數(shù)學(xué)下冊直角角形的邊角關(guān)系學(xué)稿(無答案)北師大版

1、第 1 節(jié) 從梯子的傾斜程度談起形成時(shí)間授課時(shí)間本節(jié)內(nèi)容：正切的定義 坡度的定義及表示（難點(diǎn)） 正弦、余弦的定義 三角函數(shù)的定義（重點(diǎn)）1、正切的定義在確定，那么A 的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個(gè)比叫做A 的正切，記作tanA.A 的對邊a即 tanA=A的鄰邊b例 1已知在 Rt ABC中， C=90°， CD AB， AD=8，BD=4，求 tanA 的值 .2、坡度的定義及表示（難點(diǎn)）我們通常把坡面的鉛直高度h 和水平寬度l 的比叫做坡度（或坡比）. 坡度常用字母i 表示 .斜坡的坡度和坡角的正切值關(guān)系是：tan ahl注意：（1）坡度一般寫成 1： m的形式（比例的前項(xiàng)為1

2、，后項(xiàng)可以是小數(shù)）；htan a ，坡度越大，則a 角越大，坡面越陡 .（2）若坡角為 a，坡度為 il例 2攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬 BC為 6m，壩高為3.2m，為了提高攔水壩的攔水能力，需要將水壩加高 2m，并且保持壩頂寬度不變，迎水坡 CD的坡度不變， 但是背水坡的坡度由原來的i=1 ： 2 變成 i =1：2.5 （有關(guān)數(shù)據(jù)在圖上已標(biāo)明）. 求加高后的壩底 HD的寬為多少？3、正弦、余弦的定義在 Rt 中，銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作 sinA.A 的對邊a即 sinA=斜邊cA 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記作cosA.A 的鄰邊b即 cosA=斜

3、邊c例 3在 ABC中， C=90°，BC=1，AC=2，求 sinA 、sinB 、cosA、cosB 的值 . 通過計(jì)算你有什么發(fā)現(xiàn)？請加以證明 .4、三角函數(shù)的定義（重點(diǎn)）銳角 A 的正弦、余弦和正切都是A 的三角函數(shù) .直角三角形中，除直角外，共5 個(gè)元素， 3 條邊和 2 個(gè)角，它們之間存在如下關(guān)系：（ 1）三邊之間關(guān)系：a2b2c2 ；（ 2）銳角之間關(guān)系：A+ B=90°；（ 3）邊角之間關(guān)系：sinA= a ， cosA= b ， tanA= a . （其中 A 的對邊為a， B 的對邊為b，ccb C 的對邊為c）除指教外只要知道其中 2 個(gè)元素（至少有

4、1 個(gè)是邊），就可以利用以上關(guān)系求另外 3 個(gè)元素 . 例 4方方和圓圓分別將兩根木棒 AB=10cm，CD=6cm斜立在墻上，其中 BE=6cm， DE=2cm，你能判斷誰的木棒更陡嗎？說明理由 .本節(jié)練習(xí)：1、 C=90°，點(diǎn) D 在 BC上， BD=6，AD=BC， cos ADC=3 ，求 CD的長 .51 / 62、 P 是 a 的邊 OA上一點(diǎn)，且P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3， 4），求 sina 、 tana 的值 .3、在 ABC中， D 是 AB的中點(diǎn)， DCAC，且 tan BCD=1 ，求 tanA 的值 .34、在 Rt ABC中， C=90°， tanA=

5、5 ，周長為30，求 ABC的面積 .125、在 Rt ABC中， CD是斜邊 AB上的中線，已知CD=2， AC=3，則 sinB 的值是多少？課后反思：第 2 節(jié) 30 °， 45°， 60°角的三角函數(shù)值形成時(shí)間授課時(shí)間本節(jié)內(nèi)容：30°， 45°， 60°角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)）1、 30°， 45°， 60°角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)）根據(jù)正弦、余弦和正切的定義，可以得到如下幾個(gè)常用的特殊角的正弦、余弦和正切值.例 1求下列各式的值.（ 1） sin 60sin 30 ；tan 60（ 2） tan2 6

6、04 tan 60 4 2 2 sin 45 .本節(jié)練習(xí)：1、 求下列各式的值.2 / 6（1） 2sin 303 tan 30tan 45 ；（2） cos2 45tan 60cos30 .sin a3 cosa2、 已知 a 為銳角，且 tana=5 ，求的值 .2 cosasin a3、 ABC表示光華中學(xué)的一塊三角形空地，為美化校園環(huán)境，準(zhǔn)備在空地內(nèi)種植草皮，已知某種草皮每平方米售價(jià)為 a 元，則購買這種草皮至少花費(fèi)多少元？4、 2 cos45 的值等于 _.5、計(jì)算 3 sin 602 cos453 8 .課后反思：第3節(jié)三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算形成時(shí)間授課時(shí)間本節(jié)內(nèi)容：利用計(jì)算器求任意銳

7、角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)）銳角三角函數(shù)計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用（難點(diǎn)）1、利用計(jì)算器求任意銳角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)）計(jì)算三角函數(shù)的具體步驟大體分兩種情形：（ 1）先按三角函數(shù)鍵，再按數(shù)字鍵；（ 2）或先按數(shù)字鍵，再按三角函數(shù)鍵.利用計(jì)算器還可以求角度的大小.例 1利用計(jì)算器求下列銳角的三角函數(shù)值.（1） sin 35；（2） tan 85；（3） sin 7238'25'' ；（4） cos 47 15' .2、銳角三角函數(shù)計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用（難點(diǎn)）仰角：當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.俯角：當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角成為俯角.例 2

8、小剛面對黑板坐在椅子上. 若把黑板看做矩形，其上的一個(gè)字看作點(diǎn)E，過點(diǎn) E 的該矩形的高為BC，把小剛眼睛看做點(diǎn) A. 現(xiàn)測得 BC=1.41 米，視線 AC恰與水平線平行 , 視線 AB 與 AC的夾角為 25° , 視線 AE 與 AC的夾角為 20°，求 AC與 AE的長（不用求值，表示即可） . 典型例題：例 1 某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，如圖 .BC/AD ，斜坡 AB 長 22m，坡角 BAD=68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對土坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過 50°時(shí)，可確保山體不滑坡 .（ 1）

9、求改造前坡頂與地面的距離BE的長；（精確到0.1m）（ 2）為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)，保持坡腳A 不動(dòng)，坡頂B沿 BC前進(jìn)到 F 點(diǎn)處，問 BF 至少是多少？（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin 680.9272, cos680.3746, tan 682.4751, sin 500.7660, cos500.6,4tan 501.1918 ）例 4 如圖，矩形ABCD是供一輛機(jī)動(dòng)車停放的車位示意圖，請你參考圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算車位所占街道的寬度EF. （參考數(shù)據(jù)：sin 400.64,cos0.77, tan 400.84, 結(jié)果精確到0.1m）3 / 6課后反思：第4節(jié)船有觸礁的危險(xiǎn)嗎形成時(shí)間

10、授課時(shí)間本節(jié)內(nèi)容：方向角的定義解直角三角形（重點(diǎn)）解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（難點(diǎn)）1、方向角的定義方向角：方向角是以觀察點(diǎn)為中心（方向角的頂點(diǎn)），以正北或正南為始邊，旋轉(zhuǎn)到觀察目標(biāo)所形成的銳角，方向角也稱象限角 . 如圖，目標(biāo)方向線 0A、0B、0C 的方向角分別為北偏東 15°、南偏東 20°、北偏西 60° .其中南偏東45°習(xí)慣上又叫東南方向，同樣北偏西45°又叫西北方向. 如 OE的方向角為南偏東 45°， OG的方向角為南偏西45°，那么， G、 E 可以說在O的哪個(gè)方向呢？由方向角的定義可知， G在 O的西南方向，

11、E 在 O的東南方向 .例 1 某次臺風(fēng)襲擊了我國南部海域. 如圖，臺風(fēng)來臨前，我們海上搜救中心A 接到一越南籍漁船遇險(xiǎn)的報(bào)警， 于是指令位于A 的正南方向180 海里的救援隊(duì)B 立即前往施救. 已知漁船所處位置 C 在 A 的南偏東34°方向，在B 的南偏東63°方向，此時(shí)離臺風(fēng)來到C 處還有 12 小時(shí)，如果救援船每小時(shí)行駛20 海里，試問能否在臺風(fēng)來到之前趕到C 處對其施救？（參考數(shù)據(jù)：sin 639 , tan 632, sin 343 , tan 342 ）10532、解直角三角形（重點(diǎn)）在直角三角形中，由已知一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫做解直角三角形.

12、在 Rt ABC中， C=90°， A、 B、 C 所對的邊分別為a、 b、 c .（1）三邊之間關(guān)系： a2b 2c2（2）銳角之間關(guān)系： A+ B=90°（3）aba1邊角之間關(guān)系： sin Acos B, cos Asin B, tan Atan Bccb（ 4）面積公式： S ABC1 ab1 ch(h為斜邊上的高 )22在直角三角形中，除直角的五個(gè)量中，若已知其中的兩個(gè)量（其中至少有一條邊），就可以求出另外三個(gè)未知量，有如下四種類型：Rt ABC中， C=90°已知選擇的邊角關(guān)系斜邊和一直角c, a由sin Aa ，求 ；° ，bc2a2邊cA

13、B=90-A兩直角邊a,b由tan Aa ，求 ；° ，ca2b2bAB=90-A斜邊和一銳角c,A B=90° - A； ac sin A ； bccos A一直角邊和一a,A° ；a，ca銳角B=90-A btan Asin A注意：（ 1）在解直角三角形中，正確選擇關(guān)系式是關(guān)鍵：若求邊：一般用未知邊比已知邊，求尋找已知角的某一個(gè)三角函數(shù)；若求角：一般用已知邊比已知邊，去尋找未知角的某一個(gè)三角函數(shù)；求某些未知量的途徑往往不唯一. 選擇關(guān)系式常遵循以下原則：一是盡量選可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式；二是設(shè)法選擇便于計(jì)算的關(guān)系式，若能用乘法計(jì)算就避免用除法計(jì)算.（

14、2）對于含有非基本量的直角三角形，比如有些條件中已知兩邊之和，中線、高線、角平分線長，角之間的關(guān)系，銳角三角函數(shù)值，周長、面積等等. 對于這類問題，我們常用的解題方法是：將非基本量轉(zhuǎn)化為基本量，或由基本量間關(guān)系通過列方程（組），然后解方程（組），求出一個(gè)或兩個(gè)基本量，最終達(dá)到解直角三角形的目的.（ 3） 在非直角三角形的問題中，往往是通過作三角形的高，構(gòu)成直角三角形來解決，而作高時(shí)，常從非特殊角的頂點(diǎn)作高；對于較復(fù)雜的圖形，往往通過“補(bǔ)形”或“分割”的方法，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，實(shí)現(xiàn)問題的有機(jī)轉(zhuǎn)化.例 2 某公園“六一”親新增設(shè)一臺滑梯，如圖. 滑梯高度 AC=2m，滑梯著

15、地點(diǎn)B 與梯架之間的距離 BC=4m.（ 1）求滑梯 AB的長；（結(jié)果精確到 0.1m）（ 2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（ ABC）不超過 45°屬于安全范圍，請通過計(jì)算說明這架滑梯的傾斜角是否符合要求？4 / 63、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（難點(diǎn)）在解決實(shí)際問題時(shí)，解直角三角形有著廣泛的應(yīng)用，我們要學(xué)會將千變?nèi)f化的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，具體地說，要求我們善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中的元素（邊、角）之間的關(guān)系，這樣就可運(yùn)用解直角三角形的方法了.一般有以下幾個(gè)步驟：1. 審題：認(rèn)真分析題意，根據(jù)題目中的已知條件，畫出它的平面圖，弄清已知和未知；2. 明確題目中的一些

16、名詞、術(shù)語的漢語，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3. 是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決；4. 確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計(jì)算.例 3臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)千米范圍內(nèi)形成旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力.根據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A 的正南方向220 千米的 B 處有一臺風(fēng)中心，其中心的最大風(fēng)力為 12 級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心 20 千米，臺風(fēng)就會弱一級 . 臺風(fēng)中心現(xiàn)正以 15 千米 / 時(shí)的速度沿北偏東 30°方向往 C 移動(dòng)，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，

17、 若城市風(fēng)力達(dá)到或超過 4 級，則稱為受臺風(fēng)影響 .（ 1） 該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由.（ 2） 若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時(shí)間有多長？典型例題：例 1 在 ABC中，已知 AB=1，AC= 2 ， ABC=45°，求 BC的長 .例 2 如圖，甲、乙兩只捕撈船同時(shí)從A 港出海捕魚 . 甲船以每小時(shí) 15 2 千米的速度沿北偏西60°方向前進(jìn)，乙船以每小時(shí)15 千米的速度沿東北方向前進(jìn). 甲船航行2 小時(shí)到達(dá)C 處，此時(shí)甲船發(fā)現(xiàn)魚具丟在了乙船上，于是甲船快速（勻速）沿北偏東75°的方向追趕，結(jié)果兩船在B處相遇 .（ 1）甲船從 C處

18、追趕乙船用了多長時(shí)間？（ 2）甲船追趕乙船的速度是每小時(shí)多少千米？課后反思：第 5節(jié)測量物體的高度形成時(shí)間授課時(shí)間本節(jié)內(nèi)容：測量底部可以到達(dá)的物體的高度（重點(diǎn)）測量底部不可以到達(dá)的物體的高度（難點(diǎn)）1、測量底部可以到達(dá)的物體的高度（重點(diǎn)）簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成.如圖.使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：（ 1） 把支桿豎直插入地面 , 使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的 0°刻度線重合 , 這時(shí)度盤的頂線 PQ在水平位置 .（ 2） 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤 , 使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo) M,記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù) .（ 3） 此度數(shù)就是測點(diǎn)相對于被測點(diǎn)的仰角或俯角.說明：（ 1） 所謂“底部可以到達(dá)“，就是在地面上可以無真納干礙（ 2） 地直接測得測點(diǎn)與被測物體的底部之間的距離 .（ 2）測量步驟如圖（測量物體MN的高度）：在測點(diǎn)A 處安置測傾器，測得M的仰角 MCE= ；量出測點(diǎn)A 到物體底部N 的水平距離AN=l ；量出測傾器的高度AC=a（即頂線PQ成水平位置時(shí)，它與地面的