ch18.2隱函數(shù)組.

1、除因敦俎枇念設有一組方程f F(x,j,u,v) = O,A G(x,j,w,v) = O,其中F與G定義在V u R4.若存在D,Eu R2, 使得對于任給的(x)w 0有惟一的(m, v)gE與 之對應,能使(x,j,m,v)gV,且滿足方程組(1), 則稱由(1)確定了隱函數(shù)組(x,j)eD, (, v)eE,(x,j)gD.并有G( x9y9u(x9y)9v(x9y) = 0,關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形(含有m + n個變量的 加個方程所確定的個隱函數(shù))，在本章不作詳 細討論.首先來看看，若由方程組（1）能確定兩個可微的隱 函數(shù)=“（*）與卩=（兀,丿），則函數(shù)應滿 足何種條件呢？不妨先設

2、八G都可微.由復合求導法，通過對（1） 分別求關(guān)于x與關(guān)于y的偏導數(shù)，得到f Fr + F.“+ Fvvr = 0, j x u *1 x（2）Ig*+G“”x+G 七=0；F +F u F v =0,nGy +G“y 4-GyVy = 0.能由與惟一解出（幾）與（竹，少）的充要條件是雅可比（Jacobi）行列式不等于零，即_ 0(F,G) def d(mv)由此可見，只要兒G具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且 J兒*0其中垃（*00山0川o）是滿足的某一 初始點，則由保號性定理，日1/（幾）,使得在此鄰域 內(nèi)（4）式成立.根據(jù)以上分析，便有下述隱函數(shù)組定理.二.唸因數(shù)組定理定理1.4 （隱函數(shù)組定理）

3、設方程組（1）中的函數(shù)F與G滿足下列條件：（i）在以點兒（丸,兒,心,）為內(nèi)點的某區(qū)域VaR4 上連續(xù)；（ii）F（幾）=G（仇）=0 （初始條件）；（iii）在V內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導數(shù)；5(F,G) d(u.v)則有如下結(jié)論成立：1必定存在鄰域（仇） = l/（a）xU（Wo）uV,其中Qq =（勺9兒）9=（!/q9Vq）9 使得即有：（；（5如，（）B）;且滿足 wo=w(x(pjoh vo=v(x(po)以及(x,y)EU(Qn).2 w(x,j),v(x,j)在 U(Q0)上連續(xù).3在U(Q0)上存在一階連續(xù)偏導數(shù)，且有cu 1 a(F,G)=-dx J d(x) 包 丄0(F,G)

4、 cy J d(y,v)cv15(F,G)ax J5(w,x)dv1二5(F,G)l dyJd(u.y)本定理的詳細證明從略(第二十三章有一般隱函 數(shù)定理及其證明)，下面只作一粗略的解釋：由方程組(1)的第式 F(x,j,w,v) = O 確定函數(shù)“ =且有眼=-匚岸(P產(chǎn)-FjFy(pv=-Fv/Fu.將u =(p(x,y,v)代入方程組(1)的第二式，得 /(x,j,v) = G(x,j,(x,j,v),v) = 0.再由此方程確定隱函數(shù)v = v(r,j),并代回至u = q)(x9yv(x9y) = u(x9y).這樣就得到了一組隱函數(shù)M = w(x,j), v = v(x,y).通過

5、詳細計算，又可得出如下一些結(jié)果：Hx =GX +G“, Hv = Gu(pv +GP;duFx Fv( Hx- = 4-=- -J二 j J Gx Gu(px =l = 1 Q(F,G) Fu Fu Gu(pv +G，J d(x9v)du.1 d(F,G)礦卩”戶一了麗亍同理又有空“丄業(yè)凹，空“丄竺叟 dx J 3(t/,x) dy J d(u9y)它們在R3上有連續(xù)的各階偏導數(shù).再考察 在點P.關(guān)于所有變量的雅可比矩陣Fx Fy F G* Gy G.x+z 2yz x2 + z y-2z %由于-2 2d(x,y) po -4 2d(F.G)11O(F,G)d(y9z)0(F,G)=d(z,

6、x) Pq因此由隱函數(shù)組定理可知，在點片)近旁可以惟一地確定隱函數(shù)組：(x = x(z),與 | z = z(y),y = y(z)3 I x = x(j)；但不能肯定j, z可否作為x的兩個隱函數(shù).運用定理18.4的結(jié)論3；可求得隱函數(shù)在點仇處 的導數(shù)值：dxV(F,G)/0(FG)dzPo 10(W,V)寫成點函數(shù)形式，即為Q = T(P),Pw；并記的象集為S現(xiàn)在的問題是：函數(shù)組(6)滿足 何種條件時，卩存在逆變換r-1?即存在T1: BtB,Q(u.v) a P(x,y)(或 P = T-(Q),QwBJ,亦即存在一個函數(shù)組x = x(,v), y =(“,(7)使得滿足uu(x(u9

7、v)9y(u9v)9 vsv(x(m,v),(w,v)這樣的函數(shù)組（7）稱為函數(shù)組（6）的反函數(shù)組.它 的存在性問題可化為隱函數(shù)組的相應問題來處理.為此，首先把方程組（6）改寫為F(x9y9u9v) = u-u(x9y) = 0,G(x9y9u9v) =v-v(x,j) = 0.然后將定理18. 4應用于（8）,即得下述定理.定理18. 5（反函數(shù)組定理）設（6）中函數(shù)在某區(qū)域 D u 上具有連續(xù)的一階偏導數(shù),厶（丸仇）是D 的內(nèi)點，且5=（兀0，兒），=”（勺0）,0(川)0(x,j)則在點用(知0)的某鄰域(丐)內(nèi)，存在惟一 的一組反函數(shù)(7),使得“0 =Jo =y(o，%)；(x(u,

8、v),j(l/,v) (/(PQ)；“ “(x(y),y(y )9 w(x(“, 此外，反函數(shù)組在u(p；)內(nèi)存在連續(xù)的一階 偏導數(shù)；若記d(F,G) d(u,v)xy= d(x.y) =d(x.yf則有dx 3(F,G) /5(F,G)du d(my) / d(xy).V同理又有dxy dy _ vx dy _ uxdv Jxy du Jxy dv Jxy由(9)式進一步看到：a(x,y) = vy uy5(w,v) Jxy2 -vx ig_ “宀一“宀 _ 丿卩 _ | / 5(o,v)Jxy2 Jxy2 _ / 蹟3亍 此式表示：互為反函數(shù)組的(6)與(7),它們的雅 可比行列式互為倒數(shù)

9、，這和以前熟知的反函數(shù)求 導公式相類似.于是可把一元函數(shù)的導數(shù)和函數(shù) 組(6)的雅可比行列式看作對應物.例3平面上點的直角坐標(X*)與極坐標(口0)之 間的坐標變換為T : x=/*cos0, y =rsinG.試討論它的逆變換.解由于d(x,y) cos0 -rsin0 _d(r0) sin rcos 因此除原點(=0)外，在其余一切點處，T存在 逆變換廠、arctan P 5K + arctanP VO,xn +arccot y, j 0.例4空間直角坐標（x,z）與球坐標之間的坐標變換為（見圖18-5）IX=psinpcos 仇T:y = Qsin0sin0,PLz=pcos(p.r由

10、于A圖 185d(x.y.z) d(p.(p,O)sincosdQCOS0COS0-psinsin=sinsindpcos(psin0Qsin0cos0COS0-psinp0=Qsin因此在p2sinpO （即除去Oz軸上的一切點）時, 卩存在逆變換r-1：V0 = arctan x例5設有一微分方程（弦振動方程）:(10)其中傾x,f）具有二階連續(xù)偏導數(shù).試問此方程在 坐標變換T:u = xat.v=x-at之下，將變成何種形式?解據(jù)題意，是要把方程（10）變換成以“作為自變量的形式.現(xiàn)在按此目標計算如下：首先有0( V ) d(x.t)=2a 工 0,故T的逆變換存在，而且又有di/ = wvdx+ wzdf =dx+adf, dv =dx-ad/. 依據(jù)一階微分形式不變性。得到=(pudu=(“ +,)dx + a(0“ 一,)df,并由此推知繼續(xù)求以為自變量的久X與0的表達式:Vxx = （% + ，）心 + （% + 久加 OUOV=% + 久“ + % + %，= % + 2（Puv + %，” qaPu =咕嘰一（pv ）ut + a 才（0“ -（pv ）vtduov= （Pmt 2 （puy + （Pyy ） 最后得到以心V為自變量的微分方程為