排列組合用A還是C的技巧

1、組合解答排列組合問題，首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是 問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本 質(zhì)特征， 靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析，同時(shí)還要注意講究一 些策略和方法 技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一、合理分類與準(zhǔn)確分步法 （利用計(jì)數(shù)原理 ）解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類， 按 事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確， 分步層 次清楚，不重不漏。例 1 、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有 （ ）A. 120 種 B. 96 種 C . 78 種D. 72 種分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：

2、 1）若甲在末尾， 剩下四人可自由排，有 P（4,4 ）=24 種排法； 2）若甲在第二，三，四 位上，則有 C（3,1）*C（3,1 ）*P（ 3,3）=54 種排法，由分類計(jì)數(shù)原 理，排 法共有 78 種，選 C。解排列與組合并存的問題時(shí)，一般采用先選（組合）后排（排 列）的方法解答。例 2、4 個(gè)不同小球放入編號(hào)為 1 , 2, 3, 4 的四個(gè)盒中， 恰 有一空盒的方法有多少種？ 分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放兩球。 1） 選：從四個(gè)球中選2個(gè)有C(4,2)種，從4個(gè)盒中選3個(gè)盒有C(4,3)種；2)排：把選 出的 2 個(gè)球看作一個(gè)元素與其余 2 球共 3 個(gè)元素，對(duì)選出的 3

3、盒作全排 列有 P(3,3) 種，故所求放法有 C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144 種。二、特殊元素與特殊位置優(yōu)待法 對(duì)于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足 特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。例 3、用 0, 2， 3, 4， 5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字 的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有 () 。A. 24 個(gè) B。30 個(gè)C。40 個(gè)D 。 60 個(gè)分析 由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)? 不能排首位，故 0 就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按 0 排 在末尾和 0 不排在末尾分兩類： 1) 0 排末尾時(shí)，有 P(4,2)=12 個(gè),2) 0 不

4、排在末尾時(shí)，則有 C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18 個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù) 原 理，共有偶數(shù) 30 個(gè)，選 B。例 4、馬路上有 8 只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照 明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：表面上看關(guān)掉第 1 只燈的方法有 6 種，關(guān)第二只，第 三 只時(shí)需分類討論，十分復(fù)雜。若從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的 方法對(duì) 應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化 為“在 5 只亮燈的 4 個(gè)空中插入 3 只暗燈”的問題。故關(guān)燈方法種 數(shù)為C(4,3)=4 。三、插空法、捆綁法對(duì)于某幾個(gè)元素不

5、相鄰的排列問題，可先將其他元素排好， 再 將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例 5 、 7 人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有 多少種不同的排法？分析：先將其余四人排好有 P(4,4) 種排法，再在這人之間 及兩 端的 5 個(gè)“空”中選三個(gè)位置讓甲乙丙插入，則有 P(5,3) 種方 法，這 樣共有 P(4,4)*P(5,3)=1440 種不同排法。對(duì)于局部“小整體”的排列問題， 可先將局部元素捆綁在 一起 看作一個(gè)元，與其余元素一同排列，然后在進(jìn)行局部排列。例 6 、 7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一個(gè)“元”，

6、與其余 4 人共 5 個(gè) 元作全排列，有 P(5,5) 種排法，而甲乙、丙、之間又有 P(3,3) 種排法， 故共有 P(5,5)*P(3,3)=720 種排法。四、排除法對(duì)于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除 去，此時(shí)需注意不能多減，也不能少減。例如在例 3 中，也可用此法解答：五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全 排列有 C(4,1)P(4,2)=48 個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn) 0 不能排首位，而且數(shù)字 3， 5 也不能排末位，這兩種排法要除去，故有 C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30 個(gè)偶數(shù)。五、順序固定問題用“除法” (對(duì)等法 ) 對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問

7、題，可先把這幾個(gè)元素 與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例 7、 6 個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲 - 乙-丙”順序 排的排隊(duì)方法有多少種？分析： 不考慮附加條件，排隊(duì)方法有 P(6,6) 種，而其中甲、乙、 丙的種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有 P(6,6)/P(3,3)=120 種。六、構(gòu)造模型“擋板法” 對(duì)于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔 板 模型來解決問題。例 & 方程 a+b+c+d=12 有多少組正整數(shù)解？ 分析：建立隔板模型：將 12 個(gè)完全相同的球排成一列，在它 們 之間形成的 11 個(gè)間隙中任意插入 3 塊隔板

8、，把球分成 4 堆，每一 種分 法所得 4 堆球的各堆球的數(shù)目，對(duì)應(yīng)為 a、b、c、 d 的一組正整 解，故 原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有 C(11,3)=165 。例 9、把 10 本相同的書發(fā)給編號(hào)為 1、2、3 的三個(gè)學(xué)生閱覽 室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的 種 數(shù)？解：先讓 2、3 號(hào)閱覽室依次分得 1本書、 2 本書；再對(duì)余下 的7 本書進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在 7 本相同 書之間的 6 個(gè)“空檔”內(nèi)插入 2 塊隔板共有 C(6,2)=15 種插 法。又如六個(gè)“優(yōu)秀示范員”的名額分配給四個(gè)班級(jí)，有多少種 不 同的分配方法？ 經(jīng)過轉(zhuǎn)化后

9、都可用此法解。七、分排問題“直排法” 把幾個(gè)元素排成前后若干排的排列問題， 若沒有其它的特殊 要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例 9、7個(gè)人坐兩排座位，第一排 3 個(gè)人，第二排坐 4個(gè)人，則不同 的 坐法有多少種？分析：7 個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故 兩 排可看作一排來處理，不同的坐法共有 P(7,7)=5040 種。八、構(gòu)造方程或不等式例 10 : 某賽季足球比賽的記分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得 3 分；平 一 場(chǎng)得 1 分；負(fù)一場(chǎng)得 0 分。一球隊(duì)打完 15 場(chǎng)積 33 分，若不考慮 順 序，該隊(duì)勝、負(fù)、平情況共有 ( )A.3 種 B.4 種 C.5 種D.6 種解析：設(shè)該隊(duì)

10、勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)，則負(fù)(15-x-y)場(chǎng)，由題意得因此，有以下三種情況：x=11,y=0 或 x=10,y=3 或 x=9,y=6 故選 A 例 12 、把一張 20 元面值的人民幣換成 1 元、2 元或 5 元面 值 的人民幣，有多少種不同的換法？解：設(shè)對(duì)換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，5元 的 人民幣 z 張，則 x+2y+5z=20當(dāng)z = 0時(shí)，x+2y=20 , x可以取0、2、420，有11種方 法。當(dāng)z = 1時(shí)，x+2y=15 , x可以取1、3、515，有8種方法。當(dāng)z = 2時(shí)，x+2y=10 , x可以取0、2、410，有6種方法。當(dāng) z = 3 時(shí)， x+2y=5 , x 可以取 1、 3、 5 有 3 種方法。當(dāng) z = 4 時(shí)， x+2y=0 , x=0 , y=0,1 種方法。故共有 11+8+6+3+1=29 種方法。九、枚舉法：有些計(jì)數(shù)問題由于條件過多，從排列或組合的角度思考不 太 方便，可以嘗試用枚舉法，枚舉時(shí)也要按照一定的思路進(jìn)行，才 能做到 不重不漏。例