平面向量的坐標表示

1、7.2.2 平面向量的坐標表示7.2.3 共線向量的坐標表示課 型： 新授課 課 時：1 課時 一、教材分析1. 前面學(xué)習了平面向量的坐標表示 , 實際是平面向量的代數(shù)表示 .在引入了 平面向量的坐標表示后可使向量完全代數(shù)化 ,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來 , 這就可以 使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運算 .2. 本小節(jié)主要是運用向量線性運算的交換律、結(jié)合律、分配律 , 推導(dǎo)兩個向 量的和的坐標、差的坐標以及數(shù)乘的坐標運算 . 推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運用向量線性 運算的交換律、結(jié)合律和分配律 .3. 引進向量的坐標表示后 , 向量的線性運算可以通過坐標運算來實現(xiàn) , 一個 自然的想法是向量的某些關(guān)

2、系 , 特別是向量的平行、垂直,是否也能通過坐標來研 究呢?前面已經(jīng)找出兩個向量共線的條件 （如果存在實數(shù) ,使得 a b,那么 a與b共線）, 本節(jié)則進一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標表示 . 這種轉(zhuǎn)化是比 較容易的 ,只要將向量用坐標表示出來 , 再運用向量相等的條件就可以得出平面 向量共線的坐標表示 .要注意的是 ,向量的共線與向量的平行是一致的 . 二、教學(xué)目標1、知識與技能目標進一步掌握平面向量正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、 減及數(shù)乘運算；會推導(dǎo)并熟記兩向量共線時坐標表示的充要條件 .2、過程與方法 在平面向量坐標表示的基礎(chǔ)上得到平面向量線性運算的坐標表示及向量平行

3、 的坐標表示；最后通過講解例題， 鞏固知識結(jié)論， 能利用兩向量共線的坐標表示 解決有關(guān)綜合問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力 .3、情感態(tài)度與價值觀 通過學(xué)習向量共線的坐標表示，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的思想；使學(xué)生認識 事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力；培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神 .、教學(xué)重點、難點 重點 ：平面向量的坐標運算 .難點 ：對平面向量共線的坐標表示的理解 .四、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境前面，我們學(xué)習了平面向量可以用坐標來表示，并且向量之間可以進行坐標 運算。這就為解決問題提供了方便。 我們又知道共線向量的條件是當且僅當有一 個實數(shù) ,使得 a b，那么這個條件是否也能用坐標來表示呢？ 復(fù)習引入

4、：平面向量的坐標表示分別取與 x軸、 y軸方向相同的兩個單位向量 i、j 作為基底.任作一個向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù) x 、 y ，使得a xi yj把 (x, y)叫做向量 a的(直角)坐標，記作 a (x,y)其中 x叫做 a在x軸上的坐標， y叫做 a在 y軸上的坐標， 特別地， i (1,0) ， j (0,1) ，0 (0,0). 因此，我們有必要探究一下這個問題：兩向量共線的坐標表示。2、新知探究(1)問題 1：我們研究了平面向量的坐標表示 , 現(xiàn)在已知 a (x1, y1),b (x2, y2),你能得出 a b,a b, a 的坐標表示嗎 ?活動: 教師

5、讓學(xué)生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、 減運算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟 .可得:a b (x1iy1j)(x2i y2 j) (x1 x2)i (y1 y2) j即a b (x1x2,y1y2)a b (x1i y1j) (x2i y2j) (x1 x2)i (y1 y2)ja (x1i y1 j) x1i y1 j 即 a ( x1, y1)結(jié)論 : 兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應(yīng)坐標的和與差； 數(shù)乘向量的坐標等于數(shù)乘上向量相應(yīng)坐標的積 .例 1：已知 ar =(2 ,1) ， b =(-3 ,4) ，求 ar +b ，ar - b，3ar +4b.解： a b (2,

6、1) ( 3,4) (2 3,1 4) ( 1,5)a b (2,1) ( 3,4) (2 ( 3),1 4) (5, 3)3a 4b 3(2,1) 4( 3,4) (6,3) ( 12,16) (6 12,3 16) ( 6,19) r r r r r r練習：已知 a=(-2 ,4) ，b=(1 ,2) ，求a+b，-3 a-2b.(2)問題 2：如何用坐標表示兩個共線向量 ?若 a (x1,y1),b (x2, y2), 那么y1 y2 是向量 a,b 共線的什么條件 ?活動: 教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點來推導(dǎo)向量共線時的關(guān)系 .此處教師要對探究困難的學(xué)生給以必要的點撥 : 設(shè)a (

7、x1,y1),b (x2,y2),其中 b 實數(shù) , 使得 a 如果用坐標表示 ,可寫為(x1,y1)0.我們知道 , a,b共線,當且僅當存在 b(x2, y2).x1x2y1y2消去 后得x1y2 x2 y1 0.這就是說 , 當且僅當 x1y2 x2y1 0時向量 a,b ( b 0) 共線.又我們知道 x1y2 x2y1 0與 x1y2 x2 y1x 是等價的 ,但這與 y1 y2 是不等價的 . x1 x2因為當 x1 x2 0 時, x1y2 x2y10成立,但 y1y2均無意義.x1x2因此 y1 y2 是向量 a,b 共線的充分不必要條件 x1 x2注：1消去 時不能兩式相除

8、, y1, y2有可能為 0,而b 0,x1,y2中至少有一 個不為 0.abx1y2 x2 y1 02充要條件不能寫成 y1 y2 ( x1,x2有可能為 0). x1 x23從而向量共線的充要條件有兩種形式 : a b (b 0)3、典型例題例1已知a (4,2) ， b (6,y)，且ab，求 y. 解： ar /br ， 4y 2 6 0 y 3點評：利用平面向量共線的充要條件直接求解 .變式訓(xùn)練：已知平面向量 a (1,2) ，b ( 2,m) ，且a/b，則2a 3b等例2: 已知A( 1, 1) ， B(1,3) ， C(2,5) ，試判斷A 、 B 、 C三點之間的位置關(guān)系解:

9、在平面直角坐標系中做出 A、 B、C 點共線，下面給出證明 .uuur uuur AB (1 ( 1),3 ( 1) (2, 4) ， AC 又 2 6 3 4 0，uuur uuur AB/ AC .直線 AB 、直線 AC 有公共點 A 點評: 若從同一點出發(fā)的兩個向量共線 變式訓(xùn)練 2：若 A( x，-1)例 3：設(shè)點 P是線段 P1P2 上的一點B（1 ，3） ，C（2 ，5）P1、點，觀察圖形我們猜想 A、 B、C 三(2 ( 1),5 ( 1) (3,6) ， A ， B ， C 三點共線則這兩個向量的三個頂點共線 .三點共線，則 x 的值為 P2 的坐標分別是 (x1,y1),(

10、x2,y2).(1) 當點 P是線段 P1P2 的中點時，求點 P的坐標； (2) 當點 P是線段 P1P2的一個三等分點時，求點 P的坐標 .x解：（1）如圖（1）由向量的線性運算可知 OP12 (OP1 OP2)x1 x2 y1 y2所以，點 P的坐標為 x12x2,y12y2P 是線段2）如圖，當點P1P2 的一個三等分點時，有兩種情況，即P1P 1 PP2 或P1P212PP2 .如果 P1P 1 PP2 (圖22）, 那么OP OP1P1POP113P1P2OP1(OP2OP1)2OP1 1OP23 1 3 22x1 x2 2y1y2即點 P 的坐標為：2x1 x2 2y1 y233同理，如果 P1P 2PP2時（圖（3），那么點 P的坐標為： x1 32x2 , y1 32y2點評: 此題實際上給出了線段的中點坐標公式和線段三等分點坐標公式 .4、課堂小結(jié)熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達形式；會用平面向量平行的充要條件的坐標形式證明三點共線和兩直線平行；