2020屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題(含答案)

1、2020年高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，21小題， 滿分150分.考13t用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填 寫在答題卡上.2,選擇題每小題選出答案后，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將答案填寫在答題卡上對(duì)應(yīng)題目的 序號(hào)下面，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選填其他答案，答案不能答在試卷上.3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效.4 .作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用 2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)

2、應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、 多涂的，答案無效.5 .考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 x1.已知全集 U = R,集合 A x/|x 1| 1 , B x 0,則 An (?U B) = ()xA. (0,1)2.已知xyCR,B. 0,1) i為虛數(shù)單位，且(C. (1,2)x 2) i y=1 ,則(1D.i)x(0,2)y的值為(B.C. - 2iD. 2+2i3、已知),sinB.3 一-,則 tan(51-)的值等于(44.等比數(shù)列an中

3、,a39,3 2前3項(xiàng)和為S3 3 0 x dx ,則公q的值是A. 11B.-2C.D. 一 1 或一5.定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0, +8)上是增函數(shù)，且 f(3)=0,則不等式xf(x)0的解集是(A. (0, 3) B. (3 , +oo) C. (- 3,0)U(T, +00) D. (-8,馬 U(0,3313)正視圖側(cè)視圖6. 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為A. 12B. 3C. 4后 D . 12,3俯視圖227 .已知雙曲線 二 4 1 (a 0, b 0),過其右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線

4、與雙曲線交 a b于M , N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OMON ,則雙曲線的離心率為(A. AJ3B.LJ31 C.8 .已知集合M=(x, y)| y f(x),若對(duì)于任意(為) M ,存在(X2,y2)M ,使得sin x 1； ex2.X1X2 y20成立，則稱集合 M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合:1一 ，、，M=(x, y)| y -；M=( x, y )| yM=(x, y)| y log 2 x ； M=( x, y )| y其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是()A. B . C . D .30分.甲 乙9 88 3 3 72 109 9二、填空題：本大題共 7小題，考生作答6小題

5、，每小題5分，滿分 (一)必做題(813題)9 .下面莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中一個(gè)數(shù)字被污損.則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的 概率為10 .設(shè)(5x 4)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M ,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若3 xM N 240,則展開式中的常數(shù)項(xiàng) .xx11 .下列說法：“ x R, 23”的否定是“ x R, 23"；函數(shù)y sin(2x )sin( 2x)的最小正周期是 ；命題“函數(shù)f(x)在x x0處有極 36值，則f(x0) 0”的否命題是真命題；“刈是(，0) U(0,)上的奇函數(shù)，x 0的解析式是f(x) 2x,則x 0時(shí)的解析式為f(x)

6、 2 x.其中正確的說法是12 .已知向量a=(2,1), b = (x, y).若xC1,2, yC1,1,則向量a, b的夾角是鈍角的 概率是.13 .右表給出一個(gè) 主角形數(shù)陣”已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，一每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第 i行第j列的數(shù) 4 *為 aij (I j ,i, j N )，則 a53 等于,amn (m 3). 二，一243334816(二)選做題：第14 J5題為選做題，考生只能選做一題，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做的 試題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，并將選做的題號(hào)填寫在括號(hào)內(nèi)再作答.14題口 15題U(請(qǐng)14 .在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(3 )且垂直于極

7、軸的直線方程的極坐標(biāo)方程是3333選擇正確標(biāo)方填仝)(1)-sin(2)cos(3) sin (4)2223cos 一 215 .如圖，在 ABC 和4ACD 中，/ ACB = / ADC = 90°, /BAC = /CAD,。是以 AB 為直徑的圓，DC的延長(zhǎng)線與 AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E.若EB=6, EC=N2,則BC的長(zhǎng) 為.三、解答題：本大題共 6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16、(本小題滿分 12 分)已知函數(shù) f(x) 2sin xcos x 273sin2 x J3 (0)的最小正周期為.(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(n)將函數(shù)f(

8、x)的圖象向左平移 一個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù) y g(x)的 6圖象.若y g(x)在0, b(b 0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值.17.(本小題滿分12分)某高中為了推進(jìn)新課程改革，滿足不同層次學(xué)生的需求，決定從高 一年級(jí)開始，在每周的周一、周三、周五的課外活動(dòng)期間同時(shí)開設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、 生物和信息技術(shù)輔導(dǎo)講座，每位有興趣的同學(xué)可以在期間的任何一天參加任何一門科 目的輔導(dǎo)講座，也可以放棄任何一門科目的輔導(dǎo)講座。(規(guī)定：各科達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座，否則稱為不滿座)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各學(xué)科講座各天的滿座的概率如下 表：信息技術(shù)生物化學(xué)物理救學(xué)周一4414工 42周三1

9、 212222223周五131313323根據(jù)上表：(1)求數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率；(2)設(shè)周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。18.(本小題滿分14分)在直角梯形 ABCD中，AD/BC , BC 2AD 2AB 2J2 ,AB BC ,如圖，把 ABD沿BD翻折，使得平面(I)求證：CD AB;(II )若點(diǎn)M為線段BC中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面(III )在線段BC上是否存在點(diǎn) N ,使得AN與平面ACD所成角為60°?若存在，求出BN的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.BC19.(本小題滿分14分)22設(shè)橢圓M : x21 a 72的右焦點(diǎn)為F1

10、 ,uur與x軸交于點(diǎn)A ,若OF1uur2AF1 0 (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))a 2(1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn),22EF為圓N : x y 21的任意一條直徑(E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，求PE PF的最大值.2220 .(本小題滿分14分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足an 1 2an anan 1 ,且a2 a4 2a3 4 淇中 n N * .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；nan(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn (2n 1) 2n ,是否存在正整數(shù) m,n (1 m n),使得“,bm,bn 成等比數(shù)列？若存在，求出所有的 m,n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。(n 1)2 15

11、1(3)令g 工一1，記數(shù)列Cn的刖n項(xiàng)和為Sn淇中n N，證明：一Sn 。n(n 1)an 216221 .(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x) x2 ax(a 0), g(x) ln x, f(x)圖象與x 軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn) M處的切線為h, g(x 1)與x軸的交點(diǎn)N處的切線為并且1i與l2平 行.(1)求f(2)的值；(2)已知實(shí)數(shù)tCR,求u xln x,x 1,e的取值范圍及函數(shù) y fxg(x)+t,x 1,e的 最小值；(3)令F(x) g(x) g'(x),給定Xi,X2 (1,), Xix2,對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)，存在實(shí)數(shù)m滿足：mx1(1 m)x2 ,(1m)x1

12、 mx2 ,并且使得不等式|F( ) F( )| |F(Xi) F(x2)|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.高三聯(lián)考理科數(shù)學(xué)答案、選擇題：A D A C二、填空題c 49. 510.20一 111.12.-313.5 m161 2n 114. (4)15.2 .-',3.【解析】由| x1| 1得一1<x 1<1 ,即0Vx<2 , A=(0,2).得(1 x)x 守x 0(x1)x 00x 0,或 x 1B=(,0)U1,), ?uB =0,1),An (?U B)= (0,1).(x - 2) i - y=1 ,即(x - 2)i=y+1 ，所以x - 2=0,解得x

13、=2, 片1二。y= - 1,所以(1i)x y(1+i) 2+1= (1+i) 32+2i故選D.tansincossincos,1 sin2tan(tantan 4tan tan- 43 14_347°【解析】Sb3x2dx27a327,即 2q2【解析】,偶函數(shù)f(x)在(0,所以函數(shù)f(x)的代表圖如圖，xf(x) 0解集是,一一一 18)上為增函數(shù)，又 fQ)=0311、.一(-3, 0)U(-, + 8),選 C6 .【答案】B【解析】由三視圖可得，該幾何體為一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐, 如下圖中C1 ABCD ,其中底面ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方形，CQ 1 由圖可知，該

14、四棱錐的外接球球心即該四棱錐所在的正方體的中心，CtD./be3_2 一由此可得球半徑R，所以其表面積為S 4 R 3 ,故選B27 .【答案】D.【解析】：畫出圖形，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性及OM ON可得 OMN是等腰直角三角形(不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限)，OF2平分角 MON ,所以O(shè)F2 MF2,b2a22cy(因?yàn)橛?2名ab222i , c a y 一1得到一2 2y，所以ya b整理得e2 e 1 0 ,解得e可得b2一)，所以caae 1,故選2D.8.【答案】B【解析】：依題意：要使得x1x2 y1y2 0成立，只需過原點(diǎn)任作一直線11與該函數(shù)的圖象相交，再過原點(diǎn)作與11: y x ,

15、 l2: y x 與函數(shù) yI1: y 0 , I2 ： x 0與函數(shù) y11垂直的直線12也與該函數(shù)的圖象相交即可。對(duì)取1圖象沒有交點(diǎn)，中 M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；中取xlog 2 x圖象沒有交點(diǎn)，中 M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；作出、中兩個(gè)函數(shù)圖象知：過原點(diǎn)任作一直線11與該函數(shù)的圖象相交，再過原點(diǎn)作與11垂直的直線12也與該函數(shù)的圖象相交。故中的集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”49.【答案】5y-si nx+1【解析】由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可求出甲 5次的平均值為90;而乙4次的平均值為88,若乙中污損的數(shù)為 9,8時(shí)，甲的平均值不會(huì)超過乙的平均值；其他值時(shí)都會(huì)超過，所以甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率為_

16、8 =410=5.10.【答案】20 【解析】：依題意，M1Tr 1 C；(5x)4 r( x 3)r C； 54 r (故常數(shù)項(xiàng)為T4 C43 5 ( 1)320.N (5 1)n 2n 240,解得 n4 -r41)rx 3 .令 4 -r 0得 r 3.34,12-sin(4x )，故其周 2311 .【答案】.【解析】對(duì)，特稱命題的否定為全稱命題；錯(cuò)，因y sin(2x -)sin( 2x) y sin(2 x -)sin (2 x ) 363232期為 一；錯(cuò)，原命題的逆命題為“若 f (x0) 0 ,則函數(shù) 42為假命題，由逆命題和否命題同真同假知否命題為假命題；對(duì)，當(dāng)x以f(x)

17、 2 ，又f(x)為奇函數(shù)，所以x 0時(shí)，f(x) f(f (x)在x x0處有極值”x 0時(shí), x x) 2 .x 0,所y-1,一 一，入，12 .【答案】3【解析】設(shè)，b的夾角是鈍角”為事件B,3即2x+y<0,且xw2遵本事件空間為 Q= (x, y)B=(x, y)1 x 21 y 22x y 0 x 2y-(-3) 2 1'則呼尸表=22丁廣=3,即向量a, rb的夾角是鈍角的概率是13.13.【答案】-,事【解析】162n 1由題意可知第一列首項(xiàng)為公差的首項(xiàng)為所以a51a52以第5a52a51以a53a52q14.15.16第二列由題意知am2 qam1(m1211

18、) 4所以amn【答案】（2）【解析】（【答案】2V3,【解析】.點(diǎn)C在。上.連接am2n 1am1q(m2)所以第m行的公比為（2）n1m小，m3.,）為垂線上任一點(diǎn)，則AB是。O的直徑，/cos3cos 3ACB= 90°,OC,可得/ OCA=Z OAC = Z DAC,.OC/AD.又. ADDC, DCXOC.32.OC為。O半徑，DC是。的切線. DC 是。的切線，EC2 = EB EA.又; EB=6, EC = .EA=12, AB = 6.又/ ECB = /EAC, /CEB=/AEC, . ECBs eac, .卷=號(hào)=興 即 AC=V2BC. 又AC2+BC2

19、=AB2=36, . .BC=2y3.三、解答題:16.解：（I ）由題意得f （x）2sin xcos x 2 3 sin2 x 3由周期為，得 1.由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間得2k - 2x - 2k23得 f x 2sin(2 x -)3sin 2 x , 3 cos2 x 2sin(2 x ) 3一,得 k x k ,k Z21212所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是k,k ,k Z1212(n)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移 1個(gè)單位, 6得到y(tǒng) 2sin 2x 1的圖象，所以g(x)2sin 2x 1令 g(x) 0 ,得：x k '或 x12所以在每個(gè)周期上恰好有

20、兩個(gè)零點(diǎn)，若11(k Z)12g(x)在0,b上有10個(gè)零點(diǎn),10分則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可,b的最小值為417、解(I)設(shè)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座為事件11591212A,12分則 P(A)1221(1 2)(1 3)(13)w(II )的可能值得為0, 1, 2, 3,p(p(0) (1 1)4(1 2) 23482 121 22C4 ()(1 二)(1 -) 2232)p(3)p(4)P(C；d)3(124 1 4C：(-)4(125)(1)42p(1)C412(1c4(1抑 2) C42 (1)(13)23C432)3) 2233316124012345P1-7

21、-314882431624所以隨機(jī)變量 的分布列如下:一1171故 E 012 3488243416124答：數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講座在周一、周三、周五都不滿座的概率為數(shù)的數(shù)學(xué)期望為812分318.解：(I)證明：因?yàn)锳D/ BC ,BCBD2AD 2AB 272 , Tab1 Ad7 2, dbcAB BCADB 45CD2)3 (11)4 7241310分8311811分2 (2 衣)2 2 2 272 cos45o 2 ,2 分周三各輔導(dǎo)講座滿座的科目1分&AD AB 、23分.2_2_2_ BD AC BC ,所以 CD BD因?yàn)槠矫鍭BD 平面BCD,平面ABD I平面BCD BD ,所

22、以CD 平面ABD又AB 平面ABD ,所以CD AB4分. 5 分.(II )解法1：因?yàn)镃D 平面ABD ,所以CD BD .以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DB所在的 直線為x軸，DC所在直線為y軸，過點(diǎn)D作垂直平面BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D xyz ,如圖.由已知, uuurM (1,1,0).所以 CD (0, 2,0)ACD的法向量為n (x, y,z),得uuur ,ADuuur 則CDA(1,0,1)B(2,0,0)1,0,0,1)uuurAD得平面ACD的一個(gè)法向量為n(1,0,所以點(diǎn)M到平面ACD的距離為1) uuuu MC | uuuu|MC |解法2：由已知條件可得 AB

23、AD , ABAD由(I)知CD 平面ABD,即CD為三棱錐C又CD1 2 , 所以 Vc ABD S ABD CD3由CD平面ABD得到CD則VbACD11-(-2 ,2)h32AD ,設(shè)點(diǎn)-2h3umu MC0,C(0,2,0) , D(0,0,0),1,1,0).7分.設(shè)平面所以22,所以ABD的高,2y 0,令 x 1, x z 0.10分.ABD7分.3C到平面ADC的距離為8分.1 AB2所以-2h33,h衣9分.因?yàn)辄c(diǎn)M為線段BC中點(diǎn)，所以點(diǎn) M到平面解法3：因?yàn)辄c(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)ACD的距離為10分.2M到平面ACD的距離等于點(diǎn)C到平面ACD的距離的6分由已知條件可得

24、AB AD ,由(I )知 CDADI DC D所以AB 平面所以點(diǎn)B到平面ACD的距離等于線段 AB的長(zhǎng).因?yàn)锳B應(yīng),所以點(diǎn)M到平面ACD的距離等于 10分(III uur 設(shè)BN uuur AN (12)假設(shè)在線段上存在點(diǎn)N ,使得AN與平面ACD所成角為60o11uuuBC , 02 ,2 , 1).1, N(a,b,c),則(a 2,b,c)( 2,2,0),所以 N(2 212分分.,2 ,0),又平面ACD的一個(gè)法向量為所以sin 60ouuur n±, |AN| |n|n (1,0, 1),且直線AN與平面ACD所成的角為60°,即(1 2可得8 2 21 ,

25、1 0,解得一或4|1 21|)2 (2 )2 ( 1)221 人一(舍去).13分綜上所述，在線段 BC上是否存在點(diǎn)2N ,使得AN與平面ACD所成角為60°,此時(shí)BN 1.BC 419.解：(1)由題設(shè)知,2A a_,0a2 2uur由OF1uuir2AF10,得 a2 2解得a2所以橢圓M的方程為2 x M : 6(2)方法1:設(shè)圓N : x2則 PE PFLUUTNFULUI2 NPNEuuuNPULUT2 NFNP IUUUTNF UUU 2 NP1的圓心為N ,NF NP 5分uutNP6分1 .7分從而求PE PF的最大值轉(zhuǎn)化為求2NP的最大值.8分因?yàn)镻是橢圓M上的任

26、意一點(diǎn)，設(shè)P X0, y(o ,22所以十*1，即'2610分22因?yàn)辄c(diǎn)N 0,2，所以NPX0因?yàn)閥0V2J2 ,所以當(dāng)y4242 一y。22 y0 112.21時(shí)，NP取得最大值12.所以PE PF的最大值為11 . 11分13分14分方法 2：設(shè)點(diǎn) E(X1,y1), F(X2,y2), P(X0,y°),因?yàn)镋,F的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),所以 2" 5分丫2 4 y1. uuu uur所以 PE PF (X1X0)(X2X0)(y1y0)(y2y0) 6分(X1X0)( X1X0)(y1y0)(4y1 y0)2222X0 X1 y0 y1 4y4 y022,

27、 22、八X0 y0 4y0 (X1y1 4y1) . 8分2222因?yàn)辄c(diǎn)E在圓N上，所以X1 (y1 2)1,即X1yI 4y3 .9分22因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓M上，所以出 近 1,即X； 6 3y：. 10分62UUU UUUT 22所以 PE PF 2y0 4y° 92(y° 1) 11 . 12 分_uuu uuir因?yàn)閥0 J2,J2,所以當(dāng)y01時(shí)，PE PFmin11 14分方法3：若直線EF的斜率存在，設(shè) EF的方程為y kx 2 , 5分y kx 21由 22 ，解得X °. 6分X2 (y 2)2 1.,k2 12因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P x

28、0 y0 ，所以x-622x06 3y0 7 分uuu 所以PEkuinuxo, , 92 yo ，PFk2 1=洵=k2 1k2 12 yo若直線EF的斜率不存在，此時(shí) EF的方程為x o,x o-八由。o ，解得y 1或y 3.不妨設(shè)，E o,3 , F o,1 .12分x2 (y 2)2 122因?yàn)镻是橢圓M上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Pxo,yo，所以漢 江 1,即xo2 6 3yo2.a"2o.解：(1)因?yàn)閚 12a：anan1,即(an1an)(2anan 1) o又an o,所以有2an an 1 o,即2an 列.2分由 a2 a2a3 4 得 2a1 8a8a1從而，數(shù)列 a

29、n的通項(xiàng)公式為an 2n (nan 1所以數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)4，解得a12。3分N ) o 4分(2)bnnan(2n 1) 2n2m4 m2 4m 1n2n 1n6n 3,若b1,bm,bn成等比數(shù)列，則2.由1m4m 4m 1n6n所以2m2 4m 1 o,解得：1 2-,可得 31行Io2m .21 . n .) 一(),2m 13 2n 12,.2m 4m 12,m2(y。1)2 11.9 分所以 PE PF x0 4(2 yo)2 其 xo2(2 y。)2 1k 1k 1因?yàn)閥o近, &，所以當(dāng)yo1時(shí)，PE PF取得最大值11. 11分62uunuuu所以 PExo

30、,3 y° , PFx°,1 y° uu uurc所以 PE PF xo2 y°2 4y° 32(y° 1)2 11.因?yàn)閥o亞, J2 ,所以當(dāng)yo 1時(shí)，PE PF取得最大值11. 13分綜上可知，PE PF的最大值為11. 14分又m N ,且m故當(dāng)且僅當(dāng)m 21,所以m 2,此時(shí)n 12.(3) Cn(n 1)2 1n(n 1)2n 212.使得b1,bm,bn成等比數(shù)列。n2 2n 21 n2 nn(n 1) 2n 12 n(n1)2n 1n(nn 21) 2n 1Sn12n 1()1(n 1)2n 1)1 (2 12J)_ _ n 12 2 (n 1) 210分3-23)(力(n 1)2n1