高中數(shù)學 圓錐曲線章節(jié)復習知識精講 文 人教版第二冊

1、高二數(shù)學高二數(shù)學圓錐曲線章節(jié)復習圓錐曲線章節(jié)復習人教版（文）人教版（文）【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內容：圓錐曲線章節(jié)復習二. 重點、難點：1. 重點： 橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質2. 難點：直線和圓錐曲線的位置關系、最值問題、幾何性質的應用三. 知識結構：【典型例題典型例題】例 1 已知), 0，試討論當?shù)闹底兓瘯r，方程1cossin22yx表示曲線的形狀。解：解：（1）當0時，方程為12y，即1y，表示兩條平行于x軸的直線。（2）當)4, 0(時，0sincos，方程可化為1cos1sin122yx，表示焦點在x軸上的橢圓。（3）當4時，方程為222 yx，表

2、示圓心在原點，半徑為42的圓。（4）當)2,4(時，0cossin，方程1cossin22yx表示焦點在y軸上的橢圓。（5）當2時，方程化為12x，表示兩條平行于y軸的直線。（6）當),2(時，0sin，0cos，方程1cossin22yx表示焦點在x軸上的雙曲線。例 2 已知雙曲線的中心在原點，焦點1F、2F在坐標軸上，一條漸近線方程為xy ，且過點（4，10） 。（1）求雙曲線方程；（2）若點 M（3，m）在此雙曲線上，求1MF2MF；（3）求21MFF的面積。解：解：（1）由題意知，雙曲線的方程是標準方程 雙曲線的一條漸近線方程為xy 設雙曲線方程為22yx把點（4，10）代入雙曲線方程

3、得22)10(4，6 所求雙曲線方程為622 yx（2）由（1）知雙曲線方程為622 yx 雙曲線的焦點為)0 , 32(1F、)0 , 32(2F M 點在雙曲線上 6322 m，32m 22221)32() 3(), 332(), 332(mmmMFMF 033（3） 021MFMF 21MFMF 21MFF為直角三角形 31224)()332(221mMF31224)()332(222mMF 6312243122421212121MFMFSMFF例 3 已知拋物線)0(42aaxy的焦點為 A，以 B（0 , 4a）為圓心，AB長為半徑，在x軸上方的半圓交拋物線于不同的兩點 M、N，P

4、是 MN 的中點。（1）求ANAM 的值；（2）是否存在這樣的a值，使AM、AP、AN成等差數(shù)列？解：解：如下圖，A（0 , a） 4AB 圓的方程為16)4(22yax與axy42聯(lián)立得08)4(222aaxax 0)8(4)4(422aaa 解得10 a)4(221axx aaxx8221設),(),(2211yxNyxM 則axAM1，axAN2 8282221aaaxxANAM（2）設 P（00, yx） ，則2102xxx，2102yyy )(22210axaxy aaxaxy210aaaaxxxx8228222121 )8228,4(2aaaaaP若AM、ANAP、成等差數(shù)列，則4

5、AP 16)8228()24(22aaaaa解得1a，這與10 a矛盾故不存在a，使ANAPAM、成等差數(shù)列例 4 已知雙曲線1222yx與點 P（1，2） ，過 P 點作直線l與雙曲線交于 A、B 兩點，若 P 為 AB 的中點。（1）求直線 AB 的方程；（2）若 Q（1，1） ，證明：不存在以 Q 為中點的弦。方法一：方法一：（1）解：解：設過 P（1，2）點的直線為) 1(2xky，代入雙曲線方程得0)64()42()2(2222kkxkkxk由線段 AB 中點為 P（1，2） 22422221kkkxx解得1k，又1k時，使016 從而直線 AB 方程為01 yx（2）證明：證明：按

6、同樣方法求得2k，而2k使0，所以直線 CD 不存在方法二：方法二：設 A（11, yx） 、B（22, yx） ，122121yx ，122222yx 得：0)(21)(21212121yyyyxxxx 21212121)(2yyxxxxyy1422寫出直線方程12xy，即1 xy，檢驗與雙曲線有交點例 5 已知雙曲線12222byax（0a，0b）的左、右兩個焦點分別為 F1、F2，P 是它左支上一點，P 到左準線的距離為d，雙曲線的一條漸近線為xy3，問是否存在點P，使d、1PF、2PF成等比數(shù)列？若存在，求出 P 的坐標；若不存在，請說明理由。解：解：假設存在點 P（00, yx）滿足

7、題中條件 雙曲線的一條漸近線為xy3 3ab，ab3 223ab ，23222acaac， 即2e由2112dPFPFPF，得122PFPF 雙曲線的兩準線方程為cax2 axcaxPF0201222axcaxPF0202222 點 P 在雙曲線的左支上 0201),(exaPFexaPF代入得)(200exaexa ax230，代入1220220byax，得ay2150 存在點 P 使21PFPFd、成等比數(shù)列，點 P 的坐標是（aa21523，）例 6 如圖，直線1l和2l相交于點 M，21ll ，點 N1l，以 A、B 為端點的曲線段 C 上的任一點到2l的距離與到點 N 的距離相等。若

8、AMN為銳角三角形，17AM，AN=3，且6BN，建立適當?shù)淖鴺讼担笄€段 C 的方程。解：方法一：解：方法一：以1l為x軸，MN 的中點 O 為原點建立如圖的直角坐標系。由題意可知，曲線段 C 所在的拋物線在直角坐標系中的位置是標準的，并且點 N 是該拋物線的焦點，2l是準線。所以可令拋物線的方程為)0(22ppxy，過點 A 作2lAQ ，1lAE ，垂足分別為 Q 和 E，由于AMN是銳角三角形，則點 E 必在線段 MN 上。所以，3 ANAQ 17AM 2222AQAMQM22 QMAE 122AEANEN 4ENAQENMEMNp 拋物線方程為xy82由上述可知，1OE，點 B 到

9、準線2l的距離為 6，則點 B 的橫坐標為 4，又曲線段在x軸上方，故曲線段 C 的方程為)0, 41 (82yxxy方法二：方法二：以1l為x軸，2l為y軸建立如下圖的直角坐標系，其中 M 點為原點，這時焦點 N 在x軸上，頂點O應是線段 MN 的中點。令曲線段 C 所在的拋物線方程為：)0)(22pxxpyO 設),22(),22(222121yppyByppyA則：)3(36)22()2(9)22() 1 (17)22(222222122121221yppyyppyyppy由（1）（2）得821y 代入（1）得9)24(2pp pp682 3p 4p 01y 221y代入（3）得242y

10、 曲線段 C 的方程為)2422)(2(82yxy例 7 設21FF、分別為橢圓 C：12222byax（0 ba）的左、右兩個焦點。（1）若橢圓 C 上的點 A（1，23）到21FF、兩點的距離之和等于 4，寫出橢圓 C 的方程和焦點坐標；（2）設點 K 是（1）中所得橢圓上的動點。求線段 F1K 的中點的軌跡方程；（3）已知橢圓具有性質：若 M、N 是橢圓 C 上關于原點對稱的兩個點，點 P 是橢圓上任意一點，當直線 PM、PN 的斜率都存在，并記為PNPMkk、時，那么PMk與PNk之積是與點 P 位置無關的定值。試對雙曲線12222byax寫出具有類似特性的性質，并加以證明。解：解：（

11、1）橢圓 C 的焦點在x軸上 橢圓上的點 A 到21FF、兩點的距離和是 4，得42 a，即2a又 點 A（231，）在橢圓上 1)23(21222b，得32b 1222bac 橢圓 C 的方程為13422yx，焦點為)0 , 1(1F、)0 , 1 (2F（2）設橢圓 C 上的動點為 K（11, yx） ，線段 F1K 的中點 Q（yx,）滿足：2,2111yyxx yyxx2, 1211因此13)2(4) 12(22yx 即134)21(22yx為所求的軌跡方程（3）類似的性質為：若 M、N 是雙曲線12222byax上關于原點對稱的兩個點，點 P是雙曲線上任意一點，當直線 PM、PN 的

12、斜率都存在，并記為PMk、PNk時，那么PMk與PNk之積是與點 P 位置無關的定值。證明如下：設點 M 的坐標為（nm,） ，則點 N 的坐標為（nm ,） ，其中12222bnam。又設點 P 的坐標為（yx,） ，由mxnykPM，PNk=mxny，得2222mxnymxnymxnykkPNPM將22222bxaby，22222bmabn，代入得22abkkPNPM，命題得證。例 8 直線l：1 kxy與雙曲線 C：1222 yx的右支交于不同的兩點 A、B。（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點 F？若存在，求出k的值；若不

13、存在，說明理由。解：解：（1）將直線l的方程1 kxy代入雙曲線 C 的方程1222 yx后，整理，得022)2(22kxxk，依題意，直線l與雙曲線 C 的右支交于不同兩點，故0220220)2(8)2(0222222kkkkkk解得k的取值范圍為22k（2）設 A、B 兩點的坐標分別為）（）、（2211,yxyx，則由式得2222221221kxxkkxx，假設存在實數(shù)k，使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點 F（0 , c） ，則由 FAFB 得0)(2121yycxcx即0) 1)(1()()(2121kxkxcxcx整理得01)() 1(221212cxxckxxk

14、把式及26c代入式化簡得066252kk解得566k或)2, 2(566k（舍去）可得566k使得以線段 AB 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C 的右焦點。【模擬試題模擬試題】 （答題時間：60 分鐘）一. 選擇題1. 橢圓1)6(4)3(22myx的一條準線為7x，則橢圓的離心率e等于（ ）A. 21 B. 22 C. 23 D. 412. 雙曲線1422kyx的離心率)2 , 1 (e，則k的取值范圍是（ ）A. )0 ,( B. )0 ,12( C. )0 , 3( D. )12,60(3. 若橢圓122nymx)0( mm和雙曲線122byax)0( ba有相同的左、右焦點1F、2F，P 是兩

15、條曲線的一個交點，則|21PFPF的值是（ ）A. am B. )(21am C. 22am D. am 4. 雙曲線12222byax的焦點為1F、2F，弦 AB 過1F且兩端點在雙曲線的一支上，若|2|22ABBFAF，則| AB（ ）A. 為定值a2 B. 為定值a3 C. 為定值a4 D. 不為定值5. 設 P 是橢圓14922yx上一點，1F、2F是橢圓的兩個焦點，則21cosPFF的最小值是（ ）A. 91 B. 1 C. 91 D. 216. 若點 P 在拋物線xy 2上，點 Q 在圓1)3(22yx上，則| PQ的最小值為（ ）A. 13 B. 1210 C. 2 D. 121

16、17. 拋物線xy162上到頂點與焦點距離相等的點的坐標為（ ）A. )2,24( B. )2 ,24( C. )24, 2( D. )24 , 2(8. 將離心率為43的橢圓12222byax)0( ba，繞著它的左焦點按順時針方向旋轉2后，所得新橢圓的一條準線方程為314y，則新橢圓的另一條準線方程為（ ）A. 314y B. 323y C. 332y D. 350y二. 填空題1. 已知1F、2F是雙曲線12222byax)0, 0(ba的兩個焦點，PQ 是經(jīng)過1F且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果902QPF，則雙曲線的離心率是 。2. 已知點) 1 , 0(A是橢圓4422yx上的一點，

17、P 是橢圓上的動點，當弦 AP 的長度最大時，則點 P 的坐標是 。3. 正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線xy722上，這個正三角形的邊長是 。4. 拋物線xy42的弦 AB 垂直于x軸，若34|AB，則焦點到 AB 的距離為 。三. 解答題1. 已知中心在原點，一焦點為)50, 0(F的橢圓被直線23: xyl截得的弦的中點的橫坐標為21，求橢圓的方程。2. 設 AB 是拋物線2xy 上的動弦，且aAB |（1a為常數(shù)） ，求弦 AB 中點 M 到x軸的最近距離，并研究10 a的情況。3. 求拋物線xy642上的點到直線04634 yx的距離的最小值，并求取得最小值時的拋

18、物線上的點的坐標。【試題答案試題答案】一.1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. D二. 1. 21 2. )31,234( 3. 3144 4. 2三. 1. 解： 橢圓的中心在原點，焦點在y軸上 橢圓的方程為標準方程 50c 5022 ba 橢圓的方程可寫成1502222bxby把直線23 xy代入橢圓的方程并整理得xbxb22212)5(1004624bb )5(10122221bbxx 弦的中點的橫坐標為21 1)5(101222bb，252b 752a 所求橢圓的方程為1257522xy2. （1）解法一：設直線 AB 的方程為bkxy，A、B 兩點的坐標分別為),(11yxA，,(2xB)2y 由2xybkxy 得02bkxx kxx21 bxx21 abkkxxkAB41|1|22212，化簡得)1 (42422kkkab點 M 到x軸的距離為221yyyd22)(21bxxk222kb)1 (42422kkka 1) 1(141222kka 1)1 (1241222kka) 12(41a當且僅當22211kka，即1ak) 1(a時“=”