數(shù)學科學備考縱橫談

1、數(shù)學科學備考縱橫談 天津 劉勛（講稿）一、綜述1、高考復習存在的主要問題1）急功近利，純應試訓練把學生頭腦中的數(shù)學分割得支離破碎，教師處理不好知識、智力、能力、應試的辯證關系。學生的基本功不好，難適應能力立意的高考要求。1. 一、綜述1、高考復習存在的主要問題1）急功近利，純應試訓練把學生頭腦中的數(shù)學分割得支離破碎，教師處理不好知識、智力、能力、應試的辯證關系。學生的基本功不好，難適應能力立意的高考要求。2）“題海戰(zhàn)術”，盲目地、大題量訓練，缺乏針對性、規(guī)律性提煉，越練學生心越虛、越煩，實效性差。3）習題功能挖掘不深，高考復習的兩個關鍵詞凸顯不夠溫故知新 深入淺出 2.2.消常數(shù)最佳，用過二曲

2、線交點的曲線系最好消常數(shù)最佳，用過二曲線交點的曲線系最好sincos2x sincos2y 40+ +: : cos222 yx為所求為所求. . 3.基本解法：試商估算，數(shù)據(jù)處理。112245x 取1.511.5325x 取111.5x 22.5x同理可得：21234,xxC 選改為計算怎么辦？函數(shù)化！圖解！求同！xx252xx25) 1(log22xyx2521xxy25) 1(log2 2、我的高考復習的一貫指導思想 是：求正容變，以不變應萬變。 雖然教材在變，教學大綱、考綱也在變，但初等數(shù)學的主干知識不變，核心體系不變，基本的數(shù)學思想方法不變，高考命題重在“能力立意”，強化主干知識，從

3、學科總體意義上考慮問題，在知識的交匯點上設計試題。深化新增內容與傳統(tǒng)內容的有機整合，注意考察應用意識和創(chuàng)新意識的命題指導思想不變，。故此，高考復習是有章可循的。二、教師進行高考復習的六個 必須堅持1、系統(tǒng)思考，整體把握2、大處著眼，小處著手。3、關注學生成長的三個視角：開啟思維，改變態(tài)度， 激發(fā)潛能。知識的邏輯順序知識的邏輯順序學生的認知順序學生的認知順序學生的心理發(fā)展順序學生的心理發(fā)展順序5、引導學生學好數(shù)學要緊緊抓住“四個三”a a、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。4.5. (1) (2).2,5 ,8 ,11,8 ,5 ,23,3211,314n

4、bdddbb32 1122 c2 2 2625254925252521492149cccccccccS(3).7500229923 325150502 10051 .230123 )3(1215014949?50?502250505150211001511001005251100nnnnnSddSSnnnnnnaSnaadddnndddSnnn時，時，分類討論5、引導學生學好數(shù)學要緊緊抓住“四個三”a a、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。b b、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。6.5、引導學生學好數(shù)學要緊緊抓住“四

5、個三”a a、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。b b、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。c c、從閱讀和審題上要實現(xiàn)數(shù)學的三種語言自如轉化、從閱讀和審題上要實現(xiàn)數(shù)學的三種語言自如轉化。 （文字、符號、圖象）（文字、符號、圖象）7.分析與思考1： 己知條件 奇函數(shù)；定義域R；求 6,0 x方程 0)(xf根的個數(shù)分析與思考2： 奇函數(shù)定義： 00 0)0()0()0()0(ffff 一般化：若 0)(0)(xfxf周期T=3)()(xfxf分析與思考3 周期 ) 3()(3xfxfT; 0)5(, 0)2(ff0) 4

6、 () 1 (0) 1() 32 (ffff0) 3 (, 0) 0 (ff分析與思考4： 綜合條件出變式)()(xfxf)()3()3()(xfxfxfxf取特殊值 )23()23(23ffx0)323(0)23(ff綜合： )6 ,0(x方程有7個解 29,23,5,4,3,2,18. 5、引導學生學好數(shù)學要緊緊抓住“四個三”a a、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。b b、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。c c、從閱讀和審題上要實現(xiàn)數(shù)學的三種語言自如轉化、從閱讀和審題上要實現(xiàn)數(shù)學的三種語言自如轉化 （文字、符號

7、、圖象）。（文字、符號、圖象）。d d、抓住三條線：知識結構是明線、抓住三條線：知識結構是明線 方法、能力是隱線方法、能力是隱線 思維能力是主線思維能力是主線明明顯顯悟悟9 9. .+_-11解：解：0) 1)(1( 333)(2xxxxf)(xf遞減區(qū)間遞減區(qū)間：），）與（，（11- 遞增區(qū)間遞增區(qū)間：），（11-1x時時，時時，-1)(極小值xf1x3)(極大值xf單調區(qū)間不能單調區(qū)間不能用用“”連接連接 x -2 -1 1 3 - 0 + 0 - 3 減減極小值極小值 -1 增增極大值極大值 3 減減-17) 1, 2()1 , 1()3,1()(xf)(xf3x時時，71)(minxf

8、12或x時時，3)(maxxf解：解：變式：變式：+_-11解：解：由例題知由例題知則當則當 時時，), 0( x3) 1 ()(max fxf)(xf若在若在(0,t)上最大值為上最大值為3，則則t1若改為若改為(0,(0,t t 呢呢? ?)(xf在在 上增上增， 上減上減，），（11-），（1（4） 將方程將方程根的個數(shù)根的個數(shù)問題轉化為函數(shù)問題轉化為函數(shù)圖象的圖象的交點個數(shù)交點個數(shù)問題問題, ,體現(xiàn)了體現(xiàn)了數(shù)與形數(shù)與形的結合的結合, ,使解決問題的方法變得簡捷使解決問題的方法變得簡捷明了明了. .（5） 等價于函數(shù)等價于函數(shù) 與與 的圖象有三個不同的交點的圖象有三個不同的交點331xx

9、ymy （5） 等價于函數(shù)等價于函數(shù) 與與 的圖象有三個不同的交點的圖象有三個不同的交點33xxy1-my （5） 等價于曲線等價于曲線 與直線與直線 ( (即即 軸軸) )有三個不有三個不 同的交點同的交點mxxy331x0y（5） 等價于函數(shù)等價于函數(shù) 與與 的圖象有三個不同的交點的圖象有三個不同的交點3xy1)-(-3mxy（5）解解: :)3(33)(22mxxmxf若若0m, ,則則0)( xf)(xf在在 是是減減函數(shù)函數(shù)），（-若若0m)3)(3(3)(mxmxxf, ,則則+_ 遞增遞增區(qū)間為區(qū)間為)3,3mm（)(xf遞減遞減區(qū)間為區(qū)間為 和和)3,m（),3m（3m3m（6

10、）解解: :03)(2xmxf 等價于等價于 在在-1-1，22上恒成立上恒成立. .23xm 2x當當 時時, ,12)3 (max2x.12m（7）分析分析: :轉化為轉化為 時時, , 恒成立恒成立, ,) 10( ，x)()(xgxf即證即證: : 時時, , 恒成立恒成立令令)()()(xgxfxF) 10( ，x0)(xF只需只需0)(minxF（8）5、引導學生學好數(shù)學要緊緊抓住“四個三”a a、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。、從內容上要充分領悟理論、方法、思維。b b、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。、從解題上要抓住三個字：數(shù)、式、形。c c、從閱讀和審題上要實現(xiàn)數(shù)學的

11、三種語言自如轉化、從閱讀和審題上要實現(xiàn)數(shù)學的三種語言自如轉化 （文字、符號、圖象）。（文字、符號、圖象）。d d、抓住三條線：知識結構是明線、抓住三條線：知識結構是明線 明明 方法、能力是隱線方法、能力是隱線顯顯 思維能力是主線思維能力是主線 悟悟6、從學生的實際出發(fā)，智力因素，非智力因素一起抓，適合自己學生的復習是最好的復習三、高考復習的三個階段及其任務三個階段（基礎整合、綜合提煉、模擬訓練）任務明確，融為一體。 （略）四、談第三階段（模擬訓練、查漏補缺）復習沖刺階段、基礎回歸、落葉歸根、收獲的季節(jié)（一）堅持（一）堅持“系統(tǒng)思考，整體把握，以不變應萬變系統(tǒng)思考，整體把握，以不變應萬變”。深入

12、挖掘數(shù)學的思維價值，育人價值，自身規(guī)律，深入挖掘數(shù)學的思維價值，育人價值，自身規(guī)律，這是高效益復習的靈魂。這是高效益復習的靈魂。（二）堅持（二）堅持“溫故知新溫故知新”“”“深入淺出深入淺出”的復習原的復習原則，則，“心中有數(shù)心中有數(shù)”，把握好復習的度。，把握好復習的度。溫故知新溫故知新從從知識結構系統(tǒng)知識結構系統(tǒng)認識結構系統(tǒng)認識結構系統(tǒng)兩條線努力兩條線努力“合并同類合并同類項項”。（三）“返璞歸真”，高考復習的靈魂是深入挖掘數(shù)學的本質規(guī)律，教師要從數(shù)學的思維價值、教育價值、應用價值上大作文章，促進學生在練、考中增知、長智、補缺失、悟道理、長能力，深入體驗，領悟數(shù)學的內容、意義和方法，使所學“

13、由厚變薄”。10. 1、回到最基礎上來，把已知數(shù)變成分數(shù)。 “不能借口能力考查和理論聯(lián)系實際而弱化，淡化基礎知識、基礎理論?！比巫映?國家考試中心命題處處長2、明確駕馭知識的思想方法，認識方法比知識本身更重要；抽象、概括、推理能力；審題意識、化歸意識、檢驗判斷意識。解：按余數(shù)分類 =剩余類0，3，6，9 整除 1，4，7余1 2，5，8余211、解：按余數(shù)分類 =剩余類0，3，6，9 整除 1，4，7余1 2，5，8余21） 1）每類取3個數(shù) c43+ c33+ c33= 6 每類取1個數(shù) c41 c31 c31 = 36 總4211、解：按余數(shù)分類 =剩余類0，3，6，9 整除 1，4，7余

14、1 2，5，8余21） 1）每類取3個數(shù) c43+ c33+ c33= 6 每類取1個數(shù) c41 c31 c31 = 36 總422） 2）排3位數(shù) A91 A92 = A103 - A92 =648 排能被3整除的3位數(shù)每類排 A31 A32 + A33 + A33= 18+26=30 每類取1個排 不含0： c31 c31 c31 A33 = 162 含0： c31 c31 A21 A22= 36 總數(shù)22811、解：按余數(shù)分類 =剩余類0，3，6，9 整除 1，4，7余1 2，5，8余21） 1）每類取3個數(shù) c43+ c33+ c33= 6 每類取1個數(shù) c41 c31 c31 = 3

15、6 總422） 2）排3位數(shù) A91 A92 = A103 - A92 =648 排能被3整除的3位數(shù)每類排 A31 A32 + A33 + A33= 18+26=30 每類取1個排 不含0： c31 c31 c31 A33 = 162 含0： c31 c31 A21 A22= 36 總數(shù)2283）概率：1- = 注 06年四川原題選擇題 A. B. C. D.11、228648355441603554195438541、回到最基礎上來，把已知數(shù)變成分數(shù)。 “不能借口能力考查和理論聯(lián)系實際而弱化，淡化基礎知識、基礎理論?！比巫映?國家考試中心命題處處長2、明確駕馭知識的思想方法，認識方法比知識

16、本身更重要；抽象、概括、推理能力；審題意識、化歸意識、檢驗判斷意識。3、學會用“綜合的眼光”選題、審題、理思路、規(guī)范表述。法法1：韋達定理：韋達定理0定定 6a法法2： bc 8代入，代入， 0法法3：用：用 abba2法法4：由代數(shù)恒等式：由代數(shù)恒等式 0)6(44)()(222abccbcb法法5：視：視 bc是是 a的二次函數(shù)，求得的二次函數(shù)，求得 6a有極小值，此時有極小值，此時 4 cb6a作方程作方程 12.1）重申四基：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。兩個關鍵詞： 1、溫故知新 2、深入淺出：夯實基礎，沒有基礎就沒有根。 追求變式，沒有變化就沒有魂。4、重視基本表示法

17、，重視形式化、模式化，引導學生學會思維操作。13.學生要圍著老師轉，轉得好；拋開老師轉還自有一套；端正教風、學風、考風公式： 會=對，會=有準又快的對，會=靈活變通，舉一反三（懂，會，對，熟）2）重視三個復習階段基本任務落實情況，師生互 動，高效查缺補漏，變式提升是個好方法?；貧w原點a、前面復習基本要求落實如何？b、解決各種典型習題、思路、方法、熟練程度如何？c、回歸教材，教材典型問題挖掘、引申、推廣如何？d、學生基本能力訓練效果如何？e、基本分基本不丟，考后得滿分有多少學生基本做到？f、學生自我建構，自我發(fā)展意識、能力？g、情感、智力、信心和毅力比什么都重要。四、最后階段提升空間（方法、策略

18、） 調整心態(tài)最重要，提高自信是關鍵， 悟出道理是靈魂，心中有數(shù)應萬變。1、緊緊抓住學生自身的經驗、教訓，激勵學生自覺反思，學生真有所悟，就會迅速提升能力教師講出哲理與學生悟出道理！1）緊緊摳住數(shù)學學科特點：概念性強，強調理性思維，充滿思辨性，量化突出，解法多樣；14.四、最后階段提升空間（方法、策略） 調整心態(tài)最重要，提高自信是關鍵， 悟出道理是靈魂，心中有數(shù)應萬變。1、緊緊抓住學生自身的經驗、教訓，激勵學生自覺反思，學生真有所悟，就會迅速提升能力教師講出哲理與學生悟出道理！1）緊緊摳住數(shù)學學科特點：概念性強，強調理性思維，充滿思辨性，量化突出，解法多樣；2）強調數(shù)學思想方法，注重通性、通法，

19、淡化特殊技巧；15.五、最后階段提升空間（方法、策略） 調整心態(tài)最重要，提高自信是關鍵， 悟出道理是靈魂，心中有數(shù)應萬變。1、緊緊抓住學生自身的經驗、教訓，激勵學生自覺反思，學生真有所悟，就會迅速提升能力教師講出哲理與學生悟出道理！1）緊緊摳住數(shù)學學科特點：概念性強，強調理性思維，充滿思辨性，量化突出，解法多樣；2）強調數(shù)學思想方法，注重通性、通法，淡化特殊技巧；3）展典型小題風采，促數(shù)學好題生輝。分析：從邏輯上正面思考，至少有一條與分析：從邏輯上正面思考，至少有一條與 x 軸有公共點包括如下軸有公共點包括如下可能：可能： （1）只有一條與只有一條與 x 軸相交軸相交313C （2）兩條與兩條

20、與 x 軸相交，第三條不交軸相交，第三條不交323 C （3）三條均交三條均交133 C 總計總計 3+3+1=7 種可能情況，如此繁雜的解題，還是填空題嗎？正難種可能情況，如此繁雜的解題，還是填空題嗎？正難則反，從反面思考：除掉三條都不交，即得到結果。故找三條都與則反，從反面思考：除掉三條都不交，即得到結果。故找三條都與 x軸不交的解集的補集為佳。軸不交的解集的補集為佳。 16.分析：從邏輯上正面思考，至少有一條與分析：從邏輯上正面思考，至少有一條與 x 軸有公共點包括如下軸有公共點包括如下可能：可能： （1）只有一條與只有一條與 x 軸相交軸相交313C （2）兩條與兩條與 x 軸相交，第

21、三條不交軸相交，第三條不交323 C （3）三條均交三條均交133 C 總計總計 3+3+1=7 種可能情況，如此繁雜的解題，還是填空題嗎？正難種可能情況，如此繁雜的解題，還是填空題嗎？正難則反，從反面思考：除掉三條都不交，即得到結果。故找三條都與則反，從反面思考：除掉三條都不交，即得到結果。故找三條都與 x軸不交的解集的補集為佳。軸不交的解集的補集為佳。 20340000321mmmm或且 16.17.17.四、最后階段提升空間（方法、策略） 調整心態(tài)最重要，提高自信是關鍵， 悟出道理是靈魂，心中有數(shù)應萬變。1、緊緊抓住學生自身的經驗、教訓，激勵學生自覺反思，學生真有所悟，就會迅速提升能力教

22、師講出哲理與學生悟出道理！2、緊緊抓住考綱，圍繞主干知識補漏：緊扣大綱細推敲，抓住重點反復練，善于總結歸類，綜合運用見深化。（系統(tǒng)化、網(wǎng)狀化、模式化、變換視角）1）緊緊摳住數(shù)學學科特點：概念性強，強調理性思維，充滿思辨性，量化突出，解法多樣；2）強調數(shù)學思想方法，注重通性、通法，淡化特殊技巧；3）展典型小題風采，促數(shù)學好題生輝。21.22.D .630 66163 62169 .6EF CDEFBDBE .63DBADACFE,PEEF,PEAEPE .CD/FEABFE,ABCD,BEPE:132xxVxxVxSSSxxACFEPBEFABCACFE面且折疊問題 .6126,6 0 636

23、, 0,60 6,36 621632.630 66163 62169 .6EF CDEFBDBE .63DBADACFE,PEEF,PEAEPE .CD/FEABFE,ABCD,BEPE:12232VxVxxVxxVxxxxxVxxVxxVxSSSxxACFEPBEFABCACFE大時當時時舍負面且折疊問題 .71PFGcosGPF .26BE2PEGEPG 42BEEFPFBFFG,FGB FG/CA,CAB .PFGPG,AEFG,FG/AC .:1322222為所求中用余弦定理求得是等腰是等腰為所求則連交作平移求異面直線所成的角解法 .71PFACPFACcos 6,6, 0PF,0 ,

24、 3 ,63AC 0 , 3 , 663C ,6,0,066A ,060, F ,0,0,6 P ,0,0,0 E : , . :2 .71PFGcosGPF .26BE2PEGEPG 42BEEFPFBFFG,FGB FG/CA,CAB .PFGPG,AEFG,FG/AC .:1322222則如圖用空間向量解法為所求中用余弦定理求得是等腰是等腰為所求則連交作平移求異面直線所成的角解法（1）提升概念辨析的自覺性。（2）提升模式辨別的眼力，戒理解不準，核心概念不清，應用不簡，戒套用公式胡思亂想，海闊天空。3、緊緊抓住駕馭知識的認識規(guī)律，自覺提煉題目中蘊含的數(shù)學思想方法；引導學生溫故知新，全面提升

25、學生的數(shù)學素養(yǎng)和應考能力。30.分析與思考1： 抽象問題具體化，一般問題特殊化； )()(21xfxf使我們想到 0)()()(212121xfxfxfxx利用 作恒等變換 xxaa)(對于任意 Rx 成立 )1易證)()()(2121xfxfxxf對任意 Rxx21,成立取 0)2()(2221xfxfxxx必成立 又 0)()()()(xfxafxxafaf0)(,xfRx必有對任代入： 0)(xf得證 0)(af分析與思考2： )(xf在 R上可導必連續(xù)的條件與 )(xf在 R上遞增的結論對照，必然想到 概念判斷 0)(xf證再參照 0)( bf用定義法求導數(shù) 0)(xf（1）提升概念辨

26、析的自覺性。（3）提升用分析法化解難題的自覺性，自覺進行變換，求轉化。（2）提升模式辨別的眼力，戒理解不準，核心概念不清，應用不簡，戒套用公式胡思亂想，海闊天空。3、緊緊抓住駕馭知識的認識規(guī)律，自覺提煉題目中蘊含的數(shù)學思想方法；引導學生溫故知新，全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和應考能力。26、（4）數(shù)學思想方法中最上位的思想是“一般與特殊的思想”，數(shù)學思維的總規(guī)律是一般與特殊的關系。（5）通過具體題目，進行變式訓練，引導學生提升辯證 思維能力，小題大做變式提升；小題小做，靈活變通， 意料之外，情理之中（6）成熟的推理論證能力是演繹推理能力；越臨近高考， 越要重視歸納推理，重視“分類討論”。18、)8)

27、(1)(1 (8)6(18811111)(88,1111,1111188180 , 1110 , 11100, 0, 1)(axaxxaaxaxaxxfaxaxaxaxaaxxaxaxaxaxaxxf先證18、30,260)21)(, 06) 18)6()8)(1)(1 (8)6(18811111)(88,1111,1111188180 , 1110 , 11100, 0, 1)(11axaxxaxaxfyxaxaaxyaxaxxaaxaxaxxfaxaxaxaxaaxxaxaxaxaxaxxf時，當時，顯然當設先證成立對，對任意正數(shù)），綜合時，故）（時，時時舍）或則設小), 0(1)(211

28、)(60, 0086422, 02, 02(02, 01268628)62()(,12112123211xxfaxfxayytytytttttytttttfyaxt)1 (2111)1 (21 (1111)1130)2(21311311)(, 180310)(,)(2)(22xxxxxxxxxaxfaxaxxaxaxfaxxfxf（時，用配方法放縮時，）當（，不妨設中是對稱的（可交換）在知：觀察再證即可只須證：（只需證：故此，要證同理81,1)11(218)1121, 2)()11(2121111)8(2818,)1 (2111axaxxaaxaxxaaxaxaaxxaxaxaaxxxfaax

29、xaxaxaxaxaaa成立即證只須證：要證：（而（另選不等式）時，當成立式成立，此時，時，當繼續(xù)分類討論：8)7()1 (8)1 (8811)1 (8)1 (8)1 (8)1 (8)881a21)881(2128114, 307)2)(817)axaaaaxaaxxaaaxaaaaxaaxaaxaaaxaxaxaxabxfxaxaa25415121)(111),4(5141111518228202, 47, 30 xfaxxaxaxaxaxaa時而當時，上式必成立對上式分類討論（6）成熟的推理論證能力是演繹推理能力；越臨近高考，越要重視歸納推理，重視“分類討論”。（7） “成也審題，敗也審題”；精選題目，選題要體現(xiàn)典型性、層次性。易、中、難；知識層面，思維層面，運算層面；探究題，開放題、綜合題；多選概念性強、綜合性強的題；努力使好題生輝。（5）通過具體題目，進行變