(推薦)2.2.1綜合法與分析法

1、(推薦推薦)2.2.1綜合法與分析法綜合法與分析法邊城高級(jí)中學(xué)邊城高級(jí)中學(xué) 張秀洲張秀洲2.2.1 2.2.1 綜合法和分析綜合法和分析法法1、掌握直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法、掌握直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法;2、了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)、了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)自學(xué)教材自學(xué)教材 p85p89 解決下列問題解決下列問題一、一、掌握直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法掌握直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法.二、二、教材教材 89 練習(xí)練習(xí). 用用p表示已知條件、已有的定義、公理、定理等表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,q表示所要證明的結(jié)論表示

2、所要證明的結(jié)論. 則則綜合法綜合法用框圖表示為用框圖表示為:一、綜合法一、綜合法(順推證法或由因?qū)Ч樛谱C法或由因?qū)Ч? 利用利用已知條件已知條件和某些和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理數(shù)學(xué)定義、公理、定理等等,經(jīng)過經(jīng)過一系列的推理論證一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這這種證明方法叫做種證明方法叫做綜合法綜合法。其特點(diǎn)是。其特點(diǎn)是:“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?pq12qq23qqnqq練習(xí)練習(xí).已知已知a0,b0,求證求證a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc 首先，分析待證不等式的特點(diǎn)：不等式的右端是首先，分析待證不等式的特點(diǎn)：不等式的右端是3個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)a

3、,b,c乘積的乘積的4倍，左端為兩項(xiàng)之和倍，左端為兩項(xiàng)之和,其中每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)與其中每一項(xiàng)都是一個(gè)數(shù)與另兩個(gè)數(shù)的平方和之積另兩個(gè)數(shù)的平方和之積.據(jù)此據(jù)此,只要把兩個(gè)數(shù)的平方和轉(zhuǎn)化為只要把兩個(gè)數(shù)的平方和轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)數(shù)的積的形式這兩個(gè)數(shù)的積的形式,就能使不等式左、右兩端具有相同的就能使不等式左、右兩端具有相同的形式形式. 其次，尋找轉(zhuǎn)化的依據(jù)及證明中要用的其他知識(shí)：應(yīng)其次，尋找轉(zhuǎn)化的依據(jù)及證明中要用的其他知識(shí)：應(yīng)用不等式用不等式x2+y22xy就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不等式的基本性質(zhì)就能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不等式的基本性質(zhì)是證明的依據(jù)是證明的依據(jù).證明證明: b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.又

4、又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2) 2abc. a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc. 用用p表示已知條件、已有的定義、公理、定理等表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論. 則則綜合法綜合法用框圖表示為用框圖表示為:1pqqq1 12 2qq2 23 3qqn n例：在例：在abc中，三個(gè)內(nèi)角中，三個(gè)內(nèi)角a、b、c對(duì)應(yīng)的邊分別為對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且，且a、b、c成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：成等比數(shù)列，求證：abc為等邊三角形為等邊三角形證明：證明：由由a，b，c成等差數(shù)列，有成等差數(shù)列，有 2b=a+c

5、.因?yàn)橐驗(yàn)閍，b，c為為abc的內(nèi)角的內(nèi)角,所以所以a+b+c=180.b =.3由由a，b，c成等比數(shù)列，有成等比數(shù)列，有2bac 由由 ，得，得 ，得，得由由 ，得，得注：注：解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)會(huì)解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)會(huì)語言轉(zhuǎn)換語言轉(zhuǎn)換；還要細(xì)致，；還要細(xì)致，找出隱含條件。找出隱含條件。符號(hào)語言符號(hào)語言圖形語言圖形語言文字語言文字語言由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得22222b = a +c -2accosb = a +c -ac.再由，得再由，得22a+ c- ac = ac,即即2a-c= 0.（）因此因此a=c.從而從而a=c.a = b = c =.3所以所以abcabc為等邊三角

6、形為等邊三角形. .由由 ,得得練習(xí)：證明不等式：練習(xí)：證明不等式： (a0,b0).2abab 證法證法1:1:因?yàn)橐驗(yàn)? : 所以所以所以所以所以所以 成立成立2()0ab 20abab 2abab 2abab 證法證法2:2:要證要證2abab 2()0ab2abab 只需證只需證: :20abab 只需證只需證: :2()0ab 只需證只需證: :因?yàn)橐驗(yàn)? : 成立成立2abab 所以所以 成立成立綜合法綜合法分析法分析法 要證明結(jié)論成立，逐步尋求推證過程中，使每一要證明結(jié)論成立，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，

7、把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定已知條件、定理、定義、公理等義、公理等)為止為止.這類證法的特點(diǎn)是這類證法的特點(diǎn)是:這就是另一種證明方法這就是另一種證明方法分析法分析法.特點(diǎn)：特點(diǎn)：執(zhí)果索因執(zhí)果索因. 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后,把要證明把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、已知條件、定理、定義、公理等定義、公理等)為止，這種證明的方法叫做為

8、止，這種證明的方法叫做分析法分析法 用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn)用框圖表示分析法的思考過程、特點(diǎn). .1 1qpqp2323pppp1212pppp得到一個(gè)明顯得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論成立的結(jié)論3 +7 2 5. 求求證證分析分析 從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此我們直從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件.證明：證明：3 +7 2 5，只需證只需證223 +7 2 5 .（） （）展開得展開得10+2 21 20，只需證只需證21 5，因?yàn)橐驗(yàn)?和和 都是正數(shù)，所以要證都是正數(shù)，所以要證3 +72

9、5只需證只需證2125.因?yàn)橐驗(yàn)?125成立，所以成立，所以 成立成立.3 +7 2 5 在本例中，如果我們從在本例中，如果我們從“2125”出發(fā)，逐步倒推出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論回去，就可以用綜合法證出結(jié)論.但由于我們很難想到但由于我們很難想到從從“21 2 2 +5( 6 +7) (2 2 +5)13+2 42 13+4 1042 2 10( 42) (2 10)42 40.證證明明：要要證證，只只需需證證，即即證證，即即證證，只只需需證證，即即證證，這這是是顯顯然然成成立立的的所所以以，命命題題得得證證2222222222222222222223.:(-) = ( -

10、) ( + ) = (2sin) (2tan) =16sin tan 16=16(tan+sin)(tan-sin)sin(1+cos)sin(1-cos)=16coscossin (1-cos )sin sin =16=16cos cos =16sin tan (-) =16sin taba bababab 證證明明 因因?yàn)闉?，又又因因?yàn)闉?，從從而?an .所所以以，命命題題成成立立22222.,(),sincos2sin,sincossin21tan1tan1tan2(1tan)kkz 例例 已已知知且且求求證證：分析：分析：證明式中沒有證明式中沒有 ,因此我們要將因此我們要將 消掉消掉

11、,如何消掉如何消掉 ？ 而且在條件中只有弦而且在條件中只有弦,而在證明結(jié)果里面只有切而在證明結(jié)果里面只有切, 因此我們要因此我們要弦化切。弦化切。證明：證明：22222222222222222sin +cos -2sincos =1,4sin -2sin =1.1-tan 1-tan =1+tan 2(1+tan )sin sin 1-1-cos cos =sin sin 1+2(1+)cos cos 因因?yàn)闉椋ǎ┧砸詫?1)(2)(1)(2)代代入入，可可得得 另另一一方方面面要要證證 ，即即證證 ，222222221cos -sin =(cos -sin )211-2sin =(1-

12、2sin )2 4sin -2sin =1. ， ， 即即證證即即證證即即證證由于上式與相同，于是問題得證由于上式與相同，于是問題得證.1、綜合法：、綜合法：(sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin222221tan1tan1tan2(1tan)（二倍角公式）（二倍角公式）2、分析法：、分析法：22221tan1tan1tan2(1tan)2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要證：要證

13、：只要證：只要證：2(cos2sin2)cos2-sin2只要證：只要證：只要證：只要證： 4sin2-2sin21(sin+cos)2-2sincos1只要證：只要證：這是三角函數(shù)的基本性質(zhì)這是三角函數(shù)的基本性質(zhì)22221tan1tan1tan2(1tan)證明：證明：a，b，c為不相等正數(shù)，且為不相等正數(shù)，且abc=1,提示提示此題采用綜合法此題采用綜合法.1、已知、已知a，b，c為不相等正數(shù)，且為不相等正數(shù)，且abc=1,求證求證：111+.abcabc111111+222bccaab111=+.abc111+abcabc成成立立. .111+=+abcbccaab2、如圖、如圖,sa平

14、面平面abc,abbc,過過a作作sb的垂線的垂線,垂足垂足為為e,過過e作作sc的垂線的垂線,垂足為垂足為f,求證求證 afsc.fescba提示提示此題采用分析法此題采用分析法.證明證明:要證要證afsc只需證只需證:sc平面平面aef只需證只需證:aesc只需證只需證:ae平面平面sbc只需證只需證:aebc只需證只需證:bc平面平面sab只需證只需證:bcsa只需證只需證:sa平面平面abc因?yàn)橐驗(yàn)?sa平面平面abc成立成立所以所以. afsc成立成立fescba你學(xué)會(huì)了嗎你學(xué)會(huì)了嗎?對(duì)自己說，你有什么收獲？對(duì)自己說，你有什么收獲？對(duì)同學(xué)說，你有什么提示？對(duì)同學(xué)說，你有什么提示？對(duì)老師說，你有什么疑惑？對(duì)老師說，你有什么疑惑？綜合法綜合法分析法分析法特點(diǎn)特點(diǎn)由因索果由因索果由果索因由果索因條件條件充分條件充分條件不要條件不要條件格式格式pq1q2.qnqqp1p