福建省永春縣第一中學(xué)-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理(含解析)練習(xí)

1、福建省永春縣第一中學(xué) 2017-2018 學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）練習(xí)考試時間： 120 分鐘試卷總分： 150 分本試卷分第I 卷和第 II卷兩部分第 I 卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.1. 用反證法證明: “自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為()A. a,b,c都是偶數(shù)B. a,b,c都是奇數(shù)C. a,b,c中至少有兩個偶數(shù)D. a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)【答案】 D【解析】自然數(shù)a,b,c的奇偶性有四種情形：三個都是奇數(shù)；一個奇數(shù)兩個偶數(shù)；兩個奇數(shù)一個偶數(shù)

2、；三個都是偶數(shù)故否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個是偶數(shù)”時的反設(shè)為“a,b,c中都是奇數(shù)或至少兩個偶數(shù)”選D2.2. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題： |z|=2 ，： z2=2i ，： z 的共軛復(fù)數(shù)為，：z 的虛部為1，其中真命題為（）A.，B.，C.，D.，【答案】 B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得：復(fù)數(shù) z=1+i ，再利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義即可判斷出真假【詳解】復(fù)數(shù).：，故是假命題；：，是真命題；： 的共軛復(fù)數(shù)為，故是假命題；1/19： 的虛部為1，是真命題 .故選 B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式、共軛復(fù)數(shù)的定義、虛部的定義、命

3、題的真假判定，注意概念的掌握以及計(jì)算的準(zhǔn)確性3.3. 我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng) 緝古算經(jīng)等10 部專著，有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)這10 部專著中有7 部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期某中學(xué)擬從這10 部名著中選擇 2 部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選的2 部名著中至少有1 部是魏晉南北朝時期的名著的概率為()A.B.C.D.【答案】 A【解析】從 10 部名著中選擇2 部名著的方法數(shù)為 45，所選的2 部都為魏晉南北朝時期的名著的方法數(shù)為 21，只有1 部為魏晉南北朝時期的名著的方法數(shù)為× 21，于是事件“所選的2

4、部名著中至少有1 部是魏晉南北朝時期的名著”的概率P.故選： A4.4. 設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A.B.C.D.2/19【答案】 C【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，然后判斷選項(xiàng)即可【詳解】由的圖象可知，當(dāng)，或時，故函數(shù)是增函數(shù)，時，函數(shù)是減函數(shù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)所以函數(shù)的圖象只能是故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減。5.5. 在平面幾何里有射影定理：設(shè)三角形ABC的兩邊 AB AC， D是 A點(diǎn)在 BC上的射影，則2A

5、 BCD中， AD面 ABC，點(diǎn) O是 A 在面 BCD內(nèi)的射影，AB=BD?BC拓展到空間，在四面體且 O在 BCD內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點(diǎn)的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，由已知在平面幾何中，若中， 是垂足，則，我們可以類比這一性質(zhì)，推理出若三棱錐中，面，面， 為垂足，則.【詳解】由已知在平面幾何中， 若中 ， 是垂足，則.可以類比這一性質(zhì)，推理出：3/19若三棱錐中，面，面，為垂足，如圖所示：則故選 A.【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理

6、. 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類對象上去，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）6.6. 已知， ，則推測（）A. 1033B. 199C. 109D. 29【答案】 C【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析三個式子，可得成立，進(jìn)而根據(jù)，可得 ， 的值，從而可得.【詳解】根據(jù)題意，對于第一個式子，有；對于第二個式子，有；對于第三個式子，有；分析可得，有.若，則，.4/19故選 C.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用，屬于中檔題.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和

7、形的歸納兩類：（ 1）數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列，等比數(shù)列等；（2）形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.7.7. 已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. 1b2B.1b2C.b2 或 b2D.b1 或 b2【答案】 A【解析】【分析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0 即可解決問題【詳解】函數(shù)是 上的單調(diào)增函數(shù)在 上恒成立，即.故選 A.【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于

8、0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來進(jìn)行求解 .8.8.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從 到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A.B.C.D.【答案】 B【解析】試題分析：當(dāng)時，原式是，當(dāng)時，變?yōu)?/19，所以增乘的代數(shù)式是，故應(yīng)選 .考點(diǎn)： 1、數(shù)學(xué)歸納法 .9. 2 位男生和3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（）A. 36B. 42C. 48D. 60【答案】 C【解析】試題分析：從3 名女生中任取2 人“捆”在一起記作22=6 種不同排法），A，（ A共有 C A32

9、剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B 之間（若甲在A、 B兩端則為使A、 B 不相鄰，只有把男生乙排在A、 B 之間，此時就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時共有6×2=12 種排法（ A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三個元素中選出四個位置插入乙，共有12×4=48 種不同排法故選C考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題10.10.設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a， ）上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間（， ）上的導(dǎo)函數(shù)為ba b，若在區(qū)間（ a， b）上，則稱函數(shù)在區(qū)間（ a， b）上為“凹函數(shù)”，已知在區(qū)間（ 1， 3）上為“凹函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.

10、B.C.D.【答案】 D【解析】【分析】函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”，所以，即對函數(shù)二次求導(dǎo)，分離參數(shù)，求參數(shù)的最值即可【詳解】函數(shù)在區(qū)間上為“凹函數(shù)”6/19在上恒成立，即在上恒成立 .在上為單調(diào)增函數(shù)故選 D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義） .不等式恒成立問題常見方法：分離參數(shù)恒成立 (即可 ) 或恒成立（即可）；數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可 ) ； 討論最值或恒成立；討論參數(shù).11.11. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有成立，則不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】設(shè)，則, 即 x>0 時是增函數(shù)，當(dāng) x>

11、1 時 , g( x)> g(1)=0, 此時 f ( x)>0 ；0<x<1 時 , g( x)< g(1)=0, 此時 f ( x)<0.又 f ( x) 是奇函數(shù) , 所以 - 1<x<0 時 , f ( x)= - f ( - x)>0 ；x<- 1 時 f ( x)= - f ( - x)<0.則不等式 x?f ( x)>0 等價為或，即 x>1 或 x<- 1，則不等式 xf ( x)>0 的解集是 ( - ,- 1) (1,+ ) ，本題選擇A 選項(xiàng) .12.12. 設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一

12、的整數(shù)使得，則 的取值范圍是（）7/19A.B.C.D.【答案】 D【解析】設(shè) g(x)=e x(2x - 1) ， y=ax - a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0 使得 g(x 0) 在直線 y=ax - a 的下方， g(x)=e x (2x - 1)+2e x =ex(2x+1) ，當(dāng)時,g (x)<0, 當(dāng)時,g (x)>0 ，當(dāng)時 ,g(x)取最小值，當(dāng) x=0 時 ,g(0)= - 1, 當(dāng) x=1 時 ,g(1)=e>0 ，直線 y=ax - a 恒過定點(diǎn) (1,0) 且斜率為 a，故- a>g(0)= - 1 且 g( - 1)= - 3e-1? - a-

13、 a, 解得本題選擇D選項(xiàng) .視頻二、填空題（本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。請把正確答案填在答題卡中橫線上）13.13._【答案】8/19【解析】【分析】根據(jù)定積分的計(jì)算法則和定積分的幾何意義計(jì)算即可【詳解】表示以原點(diǎn)為圓心，以1 為半徑的圓的面積的一半，即；故答案為 .【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，屬于中檔題. 當(dāng)利用定積分不能直接求解時，一般要注意被積函數(shù)的幾何意義，利用幾何圖形計(jì)算其面積，從而得到定積分的值.14.14. 用 0， 1， 2，3， 4 這五個數(shù)字可以組成_個重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)【答案】 36【解析】【分析】根據(jù)題意，分3 步進(jìn)行分析：、在1、 3 中

14、任選一個，安排在個位，、0 不能在首位，則需要在剩下的3 個數(shù)字中任選 1個，、在剩下的3 個數(shù)字中任選 2 個，安排在其他2個數(shù)位，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn) 行分 析：要求四位數(shù)為奇數(shù)，其末位數(shù)字為1、3，有2種情況；0不能在首位，則需要在剩下的 3 個數(shù)字中任選 1 個，有 3種情況；在剩下的 3 個數(shù)字中任選 2 個，安排在其他 2 個數(shù)位，有種情況；則 一 共 有2×3×6=36種 情 況，即有 36個 四位奇 數(shù) .故答案為 36【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意0不能在首位以及末位數(shù)學(xué)必須為奇數(shù)解答排列

15、、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手；(1) “分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2) “分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3) “分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系9/19的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決15.15. 已知的展開式中x3 項(xiàng)的系數(shù)為25，則實(shí)數(shù)=_【答案】 3【解析】【分析】利用多項(xiàng)式的乘法法則得到系數(shù)由三部分組成，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出各項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出的值【詳解】的展開式中系數(shù)是

16、. 系數(shù)為 25故答案為 3.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng) . 可依據(jù)條件寫出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可 .(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù). 可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù) .16.16. 設(shè)過曲線（ 為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為，總有過曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為【答案】.【解析】試題分析：設(shè)曲線. 因上的切點(diǎn)為,曲線上一點(diǎn)為, 故直線的斜率分別為,由于,因此,即,也即.又因?yàn)?所以,由于存在使得,因此且,所以,所以.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及不等式恒成立和存在成立問題的求

17、解思路【易錯點(diǎn)晴】本題考查的是存在性命題與全稱命題成立的前提下參數(shù)的取值范圍問題. 解答時先求導(dǎo)將切線的斜率表示出來, 再借助題設(shè)中提供的兩切線的位置關(guān)系, 將其數(shù)量化 , 最后10/19再依據(jù)恒成立和存在等信息的理解和處理, 從而使問題獲解. 本題在解答時最為容易出錯的地方有兩處 : 其一是將切點(diǎn)設(shè)為一個；其二是將存在問題當(dāng)做任意問題來處理.視頻三、解答題（本大題共6 小題，共70 分。解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.17. 如圖，梯形中，.(1) 若，求的長；(2) 若，求的面積 .【答案】 (1)8 ；(2)【解析】【分析】（ 1）由同角三角形函數(shù)的關(guān)系求出，結(jié)合，

18、在中，由正弦定理即可求出的長；（ 2 ）在中，利用余弦定理求得，結(jié)合利用（ 1）的結(jié)論，根據(jù)三角形的面積公式即可結(jié)果.【詳解】 (1)因?yàn)?，所以為鈍角，且，因?yàn)?，所?在中，由，解得.(2) 因?yàn)椋裕?1/19故，.在中，整理得，解得，所以.【點(diǎn)睛】以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18.18. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，成等比數(shù)列 .（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公

19、式；（2）若數(shù)列滿足， 求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】 (1)； (2).【解析】試題分析：（1）因?yàn)?，變形后為也即是，所以是一個等差數(shù)列且公差為2，再利用成等比數(shù)列可以得到，所以的通項(xiàng)為. （ 2）計(jì)算可得，它是等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，用錯位相減法求其前項(xiàng)和 .解析：（ 1）因?yàn)椋?，故?shù)列是公差為的等差數(shù)列；又成等比數(shù)列，所以，解得，故.（2）由（ 1）可得：，故，又，由錯位相減法得：12/19，整理得：.19.19. 已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍【答案】 (1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； (2).【解析】【分析】（ 1）

20、求出導(dǎo)函數(shù)，通過當(dāng)時，當(dāng)時，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性；（ 2）通過當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求解判斷求解函數(shù)的最小值，推出的取值范圍【詳解】（ 1），當(dāng) 0時， 0 恒成立，在定義域（0，+）上單調(diào)遞增當(dāng) 0 時，令=0，得 x= ，x 0， 0 得 x ； 0 得 0 x ，在（ 0， a）上單調(diào)遞減，在（ a，+）上單調(diào)遞增（2）當(dāng) =0 時， 0 恒成立；當(dāng) 0 時，當(dāng) x0時，0不成立；當(dāng) 0 時，由（ 1）可知 f （ x） min=f （ ）= ln ，由 f （ ）= ln0得 1 ln0. （ 0， e綜上所述，的取值范圍是 0 ， e 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研

21、究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想. 在求導(dǎo)后，一般要進(jìn)行通分和因式分解，而分式的分母一般都不用考慮，另外要注意在定義域內(nèi)研究單調(diào)性 . 對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件 . 二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.13/1920.20. 如圖 ,是平行四邊形，已知，, 平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值【答案】 (1)見解析 ;(2).【解析】【分析

22、】（1）推導(dǎo)出，取 BC的中點(diǎn) F，連結(jié) EF ，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（ 2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為， 軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（ 1）是平行四邊形，且，故，即取 BC的中點(diǎn) F，連結(jié) EF.又平面平面平面平面平面平面，平面（2）, 由（）得14/19以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸 , 建立空間直角坐標(biāo)系( 如圖 ) ，則設(shè)平面的法向量為，則，即得平面的一個法向量為由（ 1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛

23、】用空間向量求解立體幾何問題的注意點(diǎn)（1）建立坐標(biāo)系時要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)（ 2）用平面的法向量求二面角的大小時，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論21.21. 已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，離心率.（1）求此橢圓的方程；（2）設(shè)直線 ：，若 與此橢圓相交于， 兩點(diǎn)，且等于橢圓的短軸長，求的值；（3）以此橢圓的上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.【答案】 (1);(2);(3) 見解析 .【解析】【分析

24、】15/19（ 1 ）由題設(shè)條件橢圓的兩焦點(diǎn)為，離心率，求出，兩參數(shù)的值，即可求得橢圓的方程；（2）根據(jù)直線與此橢圓相交于，兩點(diǎn)，且等于橢圓的短軸長，故可由弦長公式建立方程求出參數(shù)的值首先要將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長公式建立方程，即可求解；（3 ）先假設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形，其中，由題意可知，直角邊，不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)邊所在直線的方程為（不妨設(shè)），則邊所在直線的方程為，將此兩直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別解出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出兩線段，的長度，由兩者相等建立方程求參數(shù)，由解的個數(shù)判斷三角形的個數(shù)即可【詳解】（ 1）設(shè)橢圓方程為，則，所求橢圓方程為.（2）由，消去 y，得，則得（*）設(shè)，則，解得 .，滿足（ *）(3) 設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形，其中，由題意可知，直角邊，不可能垂直或平行于軸，故可設(shè)邊所在直線的方程為（不妨設(shè)），則邊所在直線的方程為.由，得 A16/19用代替上式中的k，得，由，得k<0， 解得或，故存在三個內(nèi)接等腰直角三角形 .【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相關(guān)的知識，如本題中求解的重點(diǎn)是弦長公式的熟練掌握運(yùn)用，依據(jù)條件進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，分析出建立方程的依據(jù)很關(guān)鍵，如本題第二小題利用弦長公式建立