三角恒等變換-知識點+例題+練習

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切基礎(chǔ)梳理1 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1) C( a - 3): cos(a p)= cosa cosB+ sin_asin_B；(2) C( a + 3) : cos(a +p)= cos_a cos_3 sin一asin_ ；(3) S ( a + 3) : sin(a +3)= sin_a cos_3+ cos_asin, 3;(a 3)a 3a3a3(4) S: sin( ) = sin_ cos_ cos_ sin_tan a + tan 3(5) T( “ + 3) : tan( a + 有關(guān)公式的逆用、變形等 ) = 1 tan a tan 3

2、tan a ta n 3丁( a 3) : tan( a 3 ) =1 +tana tan 32 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2:sin 2=2sina cos(2)C 2a : cos 2 a =cos a sin 2 a =2cos2 a 1 = 1 一2sin 2 a ;2ta n a2 aa =2 T: tan 21 tan a(1)tana± tan 3 = tan( a±3 )(1 ? tan_ a tan_ 3 )；1 一 cos 2a(2)cos 2 a= 1 + cos 2, sin 2 a(3)1 + sin 2 a= (sin a + cosa

3、 ) 2,1 sin 2 a= (sin a cos)2,sin a函數(shù)4£cos a = 2sina± 4f a= aa + b() cossina, b為常數(shù)，可以化為f) (b2sin( a0 )或 f ( a ) = a2 + b2cos(a0 )，其中o可由a, b的值唯一確定.兩個技巧、一 a一 土一一3(1)拆角、拼角技巧：2 a = (a + 3 ) + (a 3 ) ； a = (a+ 3 ) 3；3='"-一 一 2a P a Bf: 0 ai 4 邕 總氨 * 五 血 1I JT i Bi 血a-" dr f- ! | jf

4、r HHt i i g-2 ；2=- + 2 2+ P .(2)化簡技巧：切化弦、“1”的代換等三個變化(1) 變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”(2) 變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3) 變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組 合”、“配方與平方”等.雙基自測11 (人教A版教材習題改編)下列各式的值為4的是( -冗A. 2cos 2 1)B. 1 2sin 2 75°122ta n 22.5

5、C. 21 tan 222.5D- sin 15 ° cos 15 sin 2 a2. (2011 福建)若tan a = 3，貝Icos2 a的值等于(a 2aJIL3 已知 sin = 3，則 cos( n 2 )等于().n 14. (2011 遼寧)設(shè) sin 4+0 = 3，則 sin 29=(5. tan 20 °+ tan 40 °+ 3tan 20 ° tan 40° =考向一三角函數(shù)式的化簡2cos4x 2cos2 x+【例1】?化簡冗2 n2ta nx Sin審題視點切化弦，合理使用倍角公式.文案大全丈感總汨芳三角函數(shù)式的化

6、簡要遵循“三看”原則:(1) 一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式;(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.sin a+ COS a 1 Sin a COS a+ 1【訓練1】化簡：sin 2 a考向二三角函數(shù)式的求值冗【例2】?已知0V 2 VaVn,且I1'' B )1fa )2cos a - 2 = 9，sin 2 卩=3,求cos( a + B )的值.丁V、三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示： 已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和或差

7、.(2)已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補”關(guān)系.n1rl41【訓練2】已知a,3 0, 2 , sina = 5, tan( a 3 ) =-一3，求< cos 3的值.考向三三角函數(shù)的求角問題113na_a33a3【例3】?已知cos= 7, cos()=14,且 Ov vv 2, 求空注2通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)； n 若角的范圍是 0 , 2，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0 , n )，選余弦較好；_ n n若角的范圍為-2， 2，選正弦較好.n n【訓

8、練3】已知a,，且tan a , tan 3是方程 x2 + 3 3x + 422=0的兩個根，求a +3的值.考向四三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【例4】？ (2010 北京)已知函數(shù)f ( x) = 2cos 2 x + sin 2x.冗II(1) 求f 3的值；(2) 求f ( x)的最大值和最小值.I冷騎卞 高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查還往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中需要利用這些公式，先把函數(shù)解析式化為y =Asin( 3 x +0 )的形式，再進一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、 周期性、對稱性等性質(zhì).【訓練4】 已知函數(shù)f ( x) = 2sin( n x

9、)cos x.(1) 求f ( x)的最小正周期；£ n n |(2) 求f ( x)在區(qū)間6 , 2上的最大值和最小值.三角函數(shù)求值、求角問題策略面對有關(guān)三角函數(shù)的求值、化簡和證明，許多考生一籌莫展，而三角恒等變換更是三角函數(shù)的求值、求角問題中的難點和重點，其難點在于：其一，如何牢固記憶眾多公式，其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、求角方法.一、給值求值一般是給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值， 解題的關(guān)鍵在于“變角”，如 a = (a+ 3 ) 3， 2 a = (a+B ) + (a 3 )等，把所求 角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討

10、論.f ntan xI ll 丿x的值為【示例】？ (2011 江蘇)已知tan x+ 4 = 2,則tan 2.二、給值求角“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.1 1a 33a 3【示例】？ (2011 南昌月考)已知tan( ) = 2, tan= 7,且，a 3 (0，冗)，求2 的值.文案大全三角恒等變換與向量的綜合問題兩角和與差的正弦、余弦、正切公式作為解題工具，是每年高考的必考內(nèi)容，常 在選擇題中以條件求值的形式考查.近幾年該部分內(nèi)容與向量的綜合問題常出現(xiàn)在解答題中，并且成為高考的一個新考查

11、方向.【示例】？ (2011 溫州一模)已知向量 a = (sin e , - 2)與b = (1 , cos e)冗互相垂直，其中e 0,刃求sin e和cos e的值； 若 5cos( e o)= 3 5cos 0， 0v 2，求 cos 0 的值.【課后訓練】A組專項基礎(chǔ)訓練(時間：35分鐘，滿分： 57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)11 . (2012 江西)若 tane+ tane= 4，貝"sin 2 e 等于( )A. 5（2012B. 4-大綱全國已知a, B都是銳角，( )A. 4n 3 nc.4 和 4（2011 福建）若a（ ）j2A. 2)已知C. 3

12、D.sina + COS a =，則cos 2 a等于sina=c. 9 _5 5, sin3nB. 4nD. - 4 和一,且 sin.3B. 33=a+ COS 25D. 3二010 ,貝y a+a= 4，貝V tana的值等于二、填空題（每小題5分，共15分）2 25. cos 75 ° + cos 15 ° + cos 75 ° cos 15 °的值等于 .護tan 12 °- 36. 4cos212 ° - 2sin 12 ° = .33nI7. sin a= 5， cos B= 5，其中 a,0,2 ，貝y a+

13、 B= 三、解答題(共22分)(1 + sin a8. （10 分）已知1 sin a集合.2tana,試確定使等式成立的a的取值c69. (12(1)分）已知求cosa 2 a的值;冗，且 sin2 + cos 22若 s in(352n ，求cos B的值.J_r廠3 x 42523+1 x-5B組專項能力提升（時間：25分鐘，滿分：43分）一、選擇題（每小題5分，共15分）nn J - 13.71 . (2012山東）若0GH" I4 ,2,sin 2 0 =8 ，則sin 0等于B .最大值是A. 5C. 4已知 tan( a+B)=tan1313B. 53D. 4n41=1，那么 I4,ntan a+等于k 4A. 183C.22B. 221D.-62時，函數(shù)f （ x）i <=sin x + 3cosA .最大值是1，最小值是一1，最小值是一C .最大值是 2，最小值是一D .最大值是 2，最小值是一、填空題（每小題5分，共15分）114 .已知銳角a 滿足 cos 2 a=cosI4 a1;，則 sin 2a=n12n、4 ,cos 2 a5 .已知 cos4a=