高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 例談恒成立不等式的求解策略

1、例談恒成立不等式的求解策略含參數(shù)不等式的恒成立問題是不等式中重要的題型，也是各類考試的熱點(diǎn)這類問題既含參數(shù)又含變量，學(xué)生往往難以下手，怎樣處理這類問題呢？轉(zhuǎn)化是捷徑通過轉(zhuǎn)化能使恒成立問題得到簡化，而轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用下面就其常見類型及解題策略舉例說明一可化為一次不等式恒成立的問題例1對于滿足的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，試求的取值范圍分析：習(xí)慣上把當(dāng)作自變量，記函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為： 當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍解決這個等價的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的解：設(shè)函數(shù)，顯然，則是的一次函數(shù)，要使恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，且時，解得的取值范圍是點(diǎn)評

2、：本題看上去是一個不等式問題，但是經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化，把它化歸為關(guān)于的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色二二次不等式恒成立問題例2已知關(guān)于的不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時，應(yīng)對參數(shù)分類討論解：(1)當(dāng)時，即或，顯然時，符合條件， 不符合條件;(2) 當(dāng)時，由二次函數(shù)對一切實(shí)數(shù)恒為正數(shù)的充要條件，得，解得綜合(1)(2)得，實(shí)數(shù)的取值范圍為三絕對值不等式恒成立問題例3對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析1：把左邊看作的函數(shù)關(guān)系，就可利用函數(shù)最值求解解法1：設(shè)，則，分析2：利用絕對值的幾何意義求解

3、解法2：設(shè)在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別是，則當(dāng)點(diǎn)在線段上時，;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時， ;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時， ;因此，無論點(diǎn)在何處，總有，所以當(dāng)時， 恒成立， 即對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立時，實(shí)數(shù)的取值范圍為分析3：利用絕對值不等式求解的最大值解法3：設(shè)且時等式成立， ，四含對數(shù)指數(shù)三角函數(shù)的不等式恒成立問題例4當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍分析：注意到函數(shù)，都是我們熟悉的函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可知要使對一切，恒成立，只要在內(nèi)， 的圖象在圖象的上方即可顯然，再運(yùn)用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即解：設(shè)，則要使對一切，恒成立，由圖象可知，并且，故有， 又 點(diǎn)評：通過上述的等價轉(zhuǎn)化，使恒成立的解決得到

4、了簡化，其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用此外，從圖象上直觀得到后還需考查區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小五、形如“”型不等式形如“”或“”型不等式，是恒成立問題中最基本的類型，它的理論基礎(chǔ)是“在上恒成立，則();在上恒成立，則()”許多復(fù)雜的恒成立問題最終都可歸結(jié)到這一類型例5已知二次函數(shù)，若時，恒有，求的取值范圍解：， 即（1）當(dāng)時，不等式顯然成立， （2）當(dāng)時，由得，又， 綜上得，的取值范圍為六、形如“”型不等式例6已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則的最小值為 解：對任意，不等式恒成立，分別是的最小值和最大值對于函數(shù)，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是2，即半個周期 的最小值為2七、形如“”型不等式例7在，這四個函數(shù)中，當(dāng)時，使恒成立的函數(shù)的個數(shù)是( ) (A) (B) (C) (D)解：本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件的函數(shù)應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知，符合題意，故此題選（C）八、形如“”型不等式例8已知函數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零令， 即在