一元二次方程單元教材分析報(bào)告

1、一元二次方程單元教材分析一.教學(xué)內(nèi)容：復(fù)習(xí)目標(biāo)：（輔導(dǎo)時(shí)各位老師要學(xué)生掌握的點(diǎn)，每節(jié)課可以視情況鞏固兩點(diǎn)） 了解一元二次方程的有關(guān)概念.能靈活運(yùn)用直接開平方法、配方法、公式法、？因式分解法解一元二次方程.會(huì)根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程的根的情況.知道一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并會(huì)運(yùn)用它解決有關(guān)問題.能運(yùn)用一元二次方程解決簡單的實(shí)際問題.了解數(shù)學(xué)解題中的方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和整體思想.二.基礎(chǔ)知識(shí)回顧1 .方程中只含有?個(gè)未知數(shù)，？并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 , ?這樣的 的方程叫做一元二次方程，通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑?（）其中二次項(xiàng)系數(shù)是 ,一次項(xiàng)系數(shù)是 ,常數(shù)項(xiàng)是 .例如：一

2、元二次方程 7x3=2x2化成一般形式是 ?其中二次項(xiàng)系數(shù)是 、一次項(xiàng)系數(shù)是 、常數(shù)項(xiàng)是.2 .解一元二次方程的一般解法有;？; ?？求根公式法，？求根公式是 .3 . 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 （aw0）的根的判別式是 ,當(dāng) 時(shí)，它有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) 時(shí)，它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) 時(shí)，？它沒有實(shí)數(shù)根.例如：不解方程，判斷下列方程根的情況：x （5x+21） = 20x2 + 9 = 6x x2 3x = 54 .設(shè)一兀二次方程 x2 + px + q = 0的兩個(gè)根分別為 xi, x2,則xi+x2 =, xi x 2 =. 例如：方程x2 + 3x -11 =0的兩個(gè)根

3、分別為 xi, x2,則xi + x2 =; xi x 2 =.5 .設(shè)一兀二次方程ax2 + bx + c=0 （aw0）的兩個(gè)根分別為xi,x2,則xi + x2 = ？,？xi ,x 23 .重點(diǎn)講解1 . 了解一元二次方程的概念，對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)（強(qiáng)調(diào)是三個(gè)）特點(diǎn)，即是整式方程（重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)）；化簡后只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2.2 .解一元二次方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法， 再考慮用公式法.（通過教材課后習(xí)題的演練，可以很明顯的發(fā)現(xiàn)利用十字相乘法解方程時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)常不是一，而有些 學(xué)生十字相乘

4、法中對于二次項(xiàng)系數(shù)不為一的題目會(huì)無所適從，不妨多加練習(xí)，但廈門近三年的中考中沒有 出現(xiàn)過類似的題目）23 .一元二次方程ax bx c 0（a 0）的根的判別式正反都成立.利用其可以不解方程判定方程根的情況（有根，有兩個(gè)根，有兩個(gè)不同的根分別代表力的取值范圍）；根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍（有兩正根，兩負(fù)根，一根正一根負(fù)，只有一個(gè)根大于某常數(shù)）；針對只有一個(gè)根大于某一常數(shù)的題型舉例如下：解與根有關(guān)的證明題（判斷三角形的形狀，某一恒等式證明）舉例如下：4 . 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參系數(shù)；已知方程， 求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；已知方

5、程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的 一元二次方程.5 .能夠列出一元二次方程解應(yīng)用題.能夠發(fā)現(xiàn)、提出日常生活、生產(chǎn)或其他學(xué)科中可以利用一元二次方程來解決的實(shí)際問題，并正確地用語言表述問題及其解決過程.6 .本章解題思想總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)最常見的一種思想方法.運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想可將未知數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題.在本章中， 將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為求平方根問題，將二次方程利用因式分解轉(zhuǎn)化為一次方程等.從特殊到一般的思想從特殊到一般是我們認(rèn)識(shí)世界的普遍規(guī)律，通過對特殊現(xiàn)象的研究得出一般結(jié)論，如從用直接開平方 法解特殊的問題到配方法到公式法，再如探索一元二次方

6、程根與系數(shù)的關(guān)系等.（對于理解力好的學(xué)生，可以要求其掌握公式法的求根公式的由來，以及怎樣用兩根推導(dǎo)根與系數(shù)的 關(guān)系）分類討論的思想一元二次方程根的判別式體現(xiàn)了分類討論的思想（在目前單元測試的壓軸性題目中出現(xiàn)的頻率較高） 舉例如下：4 .易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)1:對一元二次方程的定義的理解.判斷一個(gè)方程是否一元二次方程，關(guān)鍵是將整式方程化簡后只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2,特別地，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)用字母表示時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)不為零不能漏掉（雖簡單，但極易被學(xué)生忽略）.易錯(cuò)點(diǎn)2: 一元二次方程的一般形式.在確定一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)時(shí)，一定要將一元二次方程化為一般形式（注意同類項(xiàng)的合并

7、與等號右邊不為零的情況）易錯(cuò)點(diǎn)3:關(guān)于解一元二次方程時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn). 2是在解形如“ x x”這樣的方程時(shí)，千萬不能在方程左右兩邊都除以X,從而造成方程丟根（告知學(xué)生原因，即當(dāng) x=0時(shí)，兩邊是不能同時(shí)除以 0的，無意義）；用配方法時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不為1時(shí)，應(yīng)將二次項(xiàng)系數(shù)化為 1,再將方程左邊配成完全平方式； .2.利用公式法求一兀二次方程的解時(shí)，要先判斷b 4ac必須非負(fù)才能求解；舉例如下：利用因式分解法求一元二次方程的解時(shí)，方程右邊一定要變?yōu)?.易錯(cuò)點(diǎn)4：在用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問題時(shí)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，如圖形問題中，如何通過平移，旋轉(zhuǎn)等變換把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形.另外，對于增長

8、率問題，要把握基礎(chǔ)數(shù)與總數(shù)的關(guān)系. 特別地，一元二次方程的兩個(gè)解，一定要會(huì)判斷檢驗(yàn)其是否符合實(shí)際意義（兩個(gè)解并非必須有一個(gè)是增根， 二者都合適的情況也是存在的）.【典型例題】考點(diǎn)1 : 一元二次方程的概念及一般形式相關(guān)知識(shí)：只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為ax2 + bx+c = 0 （a、b、c為常數(shù)，？aw0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c = 0 （aw0）.復(fù)習(xí)策略：準(zhǔn)確理解一元二次方程的定義，一元二次方程首先是整式方程，然后是經(jīng)過化簡后能得到 一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程.例1.下列方程是關(guān)于 x的一元二次方程的

9、是（）A. 3(x 1)22(x 1)112B. x x222）C. ax bx c 0d. x 2x x 12方程1 x5x的一次項(xiàng)的系數(shù)是 .【評注】概念性的問題關(guān)鍵是抓住概念的本質(zhì).一元二次方程必須符合三個(gè)條件：是整式方程；化簡后只含一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2.考點(diǎn)2 : 一元二次方程的解相關(guān)知識(shí)：使一元二次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二 次方程的根.復(fù)習(xí)策略：要判斷一個(gè)值是否是一元二次方程的解，只要將這個(gè)值代入一元二次方程，看看方程左右 兩邊是否相等即可.相等，則是方程的解；反之，則不是.22例2.如果關(guān)于x的一元二次方程（m 2）x 3x

10、m 4 0有一個(gè)解是0,求m的值.【評注】已知方程的解確定方程中的待定系數(shù)的值，是逆向思維的運(yùn)用， 有時(shí)將方程的解代入方程中，可能還會(huì)出現(xiàn)含兩個(gè)待定系數(shù)的方程，這時(shí)要注意整體思想方法的運(yùn)用.考點(diǎn)3 : 了解方程并判定方程根的情況 ., 22,相關(guān)知識(shí)：一兀二次萬程根的判別：當(dāng)b 4ac >0時(shí)，萬程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b 4ac,2=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b 4ac <0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.反之也成立.復(fù)習(xí)策略：要掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用：不解方程判別根的情況；根據(jù)方程解的情況確定系數(shù)的取值范圍；求解與根有關(guān)的綜合題.“、一、2例3.（2007巴中市）一兀二

11、次方程 x 2x 1 0的根的情況為（）A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根2.（2007安徽瀘州）若關(guān)于 x的一元二次方程x 2x m 0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) m的取值范圍 是（）A. m <l B. m > - 1 C. m >lD. m < - 1考點(diǎn)4 :解一元二次方程相關(guān)知識(shí)：我們知道，一元二次方程的解法有四種：直接開平方法、因式分解法、配方法和公式法.而解一元二次方程的關(guān)鍵是判斷方程的特點(diǎn)，選擇最佳解題方法，其基本思想是“降次”，把二次轉(zhuǎn)化為一次.這四種方法各有千秋，在解一元二次方程時(shí)可根據(jù)方程的特點(diǎn)，選用最佳解法.復(fù)

12、習(xí)策略：靈活選用一元二次方程的解法，可從以下幾點(diǎn)考慮：對于形如x2=a（a>0）或（mxn）2 = a（m w0, a >0）的方程，可根據(jù)平方根的意義，用 直接開平方的方法求解.如果一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng)，或方程的右邊為0,左邊很容易分解因式，可考慮用因式分解法.當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1 , 一次項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，可考慮使用配方法.如果用以上幾種方法都不易求解時(shí)，可考慮用公式法求解.例4.解下列方程：1（x+ 1 ） 2=2（2x + 1 ） （3x 1） = 12x （x + 2） +1 = 0（4）16 -x2-4x = 03 （x 2） 2 = x （x2）由以上解析

13、可以這樣來總結(jié)：解一元二次方程，首先要把原方程變形為一般形式，然后方t算b2-4ac,最后考慮用何種方法求解.如果b2 4ac是完全平方數(shù)，則用因式分解法，如果 b24ac不是完全平方數(shù)且大于零，則用公式法，配方法實(shí)際是公式法的推導(dǎo)過程，因此，除題目要求，一般不用配方法.2例5.解方程：(2007北京)解方程：x 4x 1 0.( 2007浙江嘉興)解方程：x2+3 = 3 (x + 1).考點(diǎn)5:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值0 (a、b、c為已知數(shù)，a一元二次方程兩個(gè)根的和2.相關(guān)知識(shí)： 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程ax bx cb c2 x i x 2一

14、,xx2 一w0, b 4ac 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 x1,x2,則a a .即:等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù)；兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商.復(fù)習(xí)策略：根與系數(shù)的關(guān)系存在的前提是： aw0,即方程一定是一元二次方程； b2-4ac >0, 即方程一定有實(shí)數(shù)根.根據(jù)新課標(biāo)的要求，在課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題中，運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的考題主要是求 與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值的題型.22例6.(2007山東淄博)若關(guān)于x的一元二次方程x kx 4k 3 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是 X，x2,且滿足xi x2 xix2 .則k的值為()3 3(A) 1 或4(B) 1(C

15、) 4(D)不存在2(2007四川德陽)閱讀材料：設(shè)一兀二次方程ax bx c 0的兩根為x1, x2,則兩根與方程系bcx1 x2 x1x2數(shù)之間有如下關(guān)系：a ,a .根據(jù)該材料填空：已知x1 , x2是方程x2 6x 3 0的兩實(shí)數(shù)根，則x1 x2的值為【評注】不解方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩個(gè)代數(shù)式的值關(guān)鍵是把所給的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形，化為含x1 x2, x1 見的代數(shù)式變形有：x2的形式，然后把x1X2,Xi x2的值代入，即可求出所求代數(shù)式的值.常2x12 x2(x1 x2)22x1x2x2XiX2X1X21x11-2x22(x1 x2)2x1x2(22)2上上x1x2

16、(x1x2)2 2x1x2Xx2xix2考點(diǎn)6:(x1 x2)2 4Kx2次方程的應(yīng)用相關(guān)知識(shí)：應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題的步驟：在日常生活實(shí)踐中，許多問題都可以通過建立一 元二次方程這個(gè)模型來進(jìn)行求解，然后回到實(shí)際問題中去進(jìn)行解釋和檢驗(yàn).首先要把實(shí)際問題加以分析， 抽象成數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決它.應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題的步驟可歸結(jié)為：“設(shè)、找、列、解、驗(yàn)、答”:設(shè)：是指設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)和間接設(shè).所謂直接設(shè)，就是指問什么設(shè)什么；在直接設(shè)未知 數(shù)比較難列出方程或者列出的方程比較復(fù)雜時(shí)，可考慮間接設(shè)未知數(shù).找：是指讀懂題目，審清題意，明確已知條件和未知條件，找出它們之間的等量

17、關(guān)系.列：就是指根據(jù)等量關(guān)系列出方程.解：就是求出所列方程的解.驗(yàn)：分為兩步.一是檢驗(yàn)解出的數(shù)值是否是方程的解，二是檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際情況.答：就是書寫答案，一定要遵循“問什么答什么，怎么問就怎么答”的原則.以上幾個(gè)步驟中，審題是基礎(chǔ)，找出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，能否恰當(dāng)設(shè)元直接影響著列方程和解方程的難易，所以要根據(jù)不同的具體情況把握好解題的每一步.復(fù)習(xí)策略：1. 一元二次方程解應(yīng)用題應(yīng)注意：寫未知數(shù)時(shí)必須寫清單位，用對單位；列方程時(shí)，方程兩邊必須單位一致；答必須寫清單位.注意語言和代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，要把用語言給出的條件用代數(shù)式表示出來.2.常見的應(yīng)用題：幾何圖形的面積問題：這類問題的面積

18、公式是等量關(guān)系，如果圖形不規(guī)則，應(yīng)分割或組合成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出方程.平均增長（降低）率問題：此類問題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長（降低）兩次得到新的數(shù)據(jù)，2 2解這類問題需牢記公式a（1 x） b或a（1 x） b，其中a表示增長（降低）前的數(shù)據(jù)，x表示增長或 降低率，b表示后來得到的數(shù)據(jù)，“ + ”表示增長，“”表示降低.方法規(guī)律：解此類問題所列的方程，一般用直接開平方法求解.增長率不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于1 .營銷問題：解決此類問題首先要清楚幾個(gè)名稱的意義，如成本價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、打折、利潤、利潤率等以及它們之間的等量關(guān)系.梳理總結(jié)：此類問題

19、常見的等量關(guān)系是：“總利潤=總售價(jià)一總成本”或“總利潤=每件商品的利潤x 銷售數(shù)量,例7.據(jù)報(bào)道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30% ,大部分秸桿被直接焚燒了， 假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變， 且合理利用量的增長率相同， 要使2008 年的利用率提高到 60% ,求每年的增長率.（取J2 = 1.41 ）例8. 一塊矩形耕地大小尺寸如圖1 ,如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖 1所示，余下的部分作為耕地.要使耕地的面積為540m 2,道路的寬應(yīng)是多少？分析：在面積問題中有一些計(jì)算題，如采用平移的方法適當(dāng)改變圖形的形狀，可以給解決問題帶來

20、意 想不到的美妙效果.此題如不采用“平移法” ，很難人手.若把“之”字道路平移一下位置，變?yōu)閳D 2,則 此題即可迎刃而解.考點(diǎn)7 : 一元二次方程中考閱讀理解題例析與一元二次方程相關(guān)的閱讀理解問題，是近幾年的一種新題型，由于這類問題有助于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀 理解能力、創(chuàng)新意識(shí)，而備受大家的關(guān)注，現(xiàn)略舉幾例與同學(xué)們共賞析.例9.（2006年福建晉江市）閱讀下面的例題：解方程：x2 一 |x| 2 = 0解：（1）當(dāng)x>0時(shí)，原方程化為x2 x2 = 0,解得：X1 = 2 , X2 =1 （不合題意，舍去） （2）當(dāng)x 0時(shí)，原方程化為 x2 + x 2 = 0,解得：x1 = 1 （不合題意

21、，舍去），x2 = - 2，原方程的根是 x1=2, x2 = -2.請參照例題解方程 x2 |x 3| 3 = 0,則此方程的根是 .例10.（2006年廣東茂名市）先閱讀，再填空解題：（1）方程 x2x12=0 的根是：x 1 = 3 , x2 = 4 ,則 x + x2=1, x,x2=12;(2)方程 2x2 7x +3 = 0 的根是：x 1 = 2 , x2 = 3 ,貝 Ux1+x2=2, x,x2=2； (3)方程 x2 3x + 1= 0 的根是：x1 =, x2=.貝U x 1 + x2 =, x 1 x2 =;根據(jù)以上（1） （2） （3）你能否猜出：如果關(guān)于x的一元二次

22、方程 mx2 + nx + p = 0 （mw0且m、n、p為常數(shù)）的兩根為 x1、X2,那么X1+X2、x1 x2與系數(shù)m、n、p有什么關(guān)系？請寫出來你的猜想并說明理由.分析：本題首先請同學(xué)們閱讀兩個(gè)一元二次方程的兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系，再通過第3個(gè)方程的兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系特點(diǎn)，歸納猜想出一元二次方程的兩個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系.【中考再現(xiàn)】【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）、選擇題1、（2007巴中市）一元二次方程2x 2x 1 0的根的情況為（A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根 2.m的取值范圍是2、（2007安徽瀘州）若關(guān)于 x的一元二次方程x 2x m 0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)）A. m<l B. m> 1 C. m>lD. m< 123、（2007四川內(nèi)江）用配方法解方程x 4x 2 0 ,下列配方正確的是（）A. （x 2）22 b. （x 2）2 2 c. （x 2）22 d. （x 2）24、（2007四川成都）下列關(guān)于 x的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（A. x 2 + 4= 0 B.4x2 4x + 1=0 C. x 2 + x + 3 = 0 D. x2 + 2x 1=05、（2007湖南岳陽）某商品原價(jià) 200元，連續(xù)兩次