共焦腔中基模的光斑尺寸

1、20091激光原理20092方形球面鏡共焦腔的行波場 LzyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200共焦腔場的解析式：共焦腔場的解析式： ：共焦腔的腔長：共焦腔的腔長 ：鏡的焦距：鏡的焦距 2/Lf 知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分可以求基爾霍夫衍射積分可以求出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布，在鏡面上的場能用厄米出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布，在鏡面上的場能用厄米高斯函高斯函數(shù)描述的條件下：數(shù)描述的條件下：20093方形球面鏡共焦腔的行波場方形球面鏡共焦腔的行波場 11

2、arctanyxr2/LfzLz2)2/L(z)2)(1nm(f2r1k)1 (kfz, y, xfz1wfz12w12Lzw222022202s0220094方形鏡共焦腔的行波場1 ：振幅衰減因子)(0zww2 ：行波場橫向振幅分布因子)(exp)(2)(222zwryzwHxzwHnm3 ：位相因子，決定了共焦腔的位相分布zyxi,expTEMmnTEMmn模在腔內(nèi)或腔外任意點(diǎn)模在腔內(nèi)或腔外任意點(diǎn)(x,y,z) (x,y,z) 處的電場強(qiáng)度：處的電場強(qiáng)度：zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200)2)(1(21)1 (,2

3、2nmfrkkfzyx20095振幅分布和光斑尺寸 共焦場的振幅分布為：共焦場的振幅分布為：)(exp)(2)(2)(,22200zwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn zwyxzwwEAzyxE222000000exp,對(duì)基模：對(duì)基模： 2020112fzwfzwzws基模光斑尺寸基模光斑尺寸( (場振幅衰減到中心最大值的場振幅衰減到中心最大值的1/e1/e處對(duì)應(yīng)的橫向距離處對(duì)應(yīng)的橫向距離) ) ： Lwfwzws0在共焦鏡面上：在共焦鏡面上： fww00基模高斯光束的束腰半徑基模高斯光束的束腰半徑 ：20096振幅分布和光斑尺寸 122202fzwzw002wws共焦腔中，

4、基模光斑隨著坐標(biāo)按雙曲線規(guī)律變共焦腔中，基模光斑隨著坐標(biāo)按雙曲線規(guī)律變化：化：20097模體積2) 12)(12(21222LnmwwLVnsmsmn高階模模體積通常用下式估算：220002121LwLVs基模模體積通常用下式估算：模體積是指模式在腔內(nèi)空間擴(kuò)展的范圍。模體積越大，對(duì)該模有貢獻(xiàn)的激發(fā)態(tài)粒子數(shù)就越多，因而，也就可能獲得大的功率輸出。由于實(shí)際上光頻電磁場是存在于無限大的范圍之內(nèi)，但是又由于它的能量的絕大部分分布于中心附近，所以一般定義模體積是指光斑半徑以內(nèi)的那部分體積。對(duì)于基模，由于其光斑尺寸隨z變化，比較嚴(yán)格的計(jì)算應(yīng)該進(jìn)行積分運(yùn)算，但是通常用下式估算：20098模體積一般穩(wěn)定球面腔

5、的基模模體積可定義為：一般穩(wěn)定球面腔的基模模體積可定義為：22100)2(21sswwLV代入 ：21ssww 、對(duì)于一般穩(wěn)定球面腔，對(duì)于一般穩(wěn)定球面腔，TEMmn模體積可：模體積可：) 12)(12(00nmVVmn21221000212212000141)12(141)12(21ggggggVggggggwLVs20099等相位面的分布 旋轉(zhuǎn)拋物面方程L1L1zz2200220忽略附加相移因子，忽略附加相移因子， 在近軸情況下，在近軸情況下，z0z0點(diǎn)的等相位面方程為：點(diǎn)的等相位面方程為：020020/z2f2zL41f拋物面焦距：拋物面焦距：可以證明，在近軸情況下，共焦場的在z處的等相位

6、面近似為球面，其曲率半徑為：020020/zfzL21f2)z(R0, 0 , 0,zzyx與腔的軸線交于與腔的軸線交于z0z0點(diǎn)的等相位面方程可以寫成：點(diǎn)的等相位面方程可以寫成：200910等相位面的分布共焦腔的反射鏡面是共焦腔的反射鏡面是兩個(gè)等相位面兩個(gè)等相位面，與場，與場的兩個(gè)等相位面重合的兩個(gè)等相位面重合，且曲率半徑最小，且曲率半徑最小一般情況下，共焦腔一般情況下，共焦腔的等相面凹面向著腔的等相面凹面向著腔的中心的球面的中心的球面 腔中點(diǎn)或距腔中點(diǎn)無限腔中點(diǎn)或距腔中點(diǎn)無限遠(yuǎn)處，等相面為平面遠(yuǎn)處，等相面為平面)z(R0)z(R0當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，0zzLzR)(0當(dāng) 時(shí)，fz0)(2220

7、zRyxzz當(dāng) 時(shí)， 0z0)(zR當(dāng) 時(shí)，0)(zR0z00z00 zz0)(0zR00z00 zz0)(0zR200911等相位面的分布共焦腔等相位面的一個(gè)重要的性質(zhì)：共焦腔等相位面的一個(gè)重要的性質(zhì)： 若在等相位面處放置一個(gè)具有相應(yīng)曲率的反射鏡片，若在等相位面處放置一個(gè)具有相應(yīng)曲率的反射鏡片，不影響共焦腔的場分布。不影響共焦腔的場分布。共焦場等相面的分布共焦場等相面的分布 200912遠(yuǎn)場發(fā)散角 m638. 0radf3103 . 22例：例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, m6 .10rad3102 . 5 fwzfzwzzwzz22)(12li

8、m2lim020基模遠(yuǎn)場發(fā)散角：雙曲線兩根漸近線之間的夾角：基模遠(yuǎn)場發(fā)散角：雙曲線兩根漸近線之間的夾角：一般激光器的遠(yuǎn)場發(fā)散角都很小，約為一般激光器的遠(yuǎn)場發(fā)散角都很小，約為10103 3弧度，也就是表明激光具有很好的弧度，也就是表明激光具有很好的方向性。方向性。200913遠(yuǎn)場發(fā)散角不同的腰半徑的激光光束的遠(yuǎn)場發(fā)散角對(duì)比圖200914遠(yuǎn)場發(fā)散角高階橫模的光束發(fā)散角高階橫模的光束發(fā)散角 和和 可以通過基模的光斑和發(fā)散角求出來可以通過基模的光斑和發(fā)散角求出來：mn0n0m1n21m2為基模光束的發(fā)散角0200915圓形球面鏡共焦腔自再現(xiàn)模積分方程),(r：為鏡面上的極坐標(biāo)，為鏡面上的極坐標(biāo)，)(x

9、Llp：締合拉蓋爾多項(xiàng)式締合拉蓋爾多項(xiàng)式1)(0 xLlxlLl1)(1)2)(1 (21)2(21)(22llxxLl在近軸范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，圓形鏡共焦腔積分方程的本征在近軸范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，圓形鏡共焦腔積分方程的本征函數(shù)的近似解：函數(shù)的近似解：NllrLrLLrLCrElplplplsincos)exp()2()2(),(22200916圓形鏡對(duì)稱共焦腔鏡面光場分布2)12(explpiikLpl本征值的近似解：本征值的近似解：鏡面上對(duì)基模及高階模的場振幅分布：鏡面上對(duì)基模及高階模的場振幅分布：2s02wr0000ec), r (Ecosrew2c), r (E2s02wrs010102s02wr

10、s020101e )wr21 (c), r (Ecose )wr1 ( rw22c), r (E2s02wr2s02s01111Lws0200917圓形鏡對(duì)稱共焦腔鏡面模的振幅和相位分布 基模在鏡面上的振幅分布是高斯型的，基模在鏡面上的振幅分布是高斯型的，整個(gè)鏡面上沒有節(jié)線在鏡面中心處（整個(gè)鏡面上沒有節(jié)線在鏡面中心處（r=0） 處，振幅最大。處，振幅最大?；Ｔ阽R面上的光斑半徑基模在鏡面上的光斑半徑(當(dāng)基模振當(dāng)基模振幅下降到中心值的幅下降到中心值的1/e處與鏡面中心處與鏡面中心的距離的距離)：Lws02s02wr0000ec), r (E200918圓形鏡對(duì)稱共焦腔鏡面模的振幅和相位分布對(duì)于高

11、階模，在沿輻角方向有節(jié)線，數(shù)目為對(duì)于高階模，在沿輻角方向有節(jié)線，數(shù)目為p；沿半；沿半徑方向有節(jié)圓，節(jié)圓數(shù)為徑方向有節(jié)圓，節(jié)圓數(shù)為l；p、l增加，模的光斑半徑增大，增加，模的光斑半徑增大，并且光斑半徑隨著并且光斑半徑隨著l的增大比隨著的增大比隨著 p增大來的更快；增大來的更快；plTEM圓形共焦鏡面本身也是等相位面圓形共焦鏡面本身也是等相位面。高階模的光斑半徑：振幅降低至最外面的極大值的高階模的光斑半徑：振幅降低至最外面的極大值的1/e處處的點(diǎn)與鏡面中心的距離；的點(diǎn)與鏡面中心的距離；), r (Epl為實(shí)函數(shù)spllp0212200919圓形鏡共焦腔橫截面場強(qiáng)度分布-2-1012x-2-1012

12、y00.20.40.60.81-2-1012yTEM00200920-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM02圓形鏡共焦腔橫截面場強(qiáng)度分布200921圓形鏡共焦腔橫截面場強(qiáng)度分布 -2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM01200922單程相移和諧振頻率 12212lpqLCplq圓形鏡共焦腔模的諧振頻率為圓形鏡共焦腔模的諧振頻率為 : :LCqplqlqpp4211LCqplqqpll21LCplqplqq212) 12(21arg2kLlpplpl自再現(xiàn)模在腔內(nèi)一次渡越的總相移為自再現(xiàn)模在腔內(nèi)一次渡越的總

13、相移為 : :200923知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分可以基爾霍夫衍射積分可以求出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布。求出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布。圓形球面鏡共焦腔的行波場圓形鏡共焦腔的行波場分布與方形鏡完全類似，對(duì)圓形鏡共焦腔的行波場特性的分析可以按照方形鏡同樣的方法進(jìn)行。兩者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同。200924一般穩(wěn)定球面鏡腔一般球面鏡腔：一般球面鏡腔：由兩個(gè)曲率半徑不同的球面鏡按照任意間距組成的腔由兩個(gè)曲率半徑不同的球面鏡按照任意間距組成的腔一般穩(wěn)定球面鏡腔：一般穩(wěn)定球面鏡

14、腔：當(dāng)它們滿足條件當(dāng)它們滿足條件 時(shí)。時(shí)。一般穩(wěn)定球面鏡腔的模式理論：一般穩(wěn)定球面鏡腔的模式理論：可以從光腔的衍射積分方程出發(fā)嚴(yán)格建立，以共焦腔的模式理論為基礎(chǔ)，可以從光腔的衍射積分方程出發(fā)嚴(yán)格建立，以共焦腔的模式理論為基礎(chǔ)，等價(jià)共焦腔的方法等價(jià)共焦腔的方法1021gg200925一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性 共焦腔與穩(wěn)定球面腔的等價(jià)性 根據(jù)共焦腔模式理論：任何一個(gè)共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)；而任何一個(gè)穩(wěn)定球面鏡腔唯一地等價(jià)于一個(gè)共焦腔。一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價(jià)性:指它們具有相同的行波場 200926任一共焦腔與無窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià) 根據(jù)曲率半徑根據(jù)曲率半徑R R的符號(hào)規(guī)定：曲面凸

15、向的符號(hào)規(guī)定：曲面凸向z z軸正向?yàn)檎?，放置在軸正向?yàn)檎?，放置在c1c1、c2c2處處的反射鏡，由共焦腔中與腔的軸線相交于任意一點(diǎn)的反射鏡，由共焦腔中與腔的軸線相交于任意一點(diǎn)z z的等相位面的曲的等相位面的曲率半徑，則有：率半徑，則有：122222212111,)(,)(zzLzfzzRRzfzzRR221212111fzzzfRLg222212221fzzzfRLg1021gg對(duì)腔進(jìn)行穩(wěn)定性判斷：對(duì)腔進(jìn)行穩(wěn)定性判斷：即放置在c1、c2處的反射鏡構(gòu)成穩(wěn)定腔200927任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔1222221211,zzLzfzRzfzR穩(wěn)定球面腔和它的等價(jià)共焦腔需要確定共焦腔的焦距

16、及共焦腔的中心位置。需要確定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 以共焦腔的中心以共焦腔的中心o o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則同樣有點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則同樣有 ：假設(shè)實(shí)際穩(wěn)定腔的參數(shù)為假設(shè)實(shí)際穩(wěn)定腔的參數(shù)為 ，其對(duì)應(yīng)的共焦腔已知。，其對(duì)應(yīng)的共焦腔已知。LRR,21200928任一穩(wěn)定的球面腔唯一地等價(jià)于某一共焦腔由上述方程聯(lián)立可以求解：由上述方程聯(lián)立可以求解：2212121221122121222RRLLRRLRLRLfRRLLRLzRRLLRLz可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng) 滿足穩(wěn)定腔條件時(shí)，有滿足穩(wěn)定腔條件時(shí)，有LRR,2100; 0212zzf有了上述的等價(jià)性，對(duì)于任意的穩(wěn)定球面腔，我們可以通過研究與其對(duì)應(yīng)的

17、共焦腔的特征模來研究它的模的性質(zhì)。 200929一般穩(wěn)定球面腔鏡面上基模的光斑尺寸將求得的焦距將求得的焦距f代入上式可以得到一般穩(wěn)定球腔（代入上式可以得到一般穩(wěn)定球腔（ ）行波場的基模光斑尺寸的分布，從而得到鏡面行波場的基模光斑尺寸的分布，從而得到鏡面1和鏡面和鏡面2上的上的光斑半徑以及束腰光斑半徑和全角發(fā)散角，也可以用腔的光斑半徑以及束腰光斑半徑和全角發(fā)散角，也可以用腔的g參參數(shù)表示：數(shù)表示： ：LRR,21 2020112fzwfzwzws共焦腔中基模的光斑尺寸：共焦腔中基模的光斑尺寸：200930鏡面上基模的光斑尺寸4122121210)2()()(LRRLRRLRLRLw4121122

18、11)()(LRRLRLLRRLw412121222)()(LRRLRLLRRLw4121121)1 (ggggLw4121212)1 (ggggLw412121221/1)()()2(222LRRLRLRLLRRe412212121210)2()1 (ggggggggLw41212122121/1)1 ()2(222ggggggggLe200931諧振頻率 )arctan2)(1(2(2zfzfnmkfRzkzmn方形鏡共焦鏡的相位函數(shù)：方形鏡共焦鏡的相位函數(shù)：qzzzyxmnmnmn2, 0 , 0, 0 , 0 2,212將將f f 、z1z1、z2z2代入上式，并由諧振條件：代入上式，

19、并由諧振條件：21arccos112ggnmqLCmnq對(duì)于方形一般穩(wěn)定球面腔，可以得到對(duì)于方形一般穩(wěn)定球面腔，可以得到TEMTEMmnqmnq諧振頻率：諧振頻率：200932諧振頻率對(duì)于圓形孔徑一般穩(wěn)定球面腔，可以得到對(duì)于圓形孔徑一般穩(wěn)定球面腔，可以得到TEMplq諧振頻率：諧振頻率：21arccos1212gglpqLCplq200933衍射損耗Lws0LaN2202swaN鏡面基模光斑半徑穩(wěn)定球面腔的鏡面線度202siiefwaN對(duì)于穩(wěn)定球面腔，定義等效菲涅耳數(shù)：對(duì)于穩(wěn)定球面腔，定義等效菲涅耳數(shù)：共焦腔的模式理論證明：每種橫模的單程衍射損耗單值地由腔的菲涅耳數(shù)決定：200934衍射損耗)

20、1 ()()(212121221211211ggggLaLRRLRRLRLLaNef)1 ()()(211222122212222ggggLaLRRLRRLRLLaNef由等效菲涅耳數(shù)，按共焦腔衍射損耗曲線查出鏡面上的由等效菲涅耳數(shù)，按共焦腔衍射損耗曲線查出鏡面上的損耗因子損耗因子 ，則平均單程損耗為：，則平均單程損耗為：21mnmn、)(2121mnmnmn穩(wěn)定球面腔的兩個(gè)鏡面的等效菲涅耳數(shù)分別為：200935衍射損耗10TEM00TEM圖2-7-2給出了圓形反射鏡穩(wěn)定腔的 單程衍射損耗1 模式的損耗隨菲涅耳數(shù)N值的增大而急劇減??；2 方形鏡共焦腔損耗圓形鏡共焦腔損耗平面腔損耗平面波損耗；3

21、 基模的損耗高階模的損耗，模階次越高，損耗越大；200936mRmR1,5 . 121cmL8020093722111,1RLgRLgmRmR1,5 . 121cmL80252121gg1021gg59,15721gg20093821,zz1222221211)()(zzLzfzRzfzRmfmzmz5 . 05 . 031. 121mfL12200939200940mfzwzwmfzwzw424220242421011035. 5)5 . 05 . 0(11078. 3)(1)(106 .10)5 . 031. 1(11078. 3)(1)(mfw401078.3200941作業(yè)200942

22、方形球面鏡共焦腔的行波場 LzyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200共焦腔場的解析式：共焦腔場的解析式： ：共焦腔的腔長：共焦腔的腔長 ：鏡的焦距：鏡的焦距 2/Lf 知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分可以求基爾霍夫衍射積分可以求出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布，在鏡面上的場能用厄米出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布，在鏡面上的場能用厄米高斯函高斯函數(shù)描述的條件下：數(shù)描述的條件下：200943方形球面鏡共焦腔的行波場 LzyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200共焦腔場的解析式：共焦腔場的解析式： ：共焦腔的腔長：共焦腔的腔長 ：鏡的焦距：鏡的焦距 2/Lf 知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳知道了腔鏡面上的場分布之后，利用菲涅耳基爾霍夫衍射積分可以求基爾霍夫衍射積分可以求出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布，在鏡面上的場能用厄米出共焦腔內(nèi)或腔外任意一點(diǎn)的場分布，在鏡面上的場能用厄米高斯函高斯函數(shù)描述的條件下：數(shù)描述的條件下：200944等相位面的分布共焦腔等相位面的一個(gè)重要的性質(zhì)：共焦腔等相位面的一個(gè)重要