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文檔簡(jiǎn)介
1、1.(2017·全國(guó)卷)已知 sin cos ,則 sin 2 ( )第 2 講三角恒等變換與解三角形高考定位1.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是高考的命題熱點(diǎn),其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決計(jì)算問題的工具,三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進(jìn)行變換,“角”的變換是三角恒等變換的核心; 2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容
2、,主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問題.真 題 感 悟43997A.2B.C.29D.79解析sin 2 2sin cos .(sin cos )21719
3、答案A2.(2016·山東卷在ABC 中,角 A,B,C 的對(duì)邊分別是 a,b,c,已知 bc,a22b2(1sin A),則 A()A. 34B.3C. 4D.62bc 2b24解析因?yàn)?#160;bc,a22b2(1sin A),b2c2a22b22b2(1sin A)所以 cos A,則
4、cos Asin A.在ABC 中,A.答案C3.(2017·全國(guó)卷)ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0,a2,c 2,則 C()A.12B.6C.4D.3解析由題意得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0,sin Acos Ccos Asin Csin Asin
5、;Csin Acos C0,æ ö4 ø則 sin C(sin Acos A) 2sin CsinçA ÷0,æ ö4 ø因?yàn)?#160;sin C0,所以 sinçA
6、÷0,又因?yàn)?#160;A(0, ),所以 A ,所以 A .èè344由正弦定理 asin Asin C3 sin Cc,得2sin42 ,則 sin C ,得 C.4.(2017·全國(guó)卷)已知 ç0, ÷,ta
7、n 2,則 cosç ÷_.又 sin2 cos2 1,所以 cos2 .因?yàn)?#160; ç0, ÷,所以 cos ,sin .因?yàn)?#160;cosç &
8、#247;cos cos sin sin 55 2 5 2 10126答案B2 øæ öæ öèè4 ø解析由 tan 2 得
9、160;sin 2 cos ,15æ ö52 5è2 ø55æ öè4 ø4422 523 10××.答案3 1010(1)同角關(guān)系:sin2 cos2 1, tan .(2)誘導(dǎo)公式:對(duì)于“ ± ,kZ
10、0;的三角函數(shù)值”與“ 角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶:tan( ± ) .考 點(diǎn) 整 合1.三角函數(shù)公式sin cos k2奇變偶不變,符號(hào)看象限.(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:sin( ± )sin cos ±cos
11、;sin ;cos( ± )cos cos sin sin ;tan ±tan 1tan tan (4)二倍角公式:sin 2 2sin cos ,cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 .(5)輔助角公式:asin x
12、bcos x a2b2sin(x ),其中 tan .sin Asin Bsin C2R2bcæ3 ö【例 1】 (1)(2017·九江一模)已知 tan 3,則 cosç 2
13、60;÷( )ba2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式(1)正弦定理abc在ABC 中,2R(R 為ABC 的外接圓半徑);a變形:a2Rsin A,sin A,abcsin Asin Bsin C 等.(2)余弦定理在ABC 中,a2b2c22bccos A;b2c2a2 變形:b2c2a22bccos A,co
14、s A.(3)三角形面積公式111ABC 2absin C2bcsin A2acsin B.熱點(diǎn)一三角恒等變換及應(yīng)用è2ø554A.3B.C.35D.45æ125 öè1313øB(2)如圖,圓 O 與 x 軸的正半軸的交點(diǎn)為 A,點(diǎn) C, 在圓 O 上,且點(diǎn) C 位于第一象限,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為ç, ÷,AOC
15、0;.若|BC|1,則 3cos2sin·cos32222的值為_.æ3 öcosç 2 ÷sin 2解析(1)tan 3,è2ø 2sin cos sin2 cos2 1tan2 1052tan 63 .(2
16、)由題意得|OC|OB|BC|1,從而OBC 為等邊三角形,è 3 æø13所以 sinAOBsinçö 5÷ ,2 2 2 22 2 2 sin
17、; cos æ ö 5è 3 ø1313y 軸對(duì)稱 .若 sin ,則 sin _.(2)(2017·石家莊質(zhì)檢)若 cos(2 ),sin( 2 )
18、 ,0< << <,則 的值sin sin( 2k )sin .(2)因?yàn)?#160;cos(2 )且<2 < ,所以 sin(2 ) .因?yàn)?#160;sin( 2 ) 且&l
19、t; 2 <,3又因?yàn)?#160;3cos2sincos1cos sin 3 3·1322sinç ÷.5答案(1)C(2)探究提高1.三角恒等變換的基本思路:找差異,化同角(名),化簡(jiǎn)求值.2.解決條件求值問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系,正確地用已知角來表示未知角.(2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來表示.(3)求解三角函數(shù)中給值求角的問題時(shí),要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值,然后結(jié)合角的取值范圍,求出角的大小.【訓(xùn)練 1】
20、(1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,角 與角 均以 Ox 為始邊,它們的終邊關(guān)于13114 314742為_.解析(1) 與 的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱,則 2k ,kZ, 2k ,kZ.13111445 3144 3742所以 cos( 2 ) .
21、15; × .因?yàn)?lt; < ,所以 .3 3222又 0<B< ,B.2ac 22ac 2
22、60; 2 272ac3ac,即 ac ,SABCacsin B × ×2 2 4 2 1617所以 cos( )cos(2 )( 2 )cos(2
23、0;)·cos( 2 )sin(2 )sin( 2 )1115 34 31147147234431答案(1)(2)熱點(diǎn)二正弦定理與余弦定理命題角度 1利用正(余)弦定理進(jìn)行邊角計(jì)算【例 21】 (2017·武漢二模在ABC 中,a,b,c 分別是角 A,B,C 的對(duì)邊,且 2cos Acos C(tan AtanC1)1.(1)求 B 的大??;3 3(2)
24、若 ac,b 3,求ABC 的面積.解(1)由 2cos Acos C(tan Atan C1)1,1得 2(sin Asin Ccos Acos C)1,即 cos(AC) ,1cos Bcos(AC) ,3a2c2b21(2)由余弦定理得 cos B ,(ac)22acb213 3 ,又 ac,b 3,54411535 3.3 3【遷
25、移探究 1】若本題第(2)問條件變?yōu)椤叭?#160;b 3,SABC2”,試求 ac 的值.2 2 213 3 解由已知 SABC 2acsin B 2133 3 ac×,則 ac6.,由余弦定理,得 b2a2c22accos B(ac)2
26、3ac,所以(ac)2b23ac21,所以 ac 21.【遷移探究 2】在本例條件下,若 b 3,求ABC 面積的最大值.解由余弦定理,得 b2a2c22accos Ba2c2ac,則 3a2c2ac2acac,所以 ac3(當(dāng)且僅當(dāng) ac 3時(shí)取等號(hào)).113 3 所以
27、0;ABC 2acsin B2×3×sin 34.433263 3故ABC 面積的最大值為.探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)、角、面積等基本計(jì)算,或?qū)蓚€(gè)定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形.2.關(guān)于解三角形問題,一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì),常見的三角變換方法和原則都適用,同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”,這是使問題獲得解決的突破口.【訓(xùn)練 2】 (2017·全國(guó)卷)ABC 的內(nèi)角 A,B,C&
28、#160;的對(duì)邊分別為 a,b,c,已知 sin A 3cos A0,a2 7,b2.(1)求 c;(2)設(shè) D 為 BC 邊上一點(diǎn),且 ADAC,求ABD 的面積.解(1)由 sin A 3cos A0 及 cos A0,得 tan A 3,又 0<A< ,2所以 A.2由 a2b2c22bc·cos
29、160;A,得 284c24c·cos,即 c22c240,解得 c6(舍去),c4.(2)由題設(shè)可得CAD,所以BADBACCAD.故ABD 面積與ACD 面積的比值為2 62 21AB·ADsin1AC·ADsin1.21又ABC 的面積為 ×4×2sinBAC2
30、 3,所以ABD 的面積為 3.命題角度 2應(yīng)用正、余弦定理解決實(shí)際問題【例 22】 (2017·衡水質(zhì)檢)某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度:在 C 處(點(diǎn) C 在水平地面下方,O 為 CH 與水平地面 ABO 的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射,水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn) A,B 兩地相距 100 米,BAC60°,其中 A 到
31、C 的距離比 B 到 C 的距離遠(yuǎn) 40 米.A 地測(cè)得該儀器在 C 處的俯角為OAC15°,A 地測(cè)得最高點(diǎn) H 的仰角為HAO30°,則該儀器的垂直彈射高度CH 為()A.210( 6 2)米C.210 2米B.140 6米D.20( 6 2)米sinCAH sinAHCsinAHC解析由 題意 , 設(shè) AC
32、160; x 米 ,則 BC (x 40) 米 , 在 ABC 內(nèi), 由 余弦 定 理 : BC2 BA2 CA2 2BA·CA·cosBAC,即(x40)2x210 000100x,解得 x420 米.在ACH 中,AC420 米,CAH30°15°45
33、76;,CHA90°30°60°,CHAC由正弦定理:.sinCAH可得 CHAC·140 6(米).答案B探究提高1.實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2.實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程 組),解方程(組)得出所要求的解.【訓(xùn)練 3】 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到 A 處時(shí)
34、測(cè)得公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北30°的方向上,行駛 600 m 后到達(dá) B 處,測(cè)得此山頂在西偏北 75°的方向上,仰角為 30°,則此山的高度 CD_m.sin 45°sin 30°解析由題意,在ABC 中,BAC30°,ABC180°75°105°,故ACB45°.600BC又 AB600 m,故由正弦定理得,解得
35、160;BC300 2(m).3在 RtBCD 中,CDBC·tan 30°300 2×3100 6(m).æ ö6 ø2sinç2x ÷2,所以函數(shù) f(x)的最小正周期 T ,最小值為4.æ ö6 ø(2)因?yàn)?#160;f(C)2sinç2C
36、7;20,所以 sinç2C ÷1,又 C(0, ),知<2C< ,所以 2C,得 C.æ ö6 ø2sinç2x ÷1,答案100 6熱點(diǎn)三解三角形與三角函數(shù)的交匯問題【例 3】 (2017·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)2 3sin xcos x2cos2x1,x
37、R.(1)求函數(shù) f(x)的最小正周期和最小值;(2)在ABC 中,A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,已知 c 3,f(C)0,sin B2sin A,求 a,b 的值.解(1)f(x) 3sin 2x2cos2x1 3sin 2x(cos 2x1)1 3sin 2xcos 2x2è22èæ öè6 ø 11666623因?yàn)?/p>
38、 sin B2sin A,由正弦定理得 b2a,由余弦定理得,c2a2b22abcos Ca24a22a23a2,又 c 3,所以 a1,b2.探究提高1.解三角形與三角函數(shù)的綜合題,其中,解決與三角恒等變換有關(guān)的問題,優(yōu)先考慮角與角之間的關(guān)系;解決與三角形有關(guān)的問題,優(yōu)先考慮正弦、余弦定理.2.求解該類問題,易忽視 C 為三角形內(nèi)角,未注明 C 的限制條件導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)解.【訓(xùn)練 4】 (2017·唐山調(diào)研)已知函數(shù) f(x)2cos2&
39、#160;x 3sin 2x.(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在ABC 中,a,b,c 分別是內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊,a1 且 f(A),求ABC 面積 S 的最大值.解(1)f(x)2cos2 x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2xè由 2k 2x2k (kZ),得 k k (kZ)所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
40、êk ,k ú(kZ). öæ6 ø(2)由 f(A)3,得 sinç2A ÷1.又因?yàn)?#160;0<A< ,所以 A.42 ùé 所以 S bc
41、183;sin A,26236ë36 ûè6由 a2b2c22bccos A,得 b2c2 3bc1,所以 3bc12bc,即 bc2 3,當(dāng)且僅當(dāng) bc 2 3時(shí)取得“”,12 3242 3即ABC 面積 S 的最大值為.1.對(duì)于三角函數(shù)的求值,需關(guān)注:(1)尋求角與角關(guān)系的特殊性,化非特殊角為特殊角,熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式;(2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的
42、運(yùn)用;(3)對(duì)于條件求值問題,要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系,尋找解題的突破口,對(duì)于很難入手的問題,可利用分析法.2.三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法:(1)通過正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換;(2)通過余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換;(3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系;(4)通過三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進(jìn)行討論;(5)若涉及兩個(gè)(或兩個(gè)以上)三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解條件多的三角形,再逐步求出其他三角形的邊和角,其中往往用到三角形內(nèi)角和定理,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組)求解.13.解答與三角形面積有關(guān)的問題時(shí),如已知某一內(nèi)角的大小或三角函數(shù)值,就選擇 S
43、60;absin C 來求面積,再利用正弦定理或余弦定理求出所需的邊或角.一、選擇題1.(2016·全國(guó)卷 在ABC 中,B,BC 邊上的高等于 BC,則 cos A( )143A. 3 10B. 101010C.
44、160; 3 101010解析設(shè) BC 邊上的高 AD 交 BC 于點(diǎn) D,由題意 B,BD BC,DC BC,tanB
45、AD1,tanCAD2,tan BAC 12 1010 ,且 0< < <,那么 ( )2.(2017·德州二模)已知 cos ,cos( )10D.1243311×23,所以 cos BAC10 .答案C37 25212
46、 B.A. 6C. 2 ,得 sin ,解析由 c
47、os ,0< <又 cos( )7可得 sin( ) 210 × 10 22 ,55由 0< <,得 .3A.3 &
48、#160; B.9 3C. 3 34D. 33455210 ,0< < < 2
49、60;,即 0< < 2 ,10 ,則 cos cos ( )cos cos( )sin sin( )37 242 ×24答案C3.在ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別是 a,b,c.若 c2(ab)26,C,則ABC 的面積是(22D.3 3)3SABCabsin
50、 C ×6× .æ ö 1 æ5 öæöè è &
51、#160; è 3 ø3 ø 33 ø解析c2(ab)26,即 c2a2b22ab6.C,由余弦定理得 c2a2b2ab,由和得 ab6,1133 32222答案C4.(2017·南昌模擬)已知 cosçx ÷ ,則 cosç2x÷sin2çx÷的值為()91A.B.193C.
52、535D.æ5 öæöè è 3 ø3 øæ2 öæ öcosç2x ÷sin2çx ÷æ
53、; öæ ö3 ø3 ø12cos2çx ÷1cos2çx ÷æ ö 53 ø 323cos2çx ÷ .解析cosç2x÷sin2çx÷3 øèè3&
54、#160;øèèè答案C5.(2017·山東卷在ABC 中,角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,若ABC 為銳角三角形,且滿足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C,則下列等式成立的是()A.a2bC.A2BB.b2aD.B2A解析等式右邊2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sin
55、Acos Csin B.等式左邊2sin Bcos Csin B,則 2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B,因?yàn)榻?#160;C 為銳角三角形的內(nèi)角,所以 cos C 不為 0.所以 2sin Bsin A,根據(jù)正弦定理,得 a2b.答案A二、填空題B Cb c.bc6.(2017·全國(guó)卷)ABC
56、的內(nèi)角 A, 的對(duì)邊分別為 a, 已知 C60°, 6,3,則 A_.2c 2解析由正弦定理,得 sin B bsin C6×3 23,7.(2017·池州模擬)已知 sinçæ
57、160; ÷ ç0< < ÷,則 sinç ÷_.æ ö1è 3 ø3cosç ÷cosêçè ÷øúsinç ÷ ;又 0&
58、lt; <,< < ,結(jié)合 b<c 可得 B45°,則 A180°BC75°.答案75°ö1æ öæöè 3ø3è2 øè 6ø解析sinç ÷ ,éæöùæöæö1
59、32; 6øë 23ûè 3ø3 22663æ öè 6 øæ öè 6 øæ1ö22 2è3ø1ç ÷
60、60;sinç ÷1cos2ç ÷3.答案 2 2則 c 7b 72 2 23B Cb &
61、#160;c Ca8.(2017·湖北七市聯(lián)考在ABC 中,角 A, , 對(duì)邊分別為 a, , , 120°, 2b,則 tan A_.解析由題意 c2a2b22abcos C4b2b24b2cos 120°5b22b27b2,73a,所以 sin Csin A,7
62、160; 7 2sin A21 2 7 3,cos A ,則 tan A .答案3
63、2sin Asin B52bc ac 5(2)由(1),可得 sin A ,三、解答題9.(2017·天津卷在ABC 中,內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c.已知 asin A4bsin B,ac 5(a2b2c2).(1)求
64、 cos A 的值;(2)求 sin(2BA)的值.ab解(1)由 asin A4bsin B 及,得 a2b.由 ac 5(a2b2c2)及余弦定理,5acb2c2a25得 cos A.2 554b 5asin A5代入 asin A4bsin B,得 sin B.由(1)知,A 為鈍角,所以 cos B 1s
65、in2B2 55.5 55 è 5 ø 5 5 5æ ö4 ø10.設(shè) f(x)sin xco
66、s xcos2çx ÷.æAöè2øæ ö2 ø1cosç2x ÷2 2 sin 2x1sin 2x2 2
67、0; 2由2k 2x2k ,kZ,可得k xk ,kZ;43于是 sin 2B2sin Bcos B ,cos 2B12sin2B ,故 sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A4 æ5ö32 52 5 ×ç÷ ×.è(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角ABC 中,角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c.若 fç ÷0,a,求ABC 面積的最大值.sin 2xè解(1)由題意知 f(x)1sin
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