陜西師范大學量子力學題庫2

1、1. 十九世紀末期，物理學理論在當時看來已經(jīng)發(fā)展到相當完善的階段，形成了 三門經(jīng)典學科。這三門經(jīng)典學科分別是 ,2. 按經(jīng)典的物質(zhì)概念，物質(zhì)可以分為兩類，一類是，另一類是3. 二十世紀初，經(jīng)典物理學遇到了無法克服的困難。這些困難分別是，及4. 經(jīng)典物理中，對實物的運動采用來描述，實物的運動遵守。5. 經(jīng)典物理中，對輻射場的運動采用來描述，輻射場的變化遵守06. 在經(jīng)典概念下，實物的基本特性是和7. 在經(jīng)典概念下，輻射場的基本特性是和8. 在經(jīng)典概念，粒子性是指和.9. 在經(jīng)典概念，波動性是指和.10. 在經(jīng)典概念，波動性和粒子性 （填是否可以）統(tǒng)一于同一物質(zhì)客體11. 光的波動性的理論基礎(chǔ)是.

2、12. 光的波動性的實驗證據(jù)是.13. 光的粒子性的實驗證據(jù)是，14. 光的粒子性的理論依據(jù)是，.15. 微粒的粒子性是指微觀粒子的，即以及16. 微粒的波動性是指.17. 微粒的粒子性的實驗證據(jù)是.18. 按照愛因斯坦光子假設(shè)，光子的能量 E和動量P與光波的頻率v和波 長入的關(guān)系為E ，P .19. 按照德布洛依假設(shè)，能量為E、動量為P的自由粒子其相應的物質(zhì)波的波長入=，頻率v =.20. 自由粒子的動能為E,速度遠小于光速，則德布羅依波長入=21. 電子被電勢差V （伏）加速，則德布羅依波長入=.22. 按照德布洛依假設(shè)，粒子的能量 E、動量P與相應的物質(zhì)波的頻率v, 波長入的關(guān)系是，.2

3、3. 歷史上第一個肯定光除了波動性之外還具有粒子性的科學家是24. 歷史上第一次用實驗證明實物具有波動性的科學家是25. 能量為E,動量為P的自由粒子的平面波的表達式是26. 玻爾的氫原子理論包含三條假設(shè)，分別是，27. 索末菲對玻爾的軌道量子化條件推廣為.28. 玻爾的頻率條件表示為.29. 任何態(tài)函數(shù)用動量本征函數(shù)展開的表達式為30. 任何態(tài)函數(shù)在動量表象中的表達式為31. 波函數(shù)是指.32. 按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只決定于33. 微觀粒子的量子狀態(tài)最顯著的特點是.34. 波函數(shù)乘一個常因子，所描的狀態(tài)（填是否改變）35. 量子力學第一條基本假設(shè)是36. 波函數(shù)的統(tǒng)

4、計解釋是37. 物質(zhì)波與經(jīng)典波的重要區(qū)別有兩點，其一是,其二是.38. 波函數(shù)的歸一化條件是.39. 體系的狀態(tài)用 x, y, z,t 則粒子在t時刻在點（x,y,z ）周圍體元dT內(nèi)出現(xiàn)的幾率是40. 非平方可積的波函數(shù)可以歸一化為，也可以用箱歸一化方法歸一化為41.自由粒子的本征函數(shù)Aeip r若歸一化為S函數(shù)，則A=42.自由粒子的本征函數(shù)Aei一 P r若歸一化為1,則A=43.自由粒子的本征函數(shù)Aei一 P r若歸一化為S函數(shù)，則其動量是.44.自由粒子的本征函數(shù)Aei一 P r若歸一化為一，則動量取.，其值45. 量子態(tài)迭加的對象是，經(jīng)典態(tài)迭加對象是46. 經(jīng)典態(tài)迭加的結(jié)果是 （填

5、可以或不可以）出現(xiàn)各點強度為零的狀態(tài).47. 量子態(tài)迭加的結(jié)果是 （填可以或不可以）出現(xiàn)各點強度為零的狀態(tài)。cn n與48. 在量子態(tài)迭加原理中n , 與n的主要區(qū)別是49. 電子在晶體表面衍射后的狀態(tài)r,t用平面波的迭加表示為50. 在經(jīng)典力學中，質(zhì)點的狀態(tài)用，在確定狀態(tài)中各力學量是.51. 在量子力學中，粒子的狀態(tài)用,在確定狀態(tài)中,粒子的各力學量是.52. 在經(jīng)典力學中，質(zhì)點的運動遵守，但量子力學中，量子態(tài)的變化遵守.53. 薛定格方程必須滿足的兩個條件是，54. 粒子在力場U r中運動，則粒子的薛定格方程為55. 自由粒子的薛定格方程為.56. 粒子在勢場U （r,t ）中運動，則薛定格

6、方程為2i T-57.能量算符t和2U r等價的條件是58. 哈密頓算符的一般形式是.59. 哈密頓算符顯含時間時薛定格方程只能寫成60. 哈密頓算符顯不含時間時薛定格方程可以寫成填空題答案1. 經(jīng)典力學,經(jīng)典電磁學（含電動力學），經(jīng)典熱力學和統(tǒng)計物理。2. 實物、輻射場。3. 黑體輻射，光電效應，原子的光譜線系及固體在低溫下的比熱。4. 坐標和動量、牛頓運動定律。5. 電場強度和磁場強度，麥克斯威爾方程組。6. 內(nèi)稟性質(zhì)的可分割性，運動規(guī)律的非迭加性。7. 內(nèi)稟性質(zhì)的不可分割性，運動規(guī)律的迭加性。8. 內(nèi)稟性質(zhì)的可分割性，運動規(guī)律的非迭加性.9. 內(nèi)稟性質(zhì)的不可分割性，運動規(guī)律的迭加性。10

7、. 不可能.11. 光的電磁理論.12. 光的干涉和光的衍射.13. 黑體輻射，光電效應，康普頓效應.14. 普朗克的能量子假設(shè)，愛因斯坦的光量子假設(shè).15. 原子性或顆粒性，內(nèi)稟性質(zhì)的不可分割性和力學量的不連續(xù)性。16. 與粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波的迭加性.17. 電子在晶體表面的衍射。hn18. h v，19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.h12.25hnE=h v, P =愛因斯坦.戴維遜和革末.Ae定態(tài)假設(shè)，頻率條件，軌道量子化條件.pdq nhEnEmr,t c p,t p r dpxdpydpzc p,t31表示描寫微觀粒子的波的函數(shù).波函數(shù)在空間各點

8、的相對強度.狀態(tài)確定后體系的各種力學量不一定完全確定.并不改變.微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描寫.波函數(shù)在空間某一點的強度與粒子在該點出現(xiàn)的幾率成正比。物質(zhì)波不是可測量的物理量的空間分布隨時間的變化， 物質(zhì)波具有一個 常因子的不確定性。x, y, z,t d 1dW x, y,z,t Cx,y,z,t d函數(shù)，1.32 23L 2可以取連續(xù)值p分立值，2 m .»L ,i x,y,z態(tài)函數(shù)，場量即電場強度或磁場強度.可以.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.不可以.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.

9、59.60.r,tcP p r,tn波函數(shù)來描寫不一定唯一確定牛頓運動方程，薛定格方程。方程是線性的，方程的系數(shù)不應包含狀態(tài)參量。用坐標和動量來描寫唯一確定的222. 2 it 2r,t_H? t體系處于定態(tài).勢場U不顯含時間.在 態(tài)的強度中必定有n產(chǎn)生的干涉項.庫n .第一類：簡要回答問題1. 19世紀末期，物理學的發(fā)展取得了哪些成就？遇到了哪些困難？2. 試概括闡述經(jīng)典物理關(guān)于物質(zhì)的概念和物質(zhì)運動的描述。3. 經(jīng)典概念下，實物具有怎樣的共同性質(zhì)？試述經(jīng)典概念下的粒子性。4經(jīng)典概念下，輻射場具有怎樣的共同性質(zhì)？試述經(jīng)典概念下的波動性。5. 經(jīng)典物理關(guān)于物質(zhì)性質(zhì)的描述具有怎樣的特點？6. 怎樣

10、正確理解光的波粒二象性？7. 怎樣正確理解微觀粒子的波粒二象性？8. 在微觀領(lǐng)域內(nèi)，物質(zhì)是具有二象性的，試述你對光的粒子性的理解。9. 在微觀領(lǐng)域內(nèi)，物質(zhì)是具有二象性的，試述你對實物粒子波動性的理解。10. 試比較微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別。1. 十九世紀未期，物理學理論既取得了輝煌的成就，又遇到了無法克服的困難。具體從以下幾個方面可以看出。方面，當時一般的物理現(xiàn)象都可以從相應的理論中得到說明：物體的機械運動在速度遠小于光速時，準確地遵守牛頓力學的規(guī)律，以牛頓運動三定律為基礎(chǔ)的力學和聲學構(gòu)成（光的電磁理論）統(tǒng)一歸結(jié)為麥克斯韋熱現(xiàn)象的基本規(guī)律以及由大量分子 以上，就是十九世紀未期物理學發(fā) 對科學實

11、驗不斷提出新的要求，促了經(jīng)典力學；電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律和光的波動理論 爾方程組，由電磁學和電動力學共同構(gòu)成經(jīng)典電磁學； 構(gòu)成的系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)歸結(jié)為經(jīng)典熱力學和統(tǒng)計物理學。 展所取得的輝煌成就。另一方面，由生產(chǎn)力的巨大發(fā)展, 使科學實驗從一個發(fā)展階段進入到另一個新的發(fā)展階段。就在經(jīng)典物理取得輝煌成就的同 時，人們發(fā)現(xiàn)了一些新的物現(xiàn)象： 黑體輻射問題。這個問題研究的是輻射與周圍物體處于平衡狀態(tài)時的能量按波長（或 頻率）的分布規(guī)律。實驗得出的結(jié)論是： 熱平衡時輻射能量密度按波長分布的曲線，其形狀 和位置只與黑體的絕對溫度有關(guān)，而與空腔的形狀及組成的物質(zhì)無關(guān)。這一結(jié)果用經(jīng)典理論無法解釋。 光電效應。光照

12、射到金屬上時， 有電子從金屬中逸出。 實驗得出的光電效應的有關(guān)規(guī)律同 樣用經(jīng)典理論無法解釋。 原子的光譜線系。實驗發(fā)現(xiàn)，原子所發(fā)出的光其光譜為線狀光譜，且光譜分為若干線系。原子光譜這種性質(zhì)和特征，用經(jīng)典物理無法解釋。 原子的穩(wěn)定性。當時盧瑟福的原子核式結(jié)構(gòu)模型已提出并被學術(shù)界公認。按盧瑟福的原子核式結(jié)構(gòu)模型， 電子在核外繞核運轉(zhuǎn)。 但按照經(jīng)典電動力學， 加速運動的帶電粒子必然 產(chǎn)生輻射。這樣電子在繞核運動時必然不停地向外輻射能量，從而繞核運動的半徑r不斷減少，最后墜入原子核子中。因此按經(jīng)典物理學，原子是一個不定的粒子，最終都要蛻化為原子核。但事實上原子是相當穩(wěn)定的中性微粒。所以說經(jīng)典物理學不能

13、解釋原子的穩(wěn)定性。 固體在低溫下的比熱。實驗發(fā)現(xiàn)，由經(jīng)典的統(tǒng)計物理所給出的固體的定容比熱公式在室 溫附近及較高溫度很符合， 但在低溫時實驗數(shù)值較小， 而且實驗的比熱數(shù)值隨溫度降低得很 快。當溫度趨于絕對零度時比熱也趨于零。這種現(xiàn)象是經(jīng)典統(tǒng)計物理所無法解釋的。 除了上述事實外， 還有康普頓效應等其它一些現(xiàn)象也是經(jīng)典物理無法解釋的。 這些都是經(jīng)典 物理所遇到的困難。這些困難暴露了經(jīng)典物理局限性，為量子力學的建立提供了實驗依據(jù)。2. 在經(jīng)典物理中 , 關(guān)于物質(zhì)的存在形式其基本觀點是： 自然界的物質(zhì)分為兩類 . 一類是實物 , 另一類是場 , 即輻謝場 . 在經(jīng)典物理中這兩類物質(zhì)具有截然不同的性質(zhì),

14、它們遵守不同的運動規(guī)律 , 實物的運動遵守牛頓定律 , 輻射場的變化滿足麥克斯威爾方方程 . 對這兩種不同的物質(zhì) 經(jīng)典物理采用了兩種截然不同的描述方式。 對實物的運動狀態(tài)采用坐標、 動量等力學量來描 述, 對輻謝場的變化狀態(tài)采用場強度（如電場強度, 磁感應強度）或輻射的能量密度 , 能流密度等來描述 .3. 在經(jīng)典概念之下，實物所具有的共同性質(zhì)總的說來是粒子性，具體來說實物具有以下共性： 是由實際的原子、分子等構(gòu)成的 . 具有一定凝聚形態(tài)的物質(zhì)客體 , 如固體、液體、氣體， 等離子體等 . 都屬于實物的范疇 . 實物可以具有一定的質(zhì)量、 電荷等內(nèi)稟屬性 （即固有性質(zhì)） . 但這些內(nèi)稟屬性的一個

15、重要 特點是具有可分割性 . 即一切實物都可以任意分割開來，對其中的任何一小部分進行獨立研 究，而且不論其質(zhì)量大小 , 一律按牛頓運動定律運動 , 即使是分割為原子或分子 , 也只能按質(zhì) 點對待 , 遵守牛頓運動定律 . 一切實物都作軌道運動，與空間確定的軌道相聯(lián)系。 由于牛頓運動方程對物體的坐標和動量不是線性齊次的 , 因此 , 實物的運動不滿足迭加性 （在數(shù)學中 , 只有線性齊次方程的解具有疊加性） .粒子性：物理學中稱實物所具有的內(nèi)稟性質(zhì)的可分割性及運動規(guī)律的非迭加性為粒子性. 這里粒子性是經(jīng)典概念下的粒子牲，這種粒子性只有實物這類物質(zhì)才能夠具有。4. 在經(jīng)典概念之下，輻射場所具有的共同

16、性質(zhì)總的說來是波動性。具體來說輻射場具有 以下共性：輻射場是具有不可分割屬性 （如能量密度 ,能流密度 , 輻射場強度等都是不可分割的） 的物 質(zhì)客體 . 它并不是由原子，分子等實物粒子組成，也并不具有一定的凝聚形態(tài)，而是彌漫于 整個空問。如電磁場（電磁波）就是典型的輻射場 . 而光又是具有一定頻率范圍的電磁波 , 也是具有代表性的輻射場 . 這種不可分割屬性不僅是指場本身不可能分割成各個部分進行研 究、而且是指描述場的各種物理量 ,如場的強度 ,能量密度 , 能流密度等也是無法分割的 . 任何一個輻射場 ,只能整體地進行研究 , 并且無論強度高低 , 一律按麥克斯威爾方程組進行 變化.由于麥

17、克斯威爾方程組對于電場強度和磁場強度是線性齊次的 , 因而輻謝場具有疊加性 .在經(jīng)典物波動性：物理學中稱輻射場所具有的不可分割屬性和運動規(guī)律的疊加性為波動性 理中波動性是輻射場特有的性質(zhì)。5. 在經(jīng)典物理中，輻射場是具有波動性的物質(zhì)，實物則是具有粒子性的物質(zhì)這種波動性和 粒子性不可能統(tǒng)一于同一種物質(zhì)客體上反過來也可以這樣說,在經(jīng)典慨念下，任何一種物質(zhì)不可能同時具有波動性和粒子性。6, 光的波粒二象性：光既具有波動性，又具有粒子性，因此光具波動和粒子雙重性質(zhì)，這 種性質(zhì)稱為光的波粒二象性。因此，所謂光的波粒二象性， 就是指光同時具有波動性和粒子性。光的波動性：光的電磁理論闡明，光是某一特定頻率范

18、圍的電磁波，具有波的一切性質(zhì)，遵守波的迭加性。因此光的電磁學說是光的波動性的理論依據(jù)。光的干涉，衍射等現(xiàn)象從實驗上證明了光的波動性。光的粒子性：普朗克的能量子假設(shè)和愛因斯坦的光量子假設(shè)從理論上揭示了光的粒子性（微粒性），黑體輻射、光電效應、康普頓效應等從實驗上證明了光的粒子性。光在與物質(zhì)相互作用過程中能量和動量的交換表現(xiàn)不連續(xù)性或顆粒性，出因此光除了波動性以外，又具有了粒子性。光的波粒二象性： 光同時具有波動性和粒子性， 光的這兩種性質(zhì)統(tǒng)一于光子這一物質(zhì)客體， 通過愛因斯坦關(guān)系式聯(lián)系起來。左邊的能量E和動量P表示出光的粒子性的一面。 右邊的頻率和波長表現(xiàn)出光的波動性的一面。E h，p h n

19、hnkc必須說明的是：光具有波粒二象性是量子力學同經(jīng)典物理學的重要區(qū)別，因為在經(jīng)典物理中, 光只有波動性，不會有粒子性。7微觀粒子波粒二象性是指微觀粒子同時具有波動性和粒子性。這種波動性和粒子性，既不同于經(jīng)典波的性質(zhì)，又不同于經(jīng)典粒子的性質(zhì)。微觀粒子的粒子性是指微觀粒子的原子性或顆粒性。具體可以作如下理解：微觀粒子總是以具有確定的質(zhì)量，電荷等內(nèi)稟屬性的物質(zhì)客體在實驗中出現(xiàn)，但這種內(nèi)稟屬性在一定條件下以一種不可再分割的（注意經(jīng)典粒子的內(nèi)稟屬性是可分割的）顆粒形式表現(xiàn)出來。如質(zhì)子、 電子，它們各自都有確切的質(zhì)量、電荷。但它們的質(zhì)量、電荷卻不能再分割，其量值是固定 不變的。若再分割，則不是原來的質(zhì)子

20、、電子了。且微觀粒子的運動并不遵守牛頓定律，并不與“有確切的運動軌道”的經(jīng)典概念有什么必然聯(lián)系。微觀粒子的波動性是指微觀粒子的運動規(guī)律表現(xiàn)為波動性中最本質(zhì)的東西波的迭加性。與微觀粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波，并不代表某種實際物理量的波動，而只是描述粒子在空間出現(xiàn)的幾率分布的幾率波。所以微觀粒子的波動性即是“幾率波”的迭加性。這種波動性并不與實際可測量的真實波動有任何必然聯(lián)系。微觀粒子的波動性與粒子性的聯(lián)系同光的波動性與粒子性的關(guān)系一致。具有確定的能量E和動量P的粒子其相應的物質(zhì)波的頻率和波長是上兩式左邊是微觀粒子的能量和動量，它們代表微觀粒子的粒子性；右邊是粒子的相應物質(zhì)波的波長和頻率。兩種性質(zhì)通過德布

21、羅意關(guān)系式聯(lián)系起來。微觀粒子波動性的認識過程是首先由德布羅意在1924年提出物質(zhì)波假設(shè)，即實物客體也應該具有波動性。后于1927年由戴維遜和革末用電子衍射實驗所證明。以后陸續(xù)有原子衍射，中子衍射等，證明了實物粒子的波動性。從此，微觀粒子的波粒二象性就被完全確定下來了。8.光的波動性有大量的實驗事實如干涉，衍射和光的電磁理論的支持，是早被人們所認識到的。但是直至十九世紀末， 人們發(fā)現(xiàn)的黑體輻射， 光電效應等現(xiàn)象卻揭示出把光看作 波動的局限性。這就提示我們，光除了波動性的一面外， 還應該具有粒子性的一面。人們對 光的粒子性是通過對黑體輻射，光電效應等現(xiàn)象的研究中逐步地認識和掌握的。光的粒子性，其主

22、要的實驗證據(jù)有三：黑體輻射，光電效應，康普頓效應.在這實驗中所表現(xiàn)出的實驗規(guī)律，用經(jīng)典理論無法解釋。為了解釋黑體輻射的實驗規(guī)律，普朗克提出了能量子假說：黑體以hv為能量單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為v的輻射，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)地發(fā)射和吸收輻射能 量。能量單位hv稱為能量子，h是普朗克常數(shù)?；谶@一假定，普朗克推得了與實驗結(jié)果 符合很好的黑體輻射公式。黑體輻射問題的成功解釋說明電磁輻射（光）的能量是量子化的,是不連續(xù)的。這就是光的粒子性的一種表現(xiàn)。因此，黑體輻射是光的粒子性的實驗證據(jù)之一，而普朗克的量子假設(shè)就成為光的粒子性的理論基礎(chǔ)之一。為了解釋光電效應現(xiàn)象， 愛因斯坦提出了如下

23、的光量子假設(shè)：電磁輻射不僅在被發(fā)射和吸收時以能量為hv的微粒形出現(xiàn)，而且以這種形式以速度C在空間運動。這種能量為hv的微粒稱為光量子，簡稱光子。按照愛因斯坦假設(shè)，光是由光子組成，發(fā)射和吸收的是光子，在空間傳播的也是光子。因此光是粒子，是具有粒子性的。這樣，愛因斯坦就成為第一個完全肯定光除了具有波動性之外還具有粒子性的科學家。 光子學說成為光的粒子性的主要理論依 據(jù)，光電效應成為光的粒子性的重要實驗證據(jù)。康普頓以愛因斯坦的光子理論為依據(jù)，成功解釋了康普頓效應，既證明了光子的存在，也證明了光是具有粒子性的客體。光子是光的波動性和粒子性的統(tǒng)一體。光子的能量和動量是：E h9微觀粒子的波動性 ：是指微

24、觀粒子的運動規(guī)律表現(xiàn)為波動性中最本質(zhì)的東西波的迭加性。而與微觀粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波， 并不代表某種實際物理量的波動， 而只是描述粒子 在空間出現(xiàn)的幾率分布的幾率波。所以微觀粒子的波動性即是“幾率波”的迭加性。這種波動性并不與實際可測量的真實波動有任何必然聯(lián)系。微觀粒子的波動性與粒子性的聯(lián)系：同光的波動性與粒子性的關(guān)系一樣，具有確定的能量E和動量P的粒子其相應的物質(zhì)波的頻率和波長是hn上兩式左邊是微觀粒子的能量和動量，它們代表微觀粒子的粒子性；右邊是粒子的相應物質(zhì)波的波長和頻率，是描述微觀粒子波動性的。兩種性質(zhì)通過德布羅意關(guān)系式聯(lián)系起來。微觀粒子波動性的認識過程是首先由德布羅意在1924年提出物質(zhì)

25、波假設(shè)，即實物客體也應該具有波動性。后于1927年由戴維遜和革末用電子衍射實驗所證明。此后，陸續(xù)有中子衍射，原子衍射等，證明了實物粒子的波動性。從此，微觀粒子的波動性就被完全確定下來了。10.首先從概念上予以區(qū)分：經(jīng)典粒子：是指具有經(jīng)典概念下的粒子性，可以抽象成質(zhì)點的實物客體。即經(jīng)典粒子可以具有確定的質(zhì)量、電荷等內(nèi)稟性質(zhì)，但這些性質(zhì)都具有可分割性；其運動規(guī)律遵守牛頓運動定律，在空間必然存在確定的軌道?；蛘呖梢院唵蔚卣f：經(jīng)典粒子等價于實物，但其線度以可 以抽象為質(zhì)點為條件。經(jīng)典粒子都作軌道運動。微觀粒子：是指具有波粒二象性的物質(zhì)客體。如分子、原子、質(zhì)子、中子、電子等，線度在 原子尺度以下的實物客

26、體。它們也可以象經(jīng)典粒子一樣具有確定的質(zhì)量，電荷等內(nèi)稟屬性。但它們的這些內(nèi)稟屬性在一定條件下具有不可分割性。這就是微觀粒子的“粒子性”，顯然它不同于經(jīng)典粒子性。另外，微觀粒子除了粒子性外，還具有波動性，它與一定的物質(zhì)波相聯(lián)系，遵這物質(zhì)波的迭加性。 因此，微觀粒子與經(jīng)典粒子的主要區(qū)別是微觀粒子具有波粒二 象性，而經(jīng)典粒子只具有經(jīng)典概念下的粒子性。當然微觀粒子的粒子性既不同于經(jīng)典的粒子性，微觀粒子的波動性也不同于經(jīng)典的波動性。再從狀態(tài)描述方式上區(qū)別： 經(jīng)典粒子的狀態(tài)用坐標， 動量等力學量來描述，在確定的狀態(tài)下， 體系的各種力學量都有確定值。 但微觀粒子由于具有波粒二象性， 它的狀態(tài)要用波函數(shù)來描

27、寫。而且在給定的狀態(tài)下，粒子的各種力學性質(zhì)一般并不是惟一確定。庫n .第二類：證明題41. 證明在定態(tài)下iEtr ,t r e幾率流密度矢量與時間無關(guān)。丄42. 證明在定態(tài)下，一維線諧振子在 x>0的區(qū)域的幾率等于2 .43. 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U (-x) =U (x).證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。44. 證明：厄米算符的本征值為實數(shù)。45. 證明：動量算符是厄米算符。46. 證明：當氫原子處于基態(tài)時，電子與核的距離為r a°處幾率最大。47. 證明：如果兩算符有構(gòu)成完全系的本征函數(shù)系，則兩算符對易。48. 證明：如果兩算符對易，則兩算符有構(gòu)成完

28、全系的本征函數(shù)完全系。49. 證明對易關(guān)系I?2，G? F?F?,G? 冃&戸5°.利用對易關(guān)系 ？，' F?F?，G? F?，G?F?，證明角動量算符，與?x,?y,?z均對易。證明題答案41.證:J幾率流密度矢量r,tiEte注意到算符丄Et與時間無關(guān),顯然J不含時間，故有則有dJdt42證：線諧振子的定態(tài)波函數(shù)為W則在全空間出現(xiàn)的總幾率為考慮到nN；e丄Et e丄Et丄Etr e 證畢。1Nne?x2HnX n X dX 11 2X22X NneHn X是實函數(shù),nXnX dXWx43.證:維勢場U則定態(tài)薛定格方程為:H x 竺 U X dx上式兩邊作反演，以-

29、X代替x則有,dx2由于哈密頓反演不變d2dx2所以方程變d2d? UN：e則哈密頓為2 2x Hnx dxx dxx dxd2dx2d2dx2與比較知，x ， x 都是體系的薛定格方程的定態(tài)波函數(shù)，對應于同一 定態(tài)能量。按波函數(shù)的性質(zhì)它們相差一個常數(shù)將代入代右邊 得H?x E x將兩邊作反演得H? x E x將代入代右邊得2121當 1時，有XX. 波函數(shù)具有奇宇稱。當 1 時，有X X. 波函數(shù)具有偶宇稱。證畢。44. 證： 設(shè) F? 為厄米算符，是對應于本征值入的本征函數(shù)，則有F?按厄米算符的定義，有F? dF?d其中是任意函數(shù)，取=，則有F d1?d利用則有dd變形為d0所以，有0即本

30、征值為實數(shù)。證畢45.證：對動量算符的一個分量P，有P?x dx i一 dxxii dx P dxx證畢46.證:電子在半徑r到葉dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率是Wni r dr R： r r2dr所以電子在距核的距離為2r處的幾率密度是WnlrRnl2 r r132丄Rio r2e ao對基態(tài)ao132rWg r4r 2eao則幾率密度為ao134 2re2r2rao2aoo r e o2上式求導得Wo raoao3 2r1 瓦彳18 e r 1 ra°a。令W1O ro,得1O2ao4W1O max經(jīng)判定知r-O時幾率密度有極小值零，r - a。時有極大值.a°e47.證：

31、 設(shè)F?，C?有共同本征函數(shù)系n構(gòu)成完全系，則有F?n，n分別是F?，C?的本征值。所從，有設(shè) 為任意波函數(shù)，由于 n組成完全系，我們可以將 按n展開, an nn于是有F?G? G?F? nan F?G? G?F? n 0n因為 是任意波函數(shù)，所以F?G? G?F? 0即定理得證。48. 證：設(shè)n對易，F(xiàn)?的本征函數(shù)系n構(gòu)成完全系。F，G對易，二有F?G? G?F? ；?nG?F?nG?F?G?nG?n是F?的本征函數(shù)n相應的本征值F?G?比, 知，G n，n都是F的本征函數(shù)，且屬于同一本征值n 。按照波函數(shù)的性質(zhì) G? n, n只相差一個常因子，設(shè)該因子為 n ，則有G? nnn正是算符G

32、的本征方程，n正好是（G的本征函數(shù)，相應的本征值正好是n由此知 n 是 F?,G? 的共同本征函數(shù)。定理得證。49. 證：F?2,G?F?2G? G?F?2 F?F?G? G?F?F?F?F?G? F?G?F? F?G?F? G?F?F?F? F?G? G?F? F?G? G?F? F?F? F?, G?F?, G? F?證畢。50. 證： 以 L?x 為例，有L?2 , L?xL?2xL?2yL2z , L?xy z xL?2y , L?xyxL?2z , L?xL?y L?y , L?xL?y , L?x L?yL?zL?z , L?xL?z , L?x L?zi L?y L?zi L?z

33、L?y i L?zL?yi L?y L?z庫n .第三類：綜合計算題71. 粒子處于n=2的定態(tài)，試求粒子在無限深勢阱中幾率密度最大的的位置.72. 諧振子相鄰兩能級之差E 1eV，求出振動頻率3及釋放光子的波長入.73. 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。1 丄 P Et74.驗證：各向同性的球面波r,t Ae滿足自由粒子的薛定格方程.r75.求球面波1- P r Etr,t A e的幾率密度和幾率流密度r76. 一維諧振子處于力場U x77. 一維諧振子處在基態(tài) X78. 氫原子處于基態(tài)r,1 2 2 2x2 Cx式中c為常數(shù)，求定態(tài)能級和波函數(shù)。212t求勢能的平均值2x2。7

34、9.設(shè)t=0時，體系的狀態(tài)為ra0求動能的平均值。X A sin2kx -coskx，求體系的平均動量和平均動280.在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)x Ax a x描寫，A為歸一化常數(shù)，求能量的幾率分布和能量平均值。71.解：當n=2時，幾率密度二一$血 一= sin 一a a<T a=sin COS =0dr a a a所以有值。x=±二時，吧 有極大值。且極大值為1 . 3 7W sm .另外，從W;=-可直a接觀察出X=±二時，“；有極大值.72.解：根據(jù)E 1.6 10 39 J34 J s1.0510又因為光子波長c c2n代入數(shù)據(jù)可得入=12.37 X 一 丿 米=1237073.解：一維諧振子的第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)是1N1e 22x2H1 x，其中H122 x,N所以,1N1e 22x2H11xe22x2則諧振子處于第一激發(fā)態(tài)時的幾密度為2x2對幾率密度求導，并令導數(shù)等于零,2x2 2xe 2x2,經(jīng)判定知:時,W有極小值,乃=±空,w有極大值,2d；74.解：直接代入方程運算，自由粒子的薛定格方程是2 r,t 12rr sinsin1 12；2r sin由于波函數(shù)與r的項。r,t2A1e'PrrEt12r r-Ae' r rEt由于-