歷史相似性及其教學(xué)啟示

1、歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l 歷史發(fā)生原理l 海克爾（E. Haeckel, 1843-1919）生物發(fā)生學(xué)定律“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”在教育中的應(yīng)用：“個(gè)體認(rèn)知的發(fā)生遵循人類認(rèn)知發(fā)展的過程?！本蛿?shù)學(xué)教育而言，個(gè)體數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序。歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l Herbert Spenser (1894) 對(duì)孩子的教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類的教育，換言之，個(gè)體知識(shí)的發(fā)生必須遵循人類知識(shí)的發(fā)生過程。 歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l Benchara Branfo

2、rd (1908) 我的目的是展示人類幾何知識(shí)演進(jìn)的實(shí)際方式與學(xué)生最樂意與最有效吸收該經(jīng)驗(yàn)的方式之間的相似性。需要特別指出的是，我并非在試圖證明人類與個(gè)體幾何知識(shí)發(fā)展的必然相似性我所希望做的是要說明，為教育之目的，幾何學(xué)的最有效的講授方式乃是遵循科學(xué)歷史演進(jìn)的順序。歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l F克萊因（F. Klein, 1849-1925）： 生物發(fā)生學(xué)的一項(xiàng)基本定律指出，個(gè)體的成長要經(jīng)歷種族成長的所有階段，順序相同，只是所經(jīng)歷的時(shí)間縮短。我想教授數(shù)學(xué)和其他任何事情一樣，至少在原則上要遵照這項(xiàng)定律?？茖W(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)去作科學(xué)的思考，並不是一開頭就教人去碰冷漠的、經(jīng)過科

3、學(xué)洗練的系統(tǒng)。推廣這種自然的真正科學(xué)的教學(xué)的主要障礙是缺乏歷史知識(shí)。歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示F克萊因（F. Klein, 1849-1925）歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l 龐加萊（H. Poincar, 1854-1912）： 動(dòng)物學(xué)家堅(jiān)持認(rèn)為，在一個(gè)短時(shí)期內(nèi)，動(dòng)物胚胎的發(fā)育重蹈所有地地質(zhì)年代其祖先們的發(fā)展歷史。人的思維發(fā)展似乎也是如此。教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段。鑒于此，科學(xué)史應(yīng)該是我們的指南。歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示龐加萊（H. Poincar, 1854-1912）歷史相似

4、性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l 波利亞 只有理解人類如何獲得某些事 實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì) 人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣 的知識(shí)作出更好的判斷。G. Plya （1887-1985）歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l 弗賴登塔爾 年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的 學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變 了。 H. Freudenthal （1905-1990）歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l 弗賴登塔爾 （ICME-4, 1980）： 數(shù)學(xué)史乃是一個(gè)不斷進(jìn)步的系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過程。兒童無需重蹈人類的歷史，但他們也不可能從前人止步的地方開始。從某種意義上說，兒童應(yīng)該重蹈歷史，盡管不是實(shí)際發(fā)

5、生的歷史，而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西，將會(huì)發(fā)生的歷史。 H. Freudenthal (1905-1990)歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l M克萊因： 我堅(jiān)信歷史順序是教學(xué)的指 南。我們無需完完全全追隨 歷史，但如果大數(shù)學(xué)家在作 出某些創(chuàng)造時(shí)遇到困難，我 們的學(xué)生也必會(huì)遇到。 M. Kline (1908-1992)歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l M克萊因： 數(shù)學(xué)家花了幾千年時(shí)間才理解無理數(shù)，而我們竟貿(mào)然給中學(xué)生講戴德金分割。數(shù)學(xué)家花了三百年才理解復(fù)數(shù)，而我們竟馬上就教給學(xué)生復(fù)數(shù)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)。數(shù)學(xué)家花了約一千年才理解負(fù)數(shù)，但現(xiàn)在我們卻只

6、能說負(fù)數(shù)是一個(gè)有序自然數(shù)對(duì)。從伽利略到狄利克雷，數(shù)學(xué)家一直絞盡腦汁 歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示 去理解函數(shù)的概念，但現(xiàn)在卻由定義域、值域和有序?qū)Γǖ谝粋€(gè)數(shù)相同時(shí)第二個(gè)數(shù)也必須相同）來玩弄把戲。從古代埃及人和巴比倫人開始直到韋達(dá)和笛卡兒，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家意識(shí)到字母可用來代表一類數(shù)，但現(xiàn)在卻通過簡單的集合思想馬上產(chǎn)生了集合這個(gè)概念。 歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示l 皮亞杰、加西亞 科學(xué)在歷史跨越過程中所做出的各種進(jìn)步，不是以隨意的形式呈現(xiàn)的，而是按一定順序排列的。與心理發(fā)生一樣，是以一系列連續(xù)的“階段”呈現(xiàn)。促成歷史時(shí)期跨越的轉(zhuǎn)化機(jī)制與那些促成心理階段跨越的轉(zhuǎn)化機(jī)制

7、是相似的。 歷史相似性及其教學(xué)啟示歷史相似性及其教學(xué)啟示Furinghetti: 將數(shù)學(xué)史用于數(shù)學(xué)教學(xué)的過程案例案例 1 三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理C1C2C3C4C5AB案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用時(shí)時(shí) 間間作者或著作作者或著作工工 作作相似三角形性質(zhì)相似三角形性質(zhì)前2000年？ 巴比倫祭司分割直角三角形面積之比等于對(duì)于邊平方比前6世紀(jì)泰勒斯測(cè)量金字高度及輪船與海岸距離對(duì)應(yīng)邊成比例前6世紀(jì)歐帕里諾斯開掘直線穿山隧道對(duì)應(yīng)角相等前2世紀(jì)周髀算經(jīng)測(cè)量太陽直徑對(duì)應(yīng)邊成比例1世紀(jì)九章算術(shù)遠(yuǎn)距離測(cè)量對(duì)應(yīng)邊成比例案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用案例案例 2 相似三角形

8、的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用隧道全長 1036米，寬1.8米，高1.8米 案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用l 薩莫斯島上的穿山隧道(前530年)ENTRANCEENTRANCETUNNELMOUTAINNJPHGFEDCLMKBA案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用l 泰勒斯是如何測(cè)量金字塔高度的？Thales (about 624 BC - about 547 BC)案例案例 2 相似三角形的應(yīng)用相似三角形的應(yīng)用l 泰勒斯是如何測(cè)量輪船離

9、海岸距離的？案例案例3 一元二次方程的概念一元二次方程的概念案例案例3 一元二次方程的概念一元二次方程的概念例例 1 矩形面積為12，寬為長的3/4。問該矩形的長、寬各為多少？（埃及紙草書）例例 2 已知矩形面積為60，長比寬多7。問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。例例 3 已知矩形面積為60，長比寬多7。長寬之和為17，問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。 （巴比倫泥版 ）案例案例3 一元二次方程的概念一元二次方程的概念例例 4 長為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當(dāng)梯子的頂端沿墻向下滑動(dòng)6英尺時(shí)，底端離墻滑動(dòng)多遠(yuǎn)？例例 5 在例 3 中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動(dòng)6

10、英尺，那么底端將再一次滑動(dòng)多遠(yuǎn)？試列出底端再一次滑動(dòng)的距離所滿足的方程。案例案例3 一元二次方程的概念一元二次方程的概念例例 6 如圖，有一所正方形的學(xué)校，南門和北門各開在南、北面圍墻的正中間。在北門的正北方20米處有一顆大榕樹。一個(gè)學(xué)生從南門出來，朝正南方走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見到學(xué)校北面的大榕樹。問這所學(xué)校每一面圍墻的長度是多少？試列出方程。案例案例3 一元二次方程的概念一元二次方程的概念 1775 14 20案例案例4 解一元二次方程的因式分解法解一元二次方程的因式分解法l 哈里奧特（T. Harriot, 1560-1621）：a +b a-ba +c a-ca +d

11、a-daaa-baa+bca-caa+bda-daa+cda-bcd=0=0=0=0=案例案例4 解一元二次方程的因式分解法解一元二次方程的因式分解法l 笛卡兒（R. Descartes, 1596-1690）幾何學(xué)（1637）： 將一元一次方程 x -2 = 0和 x - 3 = 0相乘，得一元二次方程 ，它的兩個(gè)根為 2 和 3。借鑒歷史，教師可以先給出下面的例子。例例 1 解下列方程：（1）(x-4)(x+4)=0；（2）(x- 3) (x-4) = 0；（3）(2x+3)(x-1)=0。2560 xx案例案例4 解一元二次方程的因式分解法解一元二次方程的因式分解法 在得到諸方程的根之后

12、，教師進(jìn)一步問：上面三個(gè)方程是否一元二次方程？讓學(xué)生將方程左邊展開，得到一般形式的一元二次方程之后，讓學(xué)生思考：對(duì)于一般的一元二次方程，我們能否反過來把左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，從而得出兩個(gè)根呢？例例2 解下列方程： （1） ；（2） 。2250 x 28120 xx案例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念例1、列一元一次方程，解下列各文字題：（1）已知長方形的長和寬的1/4倍之和等于7，長、寬之和等于10。求長和寬。（古巴比倫泥版）（2）已知兩塊地共1畝，第一塊地畝產(chǎn)4擔(dān)糧食，第二塊地畝產(chǎn)3擔(dān)糧食。第一塊地的產(chǎn)量比第二塊的產(chǎn)量多擔(dān)。問：兩塊地的面積各為多少？（古巴比倫泥版）案

13、例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念（3）已知每立方寸玉重7兩；每立方寸石重6兩。現(xiàn)有一塊邊長為3寸的立方石塊，其中含有玉，總重11斤。問：這塊立方石塊所含玉、石的重量各為多少？（中國九章算術(shù)）（4）已知兩數(shù)之和為100，差為40，求這兩個(gè)數(shù)。（丟番圖算術(shù)）案例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念（5）某人工作1月（30天），得7比贊（古羅馬貨幣）；怠工一月，付給工頭4比贊。月末，他從工頭處得到1比贊。問：此人工作幾天？怠工幾天？（斐波納契計(jì)算之書）（6）為了鼓勵(lì)兒子學(xué)好算術(shù)，兒子每做對(duì)一道題，父親給他8分錢；做錯(cuò)一道題，罰5分錢。做完26道題后，誰也不用給誰錢。問：

14、兒子做對(duì)了幾道題？（克拉維斯代數(shù)）案例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念l 教師先讓學(xué)生解上述諸題，然后讓學(xué)生回答：所選擇的未知量是什么？另一個(gè)量是什么？如何表示？根據(jù)題意得到怎樣的一元一次方程？最后，教師作出總結(jié)，如下表所示。案例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念題次題次未知量未知量另一個(gè)量另一個(gè)量一元一次方程一元一次方程（1）長方形的長（x）（2）第一塊地的面積（x）（3）玉的體積（x）（4）較小的數(shù)（x）（5）工作天數(shù)（x）（6）做對(duì)題數(shù)（x）案例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念l 接著，教師讓學(xué)生思考：上面六個(gè)問題各涉及兩個(gè)量，我們?cè)谇蠼獾臅r(shí)

15、候，只設(shè)其中一個(gè)為 x，而另一個(gè)量則根據(jù)題設(shè)的其中一個(gè)數(shù)量關(guān)系，用x來表示，最后利用另一個(gè)數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)于x的一元一次方程。如果我們把另一個(gè)量也看作未知量，并設(shè)為 y，情形又如何呢？在學(xué)生討論之后，讓他們回答：兩個(gè)未知量分別是什么？根據(jù)題意可得怎樣的等式？有幾個(gè)等式？ 案例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念題次題次未知量之一未知量之一未知量之二未知量之二方程一方程一方程二方程二（1） 長方形長（x）長方形的寬（y）（2）第一塊地面積（x）第二塊地面積（y）（3）玉的體積（x）石的體積（y）（4）較小的數(shù)（x）較大的數(shù)（y）（5）工作天數(shù)（x）怠工天數(shù)（y）（6）做對(duì)題數(shù)（x）做

16、錯(cuò)題數(shù)（y）案例案例5 二元一次方程二元一次方程組的概念組的概念例例2、閱讀下列問題，設(shè)未知數(shù)，分別列出一元一次方程和二元一次方程組：（1）有一位行人傍晚經(jīng)過一個(gè)樹林，忽聽得林間有人在說話，細(xì)聽方知是一群竊賊在討論分贓之事。只聽得竊賊說：“每人6匹，則多出5匹；每人7匹，則又少了8匹?！眴枺汗灿袔讉€(gè)竊賊，幾匹贓物？（高彥休唐闕史）（2）若干人共同出錢購物，若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則又少了4元。問：共有幾個(gè)人？物價(jià)是多少？（九章算術(shù)）案例案例 7 等比等比數(shù)數(shù)列求和列求和u萊因得紙草書（約公元前1650年）124房屋 貓老鼠麥穗容積總數(shù) 7 49 343 240116807196

17、07 2801 56021120419607案例案例 6 等比等比數(shù)數(shù)列求和列求和萊因得紙草上的等比數(shù)列問題萊因得紙草上的等比數(shù)列問題 案例案例 6 等比等比數(shù)數(shù)列求和列求和12nnaqaqaqaS22naqaqaqaqa1nqSa1nnaqSqaqaqaSnn11q案例案例 6 等比等比數(shù)數(shù)列求和列求和u歐幾里得幾何原本（公元前3世紀(jì)） 第 9 卷命題 35nnaaaaaa12312nnnaaaaaaaaa1223112案例案例 6 等比等比數(shù)數(shù)列求和列求和11122111qaaaaaaaann111qqaSnn1q案例案例 7 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)之引入之引入 課本的引入 x2+ 1 = 0 （ ）

18、(在初中，老師告訴我們，負(fù)數(shù)沒有平方根；現(xiàn)在，老師又說了，到底怎么回事？難道方程非要有根不可嗎？郁悶啊！)1x1i案例案例 7 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)之引入之引入l x3pxq l 邦貝利 （4， ） 332322pqqx332322pqq 4153xx3312121212x32、案例案例 7 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)之引入之引入l 萊布尼茨： x2+y2=2, xy=2 萊布尼茨驚嘆：“在一切分析中，我從來沒有見過比這更奇異、更矛盾的事實(shí)了。我覺得自己是第一個(gè)不通過開方而將虛數(shù)形式的根化為實(shí)數(shù)值的人。”63131案例案例 7 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)之引入之引入 惠更斯（C. Huygens, 1629 1695）的驚訝： “含有虛數(shù)的不可開根相加結(jié)果竟就是一個(gè)實(shí)數(shù)，你的這一結(jié)果令人驚訝，前所未有。人們決不相信 會(huì)等於 ，這里面隱藏著我們無法理解的東西?！?1313 6案例案例 7 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)之引入之引入l 迄今為止，同學(xué)們一直都在實(shí)數(shù)的海洋里遨游。那么，有沒有實(shí)數(shù)之外的數(shù)呢？請(qǐng)大家探索以下問題： 已知 ， ，(1)求x + y